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第三章 1 知识网络 整体构建2 要点归纳 主干梳理3 题型探究 重点突破章末复习提升 1.归纳和类比都是合情推理,前者是由特殊到一般,部分到整体的推理,后者是由特殊到特殊的推理,但二者都能由已知推测未知,都能用于猜想,推理的结论不一定为真,有待进一步证明. 2.演绎推理与合情推理不同,是由一般到特殊的推理,是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式,另一方面,合情推理与演绎推理又是相辅相成的,前者是后者的前提,后者论证前者的可靠性. 3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法,在解决数学问题时,常把它们结合起来使用,间接证法的一种方法是反证法,反证法是从结论反面成立出发,推出矛盾的证明方法. 题型一归纳推理和类比推理归纳推理和类比推理是常用的合情推理,两种推理的结论“ 合情”但不一定“ 合理” ,其正确性都有待严格证明.尽管如此,合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用.运用合情推理时,要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的.在解决问题时,可以先从观察入手,发现问题的特点,形成解决问题的初步思路,然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想,最后用逻辑推理方法进行验证. 例1观察下列各式：ab1,a2b23,a3b34,a4b47,a5b511, ,则a10b10等于()A.28 B.76 C.123 D.199解析记anbnf(n),则f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11. 通过观察不难发现f(n)f(n1)f(n2)(n N,n 3),则f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.答案C 跟踪训练1自然数按下表的规律排列 则上起第2 014行,左起第2 015列的数为()A.2 0142 B.2 0152C.2 0132 014 D.2 0142 015解析经观察可得这个自然数表的排列特点：第一列的每个数都是完全平方数,并且恰好等于它所在行数的平方,即第n行的第1个数为n2；第一行第n个数为(n1)21； 第n行从第1个数至第n个数依次递减1；第n列从第1个数至第n个数依次递增1.故上起第2 014行,左起第2 015列的数,应是第2 015列的第2 014个数,即为(2 0151)212 0132 0142 015.答案D 题型二直接证明高考题对直接证明的考查,各种题型均有体现,尤其是解答题,一直是考查证明方法的热点与重点.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题常用的思维方式.如果从解题的切入点的角度细分,直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等,应用综合法证明问题时,必须首先想到从哪里开始起步,分析法就可以帮助我们克服这种困难,在实际证明问题时,应当把分析法和综合法结合起来使用. 而上述不等式显然成立,故原不等式成立. 跟踪训练2如图,在四面体BACD中,CBCD,AD BD,且E,F分别是AB,BD的中点,求证：(1)直线EF 平面ACD；证明要证直线EF 平面ACD,只需证EF AD且EF 平面ACD.因为E,F分别是AB,BD的中点,所以EF是 ABD的中位线,所以EF AD,所以直线EF 平面ACD. (2)平面EFC 平面BCD.证明要证平面EFC 平面BCD,只需证BD 平面EFC,又因为CBCD,F为BD的中点,所以CF BD.所以平面EFC 平面BCD. 题型三反证法如果一个命题的结论难以直接证明时,可以考虑反证法.通过反设结论,经过逻辑推理,得出矛盾,从而肯定原结论成立.反证法是高中数学的一种重要的证明方法,在不等式和立体几何的证明中经常用到,在高考题中也经常体现,它所反映出的“ 正难则反” 的解决问题的思想方法更为重要.反证法主要证明：否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几何问题. 例3如图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB、DF的中点.(1)若平面ABCD 平面DCEF,求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；解如图所示,取CD的中点G,连接MG,NG,设正方形ABCD,DCEF的边长为2, 平面ABCD 平面DCEF, MG 平面DCEF, MNG是MN与平面DCEF所成的角. (2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线.证明假设直线ME与BN共面,则AB 平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN, 两正方形不共面, AB 平面DCEF.又AB CD,所以AB 平面DCEF,而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线, AB EN.又AB CD EF, EN EF,这与EN EFE矛盾,故假设不成立. ME与BN不共面,即它们是异面直线. 证明假设a,b,c都不大于0,即a 0,b 0,c 0, 30,且(x1)2(y1)2(z1)2 0, abc0,这与abc 0矛盾,因此假设不成立, a,b,c中至少有一个大于0. 课堂小结1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理(1)归纳推理的基本模式：a,b,c M且a,b,c具有某属性,结论任意d M,d也具有某属性.(2)类比推理的基本模式：A具有属性a,b,c,d；B具有属性a ,b ,c ；结论：B具有属性d .(a,b,c,d与a ,b , c ,d 相似或相同). 2.使用反证法证明问题时,常见的“ 结论词” 与“ 反设词” 列表如下：原结论词 反设词 原结论词 反设词至少有一个 一个也没有 对所有x成立 存在某个x不成立至多有一个 至少有两个 对任意x不成立 存在某个x成立至少有n个 至多有n1个 p或q 綈 p且綈 q至多有n个 至少有n1个 p且q 綈 p或綈 q
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