高考数学二轮复习 专题八 数学思想方法 第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想课件 理

第2讲分类讨论思想、转化与化归思想高 考 定 位 分类讨论思想，转化与化归思想近几年高考每年必考，一般体现在解析几何、函数与导数解答题中，难度较大. 1.中 学 数 学 中 可 能 引 起 分 类 讨 论 的 因 素(1)由 数 学 概 念 而 引 起 的 分 类 讨 论 ： 如 绝 对 值 的 定 义 、 不 等 式的 定 义 、 二 次 函 数 的 定 义 、 直 线 的 倾 斜 角 等 .(2)由 数 学 运 算 要 求 而 引 起 的 分 类 讨 论 ： 如 除 法 运 算 中 除 数 不为 零 ， 偶 次 方 根 为 非 负 数 ， 对 数 运 算 中 真 数 与 底 数 的 要 求 ，指 数 运 算 中 底 数 的 要 求 ， 不 等 式 中 两 边 同 乘 以 一 个 正 数 、 负数 ， 三 角 函 数 的 定 义 域 ， 等 比 数 列 an的 前 n项 和 公 式 等 . (3)由 性 质 、 定 理 、 公 式 的 限 制 而 引 起 的 分 类 讨 论 ： 如 函 数的 单 调 性 、 基 本 不 等 式 等 .(4)由 图 形 的 不 确 定 性 而 引 起 的 分 类 讨 论 ： 如 二 次 函 数 图 象 、指 数 函 数 图 象 、 对 数 函 数 图 象 等 .(5)由 参 数 的 变 化 而 引 起 的 分 类 讨 论 ： 如 某 些 含 有 参 数 的 问题 ， 由 于 参 数 的 取 值 不 同 会 导 致 所 得 的 结 果 不 同 ， 或 者 由于 对 不 同 的 参 数 值 要 运 用 不 同 的 求 解 或 证 明 方 法 等 . 2.常 见 的 转 化 与 化 归 的 方 法转 化 与 化 归 思 想 方 法 用 在 研 究 、 解 决 数 学 问 题 时 ， 思 维 受 阻或 寻 求 简 单 方 法 或 从 一 种 状 况 转 化 到 另 一 种 情 形 ， 也 就 是 转化 到 另 一 种 情 境 使 问 题 得 到 解 决 ， 这 种 转 化 是 解 决 问 题 的 有效 策 略 ， 同 时 也 是 获 取 成 功 的 思 维 方 式 .常 见 的 转 化 方 法 有 ：(1)直 接 转 化 法 ： 把 原 问 题 直 接 转 化 为 基 本 定 理 、 基 本 公 式 或基 本 图 形 问 题 .(2)换 元 法 ： 运 用 “ 换 元 ” 把 式 子 转 化 为 有 理 式 或 使 整 式 降 幂等 ， 把 较 复 杂 的 函 数 、 方 程 、 不 等 式 问 题 转 化 为 易 于 解 决 的基 本 问 题 . (3)数 形 结 合 法 ： 研 究 原 问 题 中 数 量 关 系 (解 析 式 )与 空 间 形 式(图 形 )关 系 ， 通 过 互 相 变 换 获 得 转 化 途 径 .(4)等 价 转 化 法 ： 把 原 问 题 转 化 为 一 个 易 于 解 决 的 等 价 命 题 ，达 到 化 归 的 目 的 .(5)特 殊 化 方 法 ： 把 原 问 题 的 形 式 向 特 殊 化 形 式 转 化 ， 并 证明 特 殊 化 后 的 问 题 、 结 论 适 合 原 问 题 .(6)构 造 法 ： “ 构 造 ” 一 个 合 适 的 数 学 模 型 ， 把 问 题 变 为 易于 解 决 的 问 题 . (7)坐 标 法 ： 以 坐 标 系 为 工 具 ， 用 计 算 方 法 解 决 几 何 问 题 是转 化 方 法 的 一 个 重 要 途 径 .(8)类 比 法 ： 运 用 类 比 推 理 ， 猜 测 问 题 的 结 论 ， 易 于 确 定 .(9)参 数 法 ： 引 进 参 数 ， 使 原 问 题 转 化 为 熟 悉 的 形 式 进 行 解决 .(10)补 集 法 ： 如 果 正 面 解 决 原 问 题 有 困 难 ， 可 把 原 问 题 的 结果 看 做 集 合 A， 而 把 包 含 该 问 题 的 整 体 问 题 的 结 果 类 比 为 全集 U， 通 过 解 决 全 集 U及 补 集 UA获 得 原 问 题 的 解 决 ， 体 现了 正 难 则 反 的 原 则 . 热点一分类讨论思想的应用微 题 型 1 由 性 质 、 定 理 、 公 式 的 限 制 引 起 的 分 类【例11】 (1)设 数 列 an的 前 n项 和 为 Sn， 已 知 2Sn 3n 3， 求数 列 an的 通 项 an _. 探究提高由性质、定理、公式的限制引起的分类整合法往往是因为有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致的情况下使用，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等. 微 题 型 2 由 数 学 运 算 要 求 引 起 的 分 类【例12】 (1)不 等 式 |x| |2x 3| 2的 解 集 是 ( ) (2)已 知 m R， 求 函 数 f(x) (4 3m)x2 2x m在 区 间 0， 1上 的最 大 值 为 _. 探究提高由数学运算要求引起的分类整合法，常见的类型有除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数问题，含有绝对值的不等式求解，三角函数的定义域等，根据相应问题中的条件对相应的参数、关系式等加以分类分析，进而分类求解与综合. 微 题 型 3 由 参 数 变 化 引 起 的 分 类【例13】 (2015全国卷)已 知 函 数 f(x) ln x a(1 x).(1)讨 论 f(x)的 单 调 性 ；(2)当 f(x)有 最 大 值 ， 且 最 大 值 大 于 2a 2时 ， 求 a的 取 值 范 围 . 探究提高由参数的变化引起的分类整合法经常用于某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法. 热点二转化与化归思想微 题 型 1 换 元 法【例21】 已 知 实 数 a， b， c满 足 a b c 0， a2 b2 c2 1， 则 a的 最 大 值 是 _. 探究提高换元法是一种变量代换，也是一种特殊的转化与化归方法，是用一种变数形式去取代另一种变数形式，是将生疏(或复杂)的式子(或数)，用熟悉(或简单)的式子(或字母)进行替换；化生疏为熟悉、复杂为简单、抽象为具体，使运算或推理可以顺利进行. 微 题 型 2 特 殊 与 一 般 的 转 化 答案C 探究提高一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果. 微 题 型 3 常 量 与 变 量 的 转 化【例23】 对 任 意 的 |m| 2， 函 数 f(x) mx2 2x 1 m恒为 负 ， 则 x的 取 值 范 围 为 _.解析对任意的|m| 2，有mx22x1m0恒成立，即|m| 2时，(x21)m2x10恒成立.设g(m)(x21)m2x1，则原问题转化为g(m)0恒成立(m 2，2). 探究提高在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的. 微 题 型 4 正 与 反 的 相 互 转 化 探究提高否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可，一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中. 1.分 类 讨 论 思 想 的 本 质 是 “ 化 整 为 零 ， 积 零 为 整 ” .用 分 类 讨 论的 思 维 策 略 解 数 学 问 题 的 操 作 过 程 ： 明 确 讨 论 的 对 象 和 动 机 确 定 分 类 的 标 准 逐 类 进 行 讨 论 归 纳 综 合 结 论 检 验 分 类 是否 完 备 (即 分 类 对 象 彼 此 交 集 为 空 集 ， 并 集 为 全 集 ).做 到 “ 确 定对 象 的 全 体 ， 明 确 分 类 的 标 准 ， 分 类 不 重 复 、 不 遗 漏 ” 的 分 析讨 论 .常 见 的 分 类 讨 论 问 题 有 ：(1)集 合 ： 注 意 集 合 中 空 集 讨 论 . 2.转 化 与 化 归 思 想 遵 循 的 原 则 ：(1)熟 悉 已 知 化 原 则 ： 将 陌 生 的 问 题 转 化 为 熟 悉 的 问 题 ， 将未 知 的 问 题 转 化 为 已 知 的 问 题 ， 以 便 于 我 们 运 用 熟 知 的 知识 、 经 验 和 问 题 来 解 决 .(2)简 单 化 原 则 ： 将 复 杂 问 题 化 归 为 简 单 问 题 ， 通 过 对 简 单问 题 的 解 决 ， 达 到 解 决 复 杂 问 题 的 目 的 ， 或 获 得 某 种 解 题的 启 示 和 依 据 . (3)和 谐 统 一 原 则 ： 转 化 问 题 的 条 件 或 结 论 ， 使 其 表 现 形 式更 符 合 数 与 形 内 部 所 表 示 的 和 谐 统 一 的 形 式 ； 或 者 转 化 命题 ， 使 其 推 演 有 利 于 运 用 某 种 数 学 方 法 或 符 合 人 们 的 思 维规 律 .(4)正 难 则 反 原 则 ： 当 问 题 正 面 讨 论 遇 到 困 难 时 ， 应 想 到 问题 的 反 面 ， 设 法 从 问 题 的 反 面 去 探 讨 ， 使 问 题 获 得 解 决 .