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第 2章推理与证明 1.了解推理的概念.2.理解合情推理与演绎推理的概念、思维形式、应用等.3.掌握直接证明与间接证明.4.理解数学归纳法，并会用数学归纳法证明问题.学习目标 栏目索引 知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠 知识梳理 自 主 学 习知识点一合情推理与演绎推理1.归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明.2.演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性. 知识点二直接证明与间接证明直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法. 思考反证法通常适用于哪些问题？答案反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要.反证法主要证明：否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几何问题. 答案 知识点三数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时，它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)nn0时结论成立.第二步(归纳递推)假设nk时，结论成立，推得nk1时结论也成立.数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立.思考何为探索性命题？其解题思路是什么？答案探索性命题是试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论的问题称为探求规律性问题，它的解题思想是：从给出的条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明. 答案返回 题型探究 重 点 突 破 解析答案 题型一合情推理及应用例1观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10_.解析记anbnf(n)，则f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现f(n)f(n1)f(n2)(n N*，n 3)，则f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a 10b10123.123反思与感悟 反思与感悟归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明.尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用.运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的.在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想，最后用逻辑推理方法进行验证. 解析答案 跟踪训练1自然数按下表的规律排列则上起第2 014行，左起第2 015列的数为_.2 0142; 2 0152；2 0132 014; 2 0142 015. 解析经观察可得这个自然数表的排列特点：(1)第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；(2)第一行第n个数为(n1)21；(3)第n行从第1个数至第n个数依次递减1；(4)第n列从第1个数至第n个数依次递增1.故上起第2 014行，左起第2 015列的数，应是第2 015列的第2 014个数，即为(2 0151) 212 0132 0142 015.答案 解析答案 题型二直接证明与间接证明 反思与感悟 反思与感悟 反思与感悟直接证明方法可具体分为比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用. 解析答案 跟踪训练2已知等差数列an中，首项a10，公差d0.解 an是等差数列，a11，d2， a47，am2m1.即2m149. m25. 解析答案又 a10，d0， an1a1ndd，因此假设不成立，故命题得证. 解析答案 题型三数学归纳法及应用例3已知ai0(i1,2，n)，考察：归纳出对a 1，a2，an都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明.反思与感悟 证明：当n1时，显然成立.假设当nk时，不等式成立，由可知，不等式对任意正整数n都成立. 反思与感悟 反思与感悟数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当nk1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的. 解析答案 跟踪训练3数列an满足Sn2nan(n N*).(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；解当n1时，a1S12a1， a11；当n4时，a1a2a3a4S424a4， 解析答案 (2)证明(1)中的猜想.证明当n1时，a11，结论成立.假设nk(k 1且k N*)时，结论成立，那么nk1时，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1， 2ak12ak.当nk1时，结论成立. 例4已知x，y R，且x2y20，求证x，y全为0.错解假设结论不成立，则x，y全不为0，即x 0且y 0， x2y20，与x2y20矛盾，故x，y全为0.错因分析x，y全为0的否定应为x，y不全为0，即至少有一个不是0，得x2y20与已知矛盾.正解假设x，y不全为0，则有以下三种可能：x0，y 0，得x2y20，与x2y20矛盾；x 0，y0，得x2y20, 与x2y20矛盾；x 0，y 0，得x 2y20，与x2y20矛盾.假设是错误的， x，y全为0. 易错易混 应用反证法证明问题时，因对结论否定不正确致误 解析答案返回防范措施 应用反证法证明问题时，首先要否定结论，假设结论的反面成立，当结论的反面呈现多样性时，需罗列出各种可能情形，否定一定要彻底. 返回 防范措施 当堂检测1.下列推理正确的是_.把a(bc)与loga(xy)类比，则loga(xy)logaxlogay；把a(bc)与sin(xy)类比，则sin(xy)sin xsin y；把(ab)n与(xy)n类比，则(xy)nxnyn；把(ab)c与(xy)z类比，则(xy)zx(yz). 答案 解析答案 2.在ABC中，若sin Asin Ccos Acos C，则ABC形状为_.解析由sin Asin Ccos Acos C，得cos(AC)0，即cos B0, 所以B为锐角，但并不能确定角A和C的情况.不确定 解析答案 解析答案 4.如图是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n个图形中的花盆数an_.解析观察知每一个图案中间一行的花盆数为1,3,5，其中第n个图案中间一行的花盆数为2n1，往上一侧花盆数依次是2n2,2n3，3n23n1 解析答案 (1)求f2(x)，f3(x)； (2)猜想fn(x)的表达式，并证明.下面用数学归纳法证明：当n1时，命题显然成立；这就是说当nk1时命题也成立. 解析答案 课堂小结 返回 转化与化归的思想方法是数学最基本的思想方法，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，转化与化归是数学思想方法的灵魂.在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化，数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化，反证法体现的是对立与统一的转化.从特殊到一般的思想方法即由特殊情况入手，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.与正整数n有关的命题，经常要用到归纳猜想，然后用数学归纳法证明，这体现了从特殊到一般的探求规律的思想.
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