中考数学第一轮知识点习题复习 多边形与平行四边形课件.ppt

多边形与平行四边形 第五章 图形的性质 (一 ) 1 多边形和正多边形的概念及性质 概念 在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的封闭图形叫做 多边形 内角和 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 外角和 360 多边形 (n3 ) 对角线 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 条 概念 各条边都相等，且各内角都相等的多边形叫正多边形 . 正 多 边 形 (n 3) 性质 (1) 正多边形的各边相等，各角相等； (2) 正 n 边形的每一内角为 （ n 2 ） 1 8 0 n (3) 正 n 边形有 n 条对称轴； (4) 正 n 边形有一个外接圆和一个内切圆，它们是同心圆； (5) 对于正 n 边形，当 n 为奇数时，是轴对称图形，不是中 心对称图形；当 n 为偶数时，既是轴对称图形，又是中心 对称图形 (n 2)180 n（ n 3）2 2.平行四边形的性质以及判定 (1)性质： 平行四边形两组对边分别 _； 平行四边形对角 _， 邻角 _； 平行四边形对角线 _； 平行四边形是 _对称图形 (2)判定方法： 定义： _的四边形是平行四边形； _的四边形是平行四边形； _的四边形是平行四边形； _的四边形是平行四边形； _的四边形是平行四边形 3 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边 ， 且等于第三边的一半 平行且相等 相等 互补 互相平分 中心 两组对边分别平行 一组对边平行且相等 两组对边分别相等 两组对角分别相等 对角线互相平分 1利用平行四 边 形性 质进 行有关 计 算的一般思路 为 ： (1)运用平行四 边 形的性 质转 化角度或 线 段之 间 的等量关系： 对边 平行 可得相等的角 ， 进 而可得相似三角形； 对边 相等、 对 角 线 互相平分可 得相等的 线 段； 当有角平分 线 的条件 时 ， 可利用“平行角平分 线可 得等腰三角形”的结论得到等角、等边 (2)找到所求线段或角所在的三角形，若三角形为特殊三角形，则注意运 用特殊三角形的性质求解；若三角形为任意三角形，可以利用某两个三 角形全等或相似的性质进行求解，有时还可利用三角形的中位线等知识 求解 2 在判定四 边 形 为 平行四 边 形 时 ， 关 键 是 选择 判定的方法 可以从 边 、 角、 对 角 线 三个方面加以分析： (1)若已知一 组对边 相等 ， 则 需证这组对边 平行或者另外一 组对边 相等； 若已知一 组对边 平行 ， 则 需 证 明这组对边 相等或者另外一 组对边 平行； (2)若已知一组对角相等，则需证另一组对角相等； (3)若已知一条对角线平分另一条对角线，则需证对角线互相平分 3四种常用的辅助线 (1)常用连对角线的方法把四边形问题转化为三角形的问题； (2)有平行线时，常作平行线构造平行四边形； (3)有中线时，常作加倍中线构造平行四边形； (4)图形具有等邻边特征时 (如：等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形 等 )，可以通过引辅助线把图形的某一部分绕等邻边的公共端点旋转到另 一位置 1 (2015葫芦岛 )如图 ， 在五边形 ABCDE中 ， A B E 300 ， DP， CP分别平分 EDC， BCD， 则 P的度数是 ( ) A 60 B 65 C 55 D 50 A 2 (2015营口 )如图 ， 在 ABCD中 ， 对角线 AC与 BD交于点 O， DAC 42 ， CBD 23 ， 则 COD是 ( ) A 61 B 63 C 65 D 67 C 3 (2014本溪 )如图 ， 在 ABCD中 ， AB 4， BC 6， B 30 ， 则 此平行四边形的面积是 ( ) A 6 B 12 C 18 D 24 B 4 (2015本溪 )如图 ， ABCD的周长为 20 cm， AE平分 BAD， 若 CE 2 cm， 则 AB的长度是 ( ) A 10 cm B 8 cm C 6 cm D 4 cm D 5 ( 2 014 铁岭 ) 如图 ， A B C D 中 ， A B C 和 BCD 的平分线交于 AD 边上一点 E ， 且 BE 4 ， CE 3 ， 则 AB 的长是 ( ) A . 5 2 B 3 C 4 D 5 A 解析： 四边形 ABC D 是平行四边形 ， ABC ， B C D 的角平分线 的交点 E 落在 AD 边上 ， B EC 180 1 2 180 90 ， BE 4 ， CE 3 ， BC 3 2 4 2 5 ， ABE EB C ， AEB EB C ， DCE E C B ， DEC EC B ， ABE A EB ， DEC DCE ， AB AE ， DE DC ， 即 AE ED 1 2 AD 1 2 BC 5 2 ， AB AE 5 2 6 ( 2 015 辽阳 ) 一个多 边形的内角和是外角和的 2 倍 ， 则这个多边形的 边数为 _ _ 7 ( 2 015 大连 ) 如图 ， 在 AB C D 中 ， AC ， BD 相交于点 O ， AB 1 0 cm ， AD 8 cm ， AC BC ， 则 OB _ _ _ cm . 6 73 解析： 四边形 ABC D 是平行四边形 ， BC AD 8 cm ， OA OC 1 2 AC ， AC BC ， AC B 90 ， AC AB 2 BC 2 10 2 8 2 6 ， OC 3 ， OB BC 2 OC 2 8 2 3 2 73 8 (2013鞍山 )如图 ， D是 ABC内一点 ， BD CD， AD 6， BD 4 ， CD 3， E， F， G， H分别是 AB， AC， CD， BD的中点 ， 则四边形 EFGH的周长是 _ 解析： BD CD ， BD 4 ， CD 3 ， BC BD 2 CD 2 4 2 3 2 5 ， E ， F ， G ， H 分别是 AB ， AC ， CD ， BD 的中点 ， EH FG 1 2 AD ， EF GH 1 2 BC ， 四边形 EF G H 的周长 EH GH FG EF AD BC ， 又 AD 6 ， 四边形 E FG H 的周长 6 5 11 11 9 (2013阜新 )如图 ， 已知 ABC的三个顶点的坐标分别为 A( 2， 0) ， B( 1， 2)， C(2， 0)， 请直接写以 A， B， C为顶点的平行四边形的第 四个顶点 D的坐标 _ (3， 2)( 5， 2)(1， 2) 10 (2014抚顺 )将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置 摆放如果 3 32 ， 那么 1 2 _度 70 11 ( 201 5 锦州 ) 如图 ， A B C 中 ， 点 D ， E 分别是边 BC ， AC 的中点 ， 连接 DE ， AD ， 点 F 在 BA 的延长线上 ， 且 AF 1 2 AB ， 连接 EF ， 判断 四边形 A DEF 的形状 ， 并加以证明 解：四边形 A DEF 是平行四边形 证明： 点 D ， E 分别是边 BC ， AC 的中点 ， DE BF ， DE 1 2 AB ， AF 1 2 AB ， DE AF ， 四 边形 AD E F 是平行四边形 12 (2015鞍山 )如图 ， ABCD的对角线相交于点 O， 点 E， F， P分别 是 OB， OC， AD的中点 ， 分别连接 EP， EF， PF， EP与 AC相交于点 G， 且 AC 2AB. 求证： (1) APG FEG； (2) PEF为等腰三角形 证明： ( 1) 点 E ， F 分别为 OB ， OC 的中点 ， EF 是 OBC 的中位线 ， EF BC ， EF 1 2 BC ， 又 四边形 ABC D 为平行四边形 ， AD BC ， AD BC ， AD EF ， AP E FE P ， P AF EF A ， 又 点 P 为 AD 的中点 ， AP 1 2 AD ， AP EF ， APG FEG ( A SA ) (2) 连接 AE ， AC 2AB ， AC 2AO ， AB AO ， 又 BE OE ， AE BO ， 在 Rt AE D 中 ， EP 是斜边上的中线 ， EP 1 2 AD ， EP EF ， PE F 为等腰三角形 多边形及其性质 【例 1 】 ( 1) ( 2015 莱芜 ) 一个多边形除一个内角外其余内角的和为 1510 ， 则这个多边形对角线的条数是 ( ) A 27 B 35 C 44 D 54 (2) ( 阜新模拟 ) 在四边形 AB CD 中 ， A B C ， 点 E 在边 AB 上 ， AE D 60 ， 则一定有 ( ) A A DE 20 B ADE 30 C A DE 1 2 A DC D A DE 1 3 A DC C D 解析： 如图 ， 在 A ED 中 ， AE D 60 ， A 180 AE D ADE 120 ADE ， 在四边形 DEBC 中 ， DEB 180 AE D 180 60 120 ， B C ( 360 DEB E DC ) 2 120 1 2 EDC ， A B C ， 120 ADE 120 1 2 E DC ， ADE 1 2 ED C ， ADC A DE E DC 1 2 EDC E DC 3 2 EDC ， ADE 1 3 ADC ， 故选： D 【点评】 ( 1) 设出题中所求的两个未知数，利用内角和公式列出相应等 式，根据边数为整数求解，再进一步代入多边形的对角线计算公 式 n （ n 3 ） 2 ，即可解答 (2) 利用三角形的内角和为 18 0 ，四边形的内角 和为 36 0 ，分别表示出 A ， B ， C. 1 (1)(2015丽水 )一个多边形的每个内角均为 120， 则这个多边形是 ( ) A 四边形 B五边形 C 六边形 D七边形 (2)(辽阳模拟 )如图 ， 小明从 A点出发 ， 沿直线前 进 12米后向左转 36 ， 再沿直线前进 12米 ， 又 向左转 36 照这样走下去 ， 他第一次回到出 发地 A点时 ， 一共走了 _米 C 120 平行四边形的性质 【 例 2】 (辽阳模拟 )如图 ， 在平行四边形 ABCD中 ， B AFE ， EA是 BEF的角平分线求证： (1) ABE AFE； (2) FAD CDE. 证明： ( 1 ) EA 是 BEF 的角平分线 ， 1 2 ， 在 AB E 和 AF E 中 ， B A FE ， 1 2 ， AE AE ， ABE A FE ( A AS ) ( 2 ) AB E A FE ， AB AF ， 四边形 ABCD 是平行四边形 ， AB CD ， AD CB ， AB CD ， AF CD ， A DF DEC ， B C 180 ， B AF E ， AF E A FD 180 ， AF D C ， 在 AFD 和 DCE 中 ， A DF F EC ， AFD C ， AF DC ， A FD DCE ( A AS ) ， F A D CDE 【 点评 】 平行四边形对边相等，对边平行，对角相等，邻角互补 ，对角线互相平分，利用这些性质可以解决与平行四边形相关的问 题，也可将四边形的问题转化为三角形的问题 对应训练 2 ( 2015 绥化 ) 如图 ， A BC D 的对角线 AC ， BD 交于点 O ， AE 平分 BA D 交 BC 于点 E ， 且 A DC 60 ， AB 1 2 BC ， 连接 OE. 下列结 论： C AD 30 ； S ABCD AB AC ； OB AB ； OE 1 4 BC ， 成立的个数有 ( ) A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 C 平行四边形的判定 【 例 3】 (盘锦模拟 )嘉淇同学要证明命题 “ 两组对边分别相等的四边 形是平行四边形 ” 是正确的 ， 她先用尺规作出了如图的四边形 ABCD， 并写出了如下不完整的已知和求证 已知：如图 ， 在四边形 ABCD中 ， BC AD， AB _； 求证：四边形 ABCD是 _四边形 (1)补全已知和求证； (2)按嘉淇的想法写出证明； (3)用文字叙述所证命题的逆命题为 _ CD 平行 平行四边形的两组对边分别相等 解： (2) 证明：连接 BD ， 在 AB D 和 C DB 中 ， AB CD ， AD BC ， BD DB ， AB D C DB ( S SS ) ， ADB DBC ， ABD C D B ， AB CD ， AD CB ， 四边形 ABC D 是平行四边形 【 点评 】 探索平行四 边 形成立的条件 ， 有多种方法判定平行四 边 形： 若条件中涉及角 ， 考 虑 用 “ 两 组对 角分 别 相等 ” 或“两 组对边 分 别 平 行 ” 来 证 明； 若条件中涉及 对 角 线 ， 考 虑 用 “ 对 角 线 互相平分 ” 来 说 明； 若条件中涉及 边 ， 考 虑 用 “ 两 组对边 分 别 平行 ” 或“一 组对边 平 行且相等 ” 来 证 明 ， 也可以巧添 辅 助 线 ， 构建平行四 边 形 对应训练 3 (2015桂林 )如图 ， 在 ABCD中 ， 点 E， F分别是 AB， CD的中点 (1)求证：四边形 EBFD为平行四边形； (2)对角线 AC分别与 DE， BF交于点 M， N， 求证： ABN CDM. 解： (1) 证明： 四边形 AB CD 是平行四边形 ， AB CD ， AB CD. E ， F 分别是 AB ， CD 的中点 ， BE DF ， BE DF ， 四边形 E BFD 为平 行四边形 ( 2) 证明： 四边形 EBF D 为平行四边形 ， DE BF ， CDM CFN . 四 边形 ABC D 是平行四边形 ， AB CD ， AB CD . BAC DCA ， ABN CFN ， AB N CDM ， 在 AB N 与 CDM 中 ， BAN D CM ， AB CD ， ABN C DM ， ABN CDM ( ASA ) 三角形中位线定理 【 例 4】 (2014宿迁 )如图 ， 在 ABC中 ， 点 D， E， F分别是 AB， BC， CA的中点 ， AH是边 BC上的高 (1)求证：四边形 ADEF是平行四边形； (2)求证： DHF DEF. 解： (1) 点 D， E， F分别是 AB， BC， CA的中点 ， DE， EF都是 ABC的中位线 ， EF AB， DE AC， 四边形 ADEF是平行四边形 (2) 四边形 ADEF是平行四边形 ， DEF BAC， D， F分别是 AB， CA的中点 ， AH是边 BC上的高 ， DH AD， FH AF， DAH DHA， FAH FHA， DAH FAH BAC， DHA FHA DHF， DHF BAC， DHF DEF 【 点评 】 当已知三角形一 边 中点 时 ， 可以 设 法找出另一 边 的中点 ， 构造三角形中位 线 ， 进 一步利用三角形的中位 线 定理 ， 证 明 线 段 平行或倍分 问题 对应训练 4 (1) ( 葫芦岛模拟 ) 如图 ， 四边形 ABC D 中 ， A 90 ， AB 3 3 ， AD 3 ， 点 M ， N 分别为线段 BC ， AB 上的动点 ( 含端点 ， 但点 M 不与点 B 重合 ) ， 点 E ， F 分别为 DM ， MN 的中点 ， 则 EF 长度的最 大值为 _ _ 3 (2)(2015河北 )平面上 ， 将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正 六边形的一边重合并叠在一起 ， 如图 ， 则 3 1 2 _ 24 21.不可将未加证明的条件作为已知条件或推理依据 试题 如图 ， 已知六边形 ABCDEF的六个内角均为 120 ， CD 10 cm， BC 8 cm， AB 8 cm， AF 5 cm， 求此六边形的周长 错解 解：如图 ， 连接 EB， DA， FC， 分别交于点 M， N， P. FED EDC 120 ， DEM EDM 60 ， DEM是等边三角形同理 ， MAB， NFA也是等边三角形 ， FN AF 5， MA AB 8. EFA 120 ， EFC 60 ， ED FC， 同理 ， EF DN， 四边形 EDNF是平行四边形同理 ， 四边形 EMAF也是平行四边形 ， ED FN 5， EF MA 8. 六边形 ABCDEF的周长 AB BC CD DE EF FA 8 8 10 5 8 5 44(cm) 剖析 上述解法最根本的 错误 在于多 边 形的 对 角 线 不是角平分 线 ， 从 证 明的一开始 ， 由 FED EDC 120 得到 DEM EDM 60 的 这 个 结论 就是 错误 的 ， 所以后面的推理就没有依据了 ， 请 注意 对 角 线 与 角平分 线 的区 别 ， 只有菱形和正方形的 对 角 线 才有平分一 组对 角的特性 ， 其他的不具有 这 一性 质 不可凭直 观 感 觉 就以 为对 角 线 AD， BE平分 CDE， DEF.切 记 ： 视觉 不可代替 论证 ， 直 观 判断不能代替 逻辑 推 理 正解 如图 ， 分别延长 ED， BC交于点 M， 延长 EF， BA交于点 N. EDC DCB 120 ， MDC MCD 60 ， M 60 ， MDC是等边三角形 CD 10， MC DM 10.同理 ， ANF 也是等边三角形 ， AF AN NF 5. AB BC 8， NB 8 5 13 ， BM 8 10 18. E 120 ， E M 180 ， EN MB.同 理 ， EM NB， 四边形 EMBN是平行四边形 ， EN BM 18， EM NB 13， EF EN NF 18 5 13， ED EM DM 13 10 3 ， 六边形 ABCDEF的周长 AB BC CD DE EF FA 8 8 10 3 13 5 47(cm)