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22.1二 次 函 数 基 础 回 顾 什 么 叫 函 数 ? 在 某 变 化 过 程 中 的 两 个 变 量 x、 y， 当 变 量 x在 某 个 范 围 内 取 一 个 确 定 的 值 ， 另 一 个 变 量 y总 有 唯 一 的 值 与 它 对 应 。 这 样 的 两 个 变 量 之 间 的 关 系 我 们 把 它 叫做 函 数 关 系 。 对 于 上 述 变 量 x 、 y， 我 们 把 y叫 x的 函 数 。 x叫 自 变 量 ， y叫 应 变 量 。目 前 ， 我 们 已 经 学 习 了 那 几 种 类 型 的 函 数 ？ 二 次 函 数变量之间的关系 函数 一 次 函 数反 比 例 函 数 y=kx+b (k0)正 比 例 函 数y=kx (k0)y=k/x (k0) 节 日 的 喷 泉 给 人 带 来 喜 庆 ， 你 是 否 注 意 过 水 流 所 经 过 的 路 线 ？ 它会 与 某 种 函 数 有 联 系 吗 ？ 抛 物 线 型 桥 拱 奥 运 赛 场 腾 空 的 篮 球 正 方 体 的 六 个 面 是 全 等 的 正 方 形 ,设正 方 形 的 棱 长 为 x,表 面 积 为 y,显 然 对 于 x的 每 一 个值 ,y都 有 一 个 对 应 值 ,即 y是 x的 函 数 ,它 们 的 具 体 关系 可 以 表 示 为 问 题 1: y=6x2 多 边 形 的 对 角 线 数 d与 边 数 n有 什 么 关 系 ？问 题 2: 由 图 可 以 想 出 ,如 果 多 边 形 有 n条 边 ,那 么 它 有 个 顶 点 ,从 一 个 顶 点 出 发 ,连 接 与 这点 不 相 邻 的 各 顶 点 ,可 以 作 条对 角 线 . n(n-3) 因 为 像 线 段 MN与 NM那 样 ,连 接相 同 两 顶 点 的 对 角 线 是 同 一 条 对角 线 ,所 以 多 边 形 的 对 角 线 总 数 M N 321 nnd即 nnd 2321 2 式表示了多边形的对角线数d与边数n之间的关系,对于n的每一个值,d都有唯一的对应值,即d是n的函数。 函 数 有 什 么 共 同 点 ? 观 察 ：y=6x2 n23n221d xxy 204020 2 在 上 面 的 问 题 中 ,函 数 都 是 用 自 变 量 的 二 次 式 表 示 的 。 定 义 ： 一 般 地 ， 形 如 y=ax+bx+c(a,b,c是 常 数 ,a 0)的 函 数 叫 做 二 次 函 数 。 其 中 x是 自 变 量 ， a为 二 次 项系 数 ， ax2叫 做 二 次 项 ， b为 一 次 项 系 数 ， bx叫 做 一次 项 ， c为 常 数 项 。 （ 1） 等 号 左 边 是 变 量 y， 右 边 是 关 于 自 变 量 x的（ 3 ） 等 式 的 右 边 最 高 次 数 为 ， 可 以 没 有一 次 项 和 常 数 项 ， 但 不 能 没 有 二 次 项 。 注 意 ：（ 2） a,b,c为 常 数 ， 且（ 4） x的 取 值 范 围 是 任 意 实 数 。整 式 。 a0.2(5) 函 数 的 右 边 是 一 个 整 式 二 次 函 数 的 一 般 形 式 :yax2bxc (其中a、b、c是常数,a0)二次函数的特殊形式：当b0时， yax2c当c0时， yax2bx当b0，c0时， yax2 1、 说 出 下 列 二 次 函 数 的 二 次 项 系 数 、 一 次 项 系数 、 常 数 项（ 1） y=-x2+58x-112（ 2） y=x22、 指 出 下 列 函 数 y=ax+bx+c中 的 a、 b、 c（ 1） y=-3x2-x-1（ 3） y=x(1+x)（ 2） y=5x2-6 例 1、 下 列 函 数 中 ， 哪 些 是 二 次 函 数 ？ 若 是 ,分 别 指 出 二 次 项 系 数 ,一 次 项 系 数 ,常 数 项 。 (1) y=3(x 1)+1 (2) y=x+ (3) s=3 2t (4) y=(x+3) x (5)y= x (6) v=8 r1x_x1_ 解 : (1)y=3(x-1)+1 =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1即 y=3x2-6x+4是 二 次 函 数 .二 次 项 系 数 :一 次 项 系 数 :常 数 项 : 3-64(2) y=x+ 1x_ 不 是 二 次 函 数 .(3) s=3-2t是 二 次 函 数 .二 次 项 系 数 :一 次 项 系 数 :常 数 项 : -203 (4) y=(x+3)-x=x2+6x+9-x2即 y=6x+9不 是 二 次 函 数 . 二 次 项 系 数 : 一 次 项 系 数 : 常 数 项 : 800 不 是 二 次 函 数 .(5)y= -xx1_ (6) v=8 r 是 二 次 函 数 . 思 考 ： 2. 二 次 函 数 的 一 般 式 yax2 bx c（ a0） 与 一 元 二 次 方程 ax bx c 0（ a0） 有 什 么联 系 和 区 别 ？ 驶 向 胜 利 的彼 岸联 系 (1)等 式 一 边 都 是 ax2 bx c且 a 0 (2)方 程 ax2 bx c=0可 以 看 成 是函 数 y= ax2 bx c中 y=0时 得 到 的 .区 别 :前 者 是 函 数 .后 者 是 方 程 .等 式 另 一边 前 者 是 y,后 者 是 0 知识运用 例 1:下 列 函 数 中 ， 哪 些 是 二 次 函 数 ？ (1)y=3x-1 ( ) (2)y=3x2 （ ) (3)y=3x3+2x2 ( ) (4)y=2x2-2x+1( ) (5)y=x-2+x ( ) (6)y=x2-x(1+x) ( )不 是 是不 是不 是 是 不 是 驶 向 胜 利的 彼 岸知识运用m22m-1=2 m+1 0 m=3例 2:m取 何 值 时 ， 函 数 y= (m+1)x +(m-3)x+m 是 二 次 函 数 ？ 122 mm解:由题意得 一 次 函 数 y=kx+b (k 0),其 中 包 括 正 比 例 函 数 y=kx(k0), 反 比 例 函 数 y= (k0) ， 二 次 函 数 y=ax2+bx+c(a0)。现 在 我 们 学 习 过 的 函 数 有 : 可 以 发 现 ,这 些 函 数 的 名 称 都 形 象 地 反 映 了 函数 表 达 式 与 自 变 量 的 关 系 。xk ？ （ 3） 它 是 正 比 例 函 数（ 2） 它 是 一 次 函 数 ？（ 1） 它 是 二 次 函 数 ？c满 足 什 么 条 件 时b,当 a, c是 常 数 )，b,c(其 中 a,bxax函 数 y 2 0解 ： （ 1） a 0b0,(2)a 想 一 想 0c0,b0,(3)a 例 2、 y=（ m+3） x （ 1） m取 什 么 值 时 ， 此 函 数 是 正 比 例 函 数 ？（ 2） m取 什 么 值 时 ， 此 函 数 是 反 比 例 函 数 ？（ 3） m取 什 么 值 时 ， 此 函 数 是 二 次 函 数 ？m2-7解 ： （ ） 当 m2 7=1且 m+30即 m= 时 是 正比 例 函 数 。 22（ ） 当 m2 7=-1且 m+30即 m= 时 是 反 比 例 函数 。 6（ ） 当 m 2 7=2且 m+30即 m=3时 是 二 次 函 数 。 1.一 个 圆 柱 的 高 等 于 底 面 半 径 ,写 出 它的 表 面 积 s 与 半 径 r 之 间 的 关 系 式 .2. n支 球 队 参 加 比 赛 ,每 两 队 之 间 进 行一 场 比 赛 ,写 出 比 赛 的 场 次 数 m与 球 队数 n 之 间 的 关 系 式 .S=2r2 +2r2 即 S=4r2 121 nnm 即 nnm 2121 2 3、 下 列 函 数 中 ， （ x是 自 变 量 ） ， 是 二 次 函 数的 有 。A y=ax2+bx+c B y2=x2-4x+1C y=x2 D y=2+ x2+14.函 数 y=(m-n)x2+ mx+n 是 二 次 函 数 的 条 件 是 ( )A m,n是 常 数 ,且 m0 B m,n是 常 数 ,且 n0C m,n是 常 数 ,且 mn D m,n为 任 何 实 数B C C Y=x(40-2x)即 ： Y=-2x2+40 x当 x 12m时 ， 菜 园 的 面 积 为 ：Y=-2x2+40 x -2 122+40 12 192（ m2） 九马画山 在美丽的桂林有一处非常有名的景观叫“九马画山”，在一处石壁上的一些天然图案酷似各种形态的骏马。传说凡人只能找出两三匹马，谁要是找出其中的九匹马就能当“状元郎”。 在实践中感悟 横 看 成 岭 侧 成 峰 ， 远 近 高 低 各 不 同 变 换 角 度 分 析 问 题 若 函 数 y=x2m+n 2xm-n+3是 以 x为 自 变 量 的 二 次 函数 ， 求 m、 n的 值 。 2m+n=2m-n=1 m=1 n=0 2m+n=1m-n=2m=1n=-1 2m+n=2 m-n=2m=4/3n=-2/3 2m+n=2m-n=0 m=2/3n=-4/3 2m+n=0m-n=2m=2/3n=2/3
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