资源描述
第二讲点、直线、平面之间的位置关系 【 知 识 回 顾 】1.平 行 公 理若 a b,b c,则 a c. 定 理 符 号 表 示 图 形 表 示线 面 平行 的 判定 定 理 _线 面 平行 的 性质 定 理 _a ,ba b a a ,a b a b 2.线 面 平 行 与 垂 直 的 判 定 与 性 质 定 理 符 号 表 示 图 形 表 示线 面 垂直 的 判定 定 理 _线 面 垂直 的 性质 定 理 _a, ba ,ba b O l l lab a b 3.面 面 平 行 与 垂 直 的 判 定 与 性 质定 理 符 号 表 示 图 形 表 示面 面 垂直 的 判定 定 理 _面 面 垂直 的 性质 定 理 _aa ca ,a c a 定 理 符 号 表 示 图 形 表 示面 面 平行 的 判定 定 理 _面 面 平行 的 性质 定 理 _a ,ba ,ba b O ab a b 【 易 错 提 醒 】1.忽 略 判 定 定 理 和 性 质 定 理 中 的 条 件 致 误 :应 用 线 面 平行 判 定 定 理 时 ,忽 略 “ 直 线 在 平 面 外 ” “ 直 线 在 平 面 内 ”的 条 件 ;应 用 线 面 垂 直 及 面 面 平 行 的 判 定 定 理 时 ,忽 略“ 两 直 线 相 交 ” “ 两 直 线 在 平 面 内 ” 的 条 件 ;应 用 面 面垂 直 的 性 质 定 理 时 忽 略 “ 直 线 在 平 面 内 ” “ 直 线 垂 直于 两 平 面 的 交 线 ” 的 条 件 等 . 2.把 平 面 几 何 中 的 相 关 结 论 推 广 到 空 间 直 接 利 用 而 致误 :如 平 面 内 垂 直 于 同 一 条 直 线 的 两 条 直 线 相 互 平 行 ,这 个 结 论 在 空 间 中 不 成 立 . 3.不 能 准 确 掌 握 判 定 定 理 和 性 质 定 理 致 误 :如 线 面 平 行的 性 质 定 理 中 是 过 与 平 面 平 行 的 直 线 的 平 面 与 该 平 面的 交 线 与 已 知 直 线 平 行 ,而 非 作 出 的 直 线 ;面 面 平 行 的性 质 定 理 中 平 行 的 两 条 直 线 一 定 是 第 三 个 平 面 与 两 平行 平 面 的 交 线 等 . 【 考 题 回 访 】1.(2016 山 东 高 考 )已 知 直 线 a,b分 别 在 两 个 不 同 的 平面 , 内 ,则 “ 直 线 a和 直 线 b相 交 ” 是 “ 平 面 和 平面 相 交 ” 的 ( )A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 【 解 析 】 选 A.若 “ 直 线 a和 直 线 b相 交 ” ,则 它 们 一 定 有公 共 点 ,而 又 直 线 a,b分 别 在 两 个 不 同 的 平 面 , 内 ,所 以 平 面 , 一 定 存 在 公 共 点 ,所 以 “ 平 面 和 平 面 相 交 ” ;反 过 来 ,“ 平 面 和 平 面 相 交 ” ,而 “ 直 线a和 直 线 b也 可 能 平 行 或 异 面 ” ,所 以 是 充 分 不 必 要 条 件 . 2.(2016 全 国 卷 )平 面 过 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1的顶 点 A, 平 面 CB1D1, 平 面 ABCD=m, 平 面ABB1A1=n,则 m,n所 成 角 的 正 弦 值 为 ( )3 2 3 1A. B. C. D.2 2 3 3 【 解 析 】 选 A.如 图 所 示 :因 为 平 面 CB1D1,所 以 若 设 平 面 CB1D1 平 面 ABCD=m1,则 m1 m.又 因 为 平 面 ABCD 平 面 A1B1C1D1,结 合 平 面 B1D1C 平 面 A1B1C1D1=B1D1,所 以 B1D1 m1,故 B1D1 m. 同 理 可 得 :CD1 n.故 m,n所 成 角 的 大 小 与 B1D1,CD1所 成 角 的 大 小 相 等 ,即 CD1B1的 大 小 .而 B1C=B1D1=CD1(均 为 面 对 角 线 ),因 此 CD1B1= ,即 sin CD1B1= .3 32 3.(2013 全 国 卷 )已 知 m,n为 异 面 直 线 ,m 平 面 ,n 平 面 ,直 线 l满 足 l m,l n,l ,l ,则 ( )A. 且 l B. 且 l C. 与 相 交 ,且 交 线 垂 直 于 lD. 与 相 交 ,且 交 线 平 行 于 l 【 解 析 】 选 D.若 ,则 m n,这 与 m,n为 异 面 直 线 矛盾 ,所 以 A不 正 确 .将 已 知 条 件 转 化 到 正 方 体 中 ,易 知 与 不 一 定 垂 直 ,但 与 的 交 线 一 定 平 行 于 l,从 而 排除 B,C. 4.(2016 全 国 卷 ) , 是 两 个 平 面 ,m,n是 两 条 直 线 ,有 下 列 四 个 命 题 : 如 果 m n,m ,n ,那 么 , 如 果 m ,n ,那 么 m n; 如 果 ,m ,那 么 m ; 如 果 m n, ,那 么 m与 所 成 的 角 和 n与 所 成的 角 相 等 .其 中 正 确 的 命 题 有 _.(填 写 所 有 正 确 命 题 的编 号 )【 解 题 指 南 】 借 助 正 方 体 模 型 分 析 、 论 证 . 【 解 析 】 对 于 ,AA (m) 平 面 ABCD( ),AA (m) AD(n),AD(n) 平 面 A B C D ( ),显 然 平 面 ABCD( ) 平 面 A B C D ( ),故 错 误 ;对 于 ,n ,由 线 面 平 行 的 性 质 定 理 ,可 知 n与 内 的一 条 直 线 l平 行 ,因 为 m ,所 以 m l,所 以 m n,故 正 确 ; 对 于 ,设 过 m的 平 面 交 于 直 线 l,因 为 ,m ,由 面 面 平 行 的 性 质 定 理 可知 m l,由 线 面 平 行 的 判 定 定 理 ,可 知m ,故 正 确 ; 对 于 ,若 m,n分 别 与 平 面 , 平 行 (或 垂 直 ),结 论 显然 成 立 ,若 m,n分 别 与 平 面 , 不 平 行 ,也 不 垂 直 ,可 以分 别 作 出 m,n在 平 面 , 内 的 射 影 ,由 等 角 定 理 ,可 知结 论 也 成 立 ,故 正 确 .答 案 : 热 点 考 向 一 判 断 与 点 、 线 、 面 位 置 关 系 有 关 命 题 的真 假命 题 解 读 :主 要 考 查 利 用 空 间 点 、 直 线 、 平 面 位 置 关 系的 定 义 ,四 个 公 理 、 八 个 定 理 来 判 断 与 点 、 线 、 面 有 关命 题 的 真 假 ,以 选 择 题 、 填 空 题 的 形 式 出 现 . 【 典 例 1】 (1)(2016 洛 阳 二 模 )若 m,n为 两 条 不 重 合 的直 线 , , 为 两 个 不 重 合 的 平 面 ,则 下 列 命 题 中 正 确 的是 ( ) 若 直 线 m,n都 平 行 于 平 面 ,则 m,n一 定 不 是 相 交 直 线 ; 若 直 线 m,n都 垂 直 于 平 面 ,则 m,n一 定 是 平 行 直 线 ; 已 知 平 面 , 互 相 垂 直 ,且 直 线 m,n也 互 相 垂 直 ,若m ,则 n ; 若 直 线 m,n在 平 面 内 的 射 影 互 相 垂 直 ,则 m n.A. B. C. D. (2)(2016 武 汉 一 模 )如 图 ,AB是 O的 直 径 ,VA垂 直 于 O所 在 的 平 面 ,C是 圆 周 上 不 同 于 A,B的 任 意 一 点 ,M,N分 别 为 VA,VC的 中 点 ,则 下 列 结 论 正 确 的 是 ( ) A.MN ABB.MN与 BC所 成 的 角 为 45C.OC 平 面 VACD.平 面 VAC 平 面 VBC 【 解 题 导 引 】 (1)根 据 空 间 线 线 、 线 面 、 面 面 平 行 、 垂直 的 判 定 与 性 质 逐 个 进 行 判 断 ,并 充 分 利 用 正 方 体 或 长方 体 模 型 帮 助 求 解 .(2)根 据 条 件 逐 项 验 证 . 【 规 范 解 答 】 (1)选 A.对 于 ,m与 n可 能 平 行 ,可 能 相 交 ,也 可 能 异 面 ;对 于 ,由 线 面 垂 直 的 性 质 定 理 可 知 ,m与 n一 定 平 行 ,故 正 确 ;对 于 ,还 有 可 能 n 或 n ; 对 于 ,把 m,n放 入 正 方 体 中 ,如 图 ,取 A1B为 m,B1C为 n,平 面 ABCD为 平 面 ,则 m与 n在 内 的 射 影 分 别 为 AB与 BC,且 AB BC,而 m与 n所 成 的 角 为 60 ,故 错 .因 此 选 A. (2)选 D.对 于 A,若 MN AB,由 已 知 MN AC,则 得 AB AC,这 与 已 知 AB AC=A矛 盾 ,故 A错 ;对 于 B,由 题 意 得 BC AC,又 VA 平 面 ABC,BC 平 面 ABC,所 以 VA BC,而 AC VA=A,所 以 BC 平 面 VAC,MN 平 面 VAC,所 以 MN BC,故 B错 ;由此 知 C错 ,而 BC 平 面 VBC,故 得 平 面 VAC 平 面 VBC,所 以D正 确 . 【 规 律 方 法 】 判 断 与 空 间 位 置 关 系 有 关 的 命 题 真 假 的方 法(1)借 助 空 间 线 面 平 行 、 面 面 平 行 、 线 面 垂 直 、 面 面 垂直 的 判 定 定 理 和 性 质 定 理 进 行 判 断 . (2)借 助 空 间 几 何 模 型 ,如 从 长 方 体 模 型 、 四 面 体 模 型等 模 型 中 观 察 线 面 位 置 关 系 ,结 合 有 关 定 理 ,进 行 肯 定或 否 定 .(3)借 助 于 反 证 法 ,当 从 正 面 入 手 较 难 时 ,可 利 用 反 证 法 ,推 出 与 题 设 或 公 认 的 结 论 相 矛 盾 的 命 题 ,进 而 作 出 判 断 . 【 题 组 过 关 】1.(2016 浙 江 高 考 )已 知 互 相 垂 直 的 平 面 , 交 于 直线 l.若 直 线 m,n满 足 m ,n ,则 ( )A.m l B.m n C.n l D.m n 【 解 析 】 选 C.由 题 意 知 , =l,所 以 l ,因 为n ,所 以 n l. 2.(2016 太 原 一 模 )若 , 是 两 个 相 交 平 面 ,则 在 下列 命 题 中 ,真 命 题 的 序 号 为 _.(写 出 所 有 真 命 题的 序 号 ) 若 直 线 m ,则 在 平 面 内 ,一 定 不 存 在 与 直 线 m平行 的 直 线 ; 若 直 线 m ,则 在 平 面 内 ,一 定 存 在 无 数 条 直 线 与直 线 m垂 直 ; 若 直 线 m ,则 在 平 面 内 ,不 一 定 存 在 与 直 线 m垂直 的 直 线 ; 若 直 线 m ,则 在 平 面 内 ,一 定 存 在 与 直 线 m垂 直的 直 线 . 【 解 析 】 对 于 ,若 直 线 m ,如 果 , 互 相 垂 直 ,则在 平 面 内 ,存 在 与 直 线 m平 行 的 直 线 ,故 错 误 ;对 于 ,若 直 线 m ,则 直 线 m垂 直 于 平 面 内 的 所 有直 线 ,在 平 面 内 存 在 无 数 条 与 交 线 平 行 的 直 线 ,这 无数 条 直 线 均 与 直 线 m垂 直 ,故 正 确 ; 对 于 , ,若 直 线 m ,则 在 平 面 内 ,一 定 存 在 与 直线 m垂 直 的 直 线 ,故 错 误 , 正 确 .答 案 : 【 加 固 训 练 】1.(2015 浙 江 高 考 )设 , 是 两 个 不 同 的 平 面 ,l,m是 两 条 不 同 的 直 线 ,且 l ,m ( )A.若 l ,则 B.若 ,则 l mC.若 l ,则 D.若 ,则 l m 【 解 析 】 选 A.选 项 A中 ,由 平 面 与 平 面 垂 直 的 判 定 ,故 正确 ;选 项 B中 ,当 时 ,l,m可 以 垂 直 ,也 可 以 平 行 ,也可 以 异 面 ;选 项 C中 ,l 时 , , 可 以 相 交 ;选 项 D中 , 时 ,l,m也 可 以 异 面 . 2.设 l,m是 两 条 不 同 的 直 线 , , 是 两 个 不 同 的 平 面 ,给出 下 列 命 题 : 若 l ,l ,则 ; 若 l ,l ,则 ; 若 ,l ,则 l ; 若 ,l ,则l ; 若 l ,l , =m,则 l m.其 中 真 命 题的 个 数 为 ( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【 解 析 】 选 B. 若 l ,l ,则 或 相 交 ,因 此是 假 命 题 ; 若 l ,l ,根 据 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 得 : ,是 真 命 题 ; 若 ,l ,则 l 或 l ,因 此是 假 命 题 ; 若 ,l ,则 l 不 正 确 ,因 此 是 假命 题 ; 若 l ,l , =m,则 l m,是 真 命 题 .其中 真 命 题 的 个 数 为 2. 3.(2015 广 东 高 考 )若 直 线 l1和 l2是 异 面 直 线 ,l1在 平 面 内 ,l2在 平 面 内 ,l是 平 面 与 平 面 的 交 线 ,则 下 列命 题 正 确 的 是 ( )A.l至 少 与 l1,l2中 的 一 条 相 交B.l与 l1,l2都 相 交 C.l至 多 与 l1,l2中 的 一 条 相 交D.l与 l1,l2都 不 相 交 【 解 析 】 选 A.直 线 l1和 l2是 异 面 直 线 ,l1在 平 面 内 ,l2在平 面 内 , =l,则 l至 少 与 l1,l2中 的 一 条 相 交 . 热 点 考 向 二 空 间 平 行 、 垂 直 关 系 的 证 明 命 题 解 读 :主 要 考 查 线 面 平 行 、 垂 直 及 面 面 平 行 、 垂 直的 判 定 定 理 与 性 质 定 理 ,以 解 答 题 的 形 式 出 现 . 命 题 角 度 一 空 间 平 行 关 系 的 证 明【 典 例 2】 (2016 资 阳 二 模 )如 图 ,在 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1中 ,AA1 底 面 ABCD,底 面 ABCD为 直 角 梯 形 ,其 中 AB CD, AB AD,AB=AC=2CD=2,AA1= ,过 AC的 平 面 分 别 与A1B1,B1C1交 于 E1,F1,且 E1为 A1B1的 中 点 .3 (1)求 证 :平 面 ACF1E1 平 面 A1C1D.(2)求 证 :F1为 B1C1的 中 点 .(3)求 锥 体 B-ACF1E1的 体 积 . 【 解 题 导 引 】 (1)连 接 C1E1,则 可 证 四 边 形 A1D1C1E1是 平行 四 边 形 ,四 边 形 ACC1A1是 平 行 四 边 形 ,故 AE1 DC1,AC A1C1,于 是 由 面 面 平 行 的 判 定 定 理 得 平 面 ACF1E1平 面 A1C1D. (2)由 E1为 A1B1的 中 点 只 需 证 明 A1C1 E1F1即 可 .(3)将 棱 锥 分 解 成 三 棱 锥 E1-ABC和 三 棱 锥 E1-BCF1,分 别计 算 两 个 小 三 棱 锥 的 体 积 . 【 规 范 解 答 】 (1)连 接 C1E1,因 为 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1中 ,A1B1=2D1C1,A1B1 C1D1,又 E1为 A1B1的 中 点 ,则 A1E1 D1C1,所 以 四 边 形 A1D1C1E1是 平 行 四 边 形 ,所 以 C1E1 A1D1.又 A1D1 AD,所 以 C1E1 AD. 所 以 四 边 形 ADC1E1是 平 行 四 边 形 ,所 以 AE1 DC1.在 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1中 ,因 为 AA1 CC1,AA1=CC1,所 以 四 边 形 ACC1A1是 平 行 四 边 形 ,所 以 AC A1C1.又 AE1 平 面 ACF1E1,AC 平 面 ACF1E1,DC1 平 面A1C1D,A1C1 平 面 A1C1D,AC AE1=A,DC1 A1C1=C1,所 以 平 面 ACF1E1 平 面 A1C1D. (2)因 为 在 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1中 ,AC 平 面 A1B1C1D1,AC 平 面 ACF1E1,平 面 ACF1E1 平 面 A1B1C1D1=E1F1,所 以 AC E1F1,又 AC A1C1,所 以 A1C1 E1F1.又 E1为 A1B1的 中 点 ,所 以 F1为 B1C1的 中 点 . (3)因 为 底 面 ABCD为 直 角 梯 形 ,且AB CD,AB AD,AB=2CD=2,所 以 ABC是 边 长 为 2的 等 边 三 角 形 , E1B1C1是 边 长 为 1的 等 边 三 角 形 .连 接 CE1,BE1,点 E1到 平 面 BCC1B1的 距 离 h= .32 则所 以 锥 体 B-ACF1E1的 体 积 1 2E -ABC ABC 11 1 3V S AA 2 3 13 3 4 ，1 1 1E -BCF BCF1 1 1 3 1V S h 2 3 .3 3 2 2 2 1 1 1E -ABC E -BCF 3V V V .2 【 易 错 警 示 】 解 答 本 题 易 出 现 以 下 三 种 错 误1.(1)中 忽 略 AE1,AC在 平 面 ACF1E1内 ,DC1,A1C1在 平 面A1C1D内 ,及 其 相 交 ,致 误 .2.(2)中 忽 略 AC在 平 面 ACF1E1及 E1F1为 两 平 面 交 线 而 致误 .3.(3)不 能 转 化 为 两 个 三 棱 锥 的 体 积 和 求 解 . 【 母 题 变 式 】1.在 本 例 条 件 下 ,求 证 :A1D 平 面 BCE1. 【 证 明 】 连 接 CE1.因 为 CD AB,A1E1 AB,所 以 CD A1E1,故 四 边 形 CDA1E1为 平 行 四 边 形 ,所 以 A1D E1C,又 A1D 平 面 BCE1,E1C 平 面 BCE1,所 以 A1D 平 面 BCE1. 12 12 2.在 本 例 的 条 件 下 ,求 证 :平 面 ADC1E1 平 面 DCC1D1.【 证 明 】 连 接 C1E1,因 为 AB CD,AB AD,所 以 AD CD.又 A1A 底 面 ABCD,AA1 DD1,所 以 DD1 平 面 ABCD,AD 平 面 ABCD,所 以 AD DD1.而 DD1 DC=D,所 以 AD 平 面 DCC1D1,又 AD 平 面 ADC1E1,所 以 平 面 ADC1E1 平 面 DCC1D1. 3.在 本 例 中 若 M,N分 别 为 AB,CC1的 中 点 ,求 证 :MN 平 面ADD1A1.【 证 明 】 取 DD1的 中 点 为 G,连 接 GN,GA,由 已 知 得 GN CD,CD AB=AM,所 以 AM GN,故 四 边 形 AMNG为 平 行 四 边 形 ,所 以 AG MN, 12 又 MN 平 面 ADD1A1,AG 平 面 ADD1A1,所 以 MN 平 面 ADD1A1. 命 题 角 度 二 空 间 垂 直 关 系 的 证 明【 典 例 3】 (2016 全 国 卷 )如 图 ,已 知 正 三 棱 锥 P-ABC的 侧 面 是 直 角 三 角 形 ,PA=6,顶 点 P在 平 面 ABC内 的 正 投影 为 点 D,D在 平 面 PAB内 的 正 投 影 为 点 E,连 接 PE并 延 长交 AB于 点 G. (1)证 明 :G是 AB的 中 点 .(2)在 图 中 作 出 点 E在 平 面 PAC内 的 正 投 影 F(说 明 作 法 及理 由 ),并 求 四 面 体 PDEF的 体 积 . 【 题 目 拆 解 】 解 答 本 题 :第 (1)问 可 拆 成 两 个 小 题 证 明 AB PG. 证 明 PA=PB.第 (2)问 可 拆 成 两 个 小 题 . 证 明 EF 平 面 PAC. 求 四 面 体 PDEF的 体 积 . 【 规 范 解 答 】 (1)因 为 P在 平 面 ABC内 的 正 投 影 为 D,所 以 AB PD.因 为 D在 平 面 PAB内 的 正 投 影 为 E,所 以 AB DE.因 为 PD DE=D,所 以 AB 平 面 PDE,故 AB PG.又 由 已 知 可 得 ,PA=PB,从 而 G为 AB的 中 点 . (2)在 平 面 PAB内 ,过 点 E作 PB的 平 行 线 交 PA于 点 F,F即 为E在 平 面 PAC内 的 正 投 影 .理 由 如 下 :由 已 知 可 得PB PA,PB PC,又 EF PB,所 以 EF PA,EF PC.又 PA PC=P,因 此 EF 平 面 PAC,即 点 F为 E在 平 面 PAC内的 正 投 影 . 连 接 CG,因 为 P在 平 面 ABC内 的 正 投 影 为 D,所 以 D是 正 三 角 形 ABC的 中 心 .由 (1)知 ,G是 AB的 中 点 ,所 以 D在 CG上 ,故 CD= CG.由 题 设 可 得 PC 平 面 PAB,DE 平 面 PAB,所 以 DE PC,因 此 PE= PG,DE= PC. 2323 13 由 已 知 ,正 三 棱 锥 的 侧 面 是 直 角 三 角 形 且 PA=6,可 得DE=2,PE=2 .在 等 腰 直 角 三 角 形 EFP中 ,可 得 EF=PF=2.所 以 四 面 体 PDEF的 体 积 V=2 1 1 42 2 2 .3 2 3 【 规 律 方 法 】1.证 明 空 间 三 种 平 行 关 系 的 常 用 方 法(1)证 明 线 线 平 行 利 用 三 角 形 中 位 线 定 理 证 明 ; 利 用 平 行 四 边 形 对 边 平 行 证 明 ; 利 用 平 行 公 理 证 明 ; 利 用 线 面 平 行 的 性 质 证 明 ; 利 用 面 面 平 行 的 性 质 证 明 . (2)证 明 线 面 平 行 利 用 线 面 平 行 的 判 定 定 理 ,把 证 明 线 面 平 行 转 化 为 证明 线 线 平 行 ; 利 用 面 面 平 行 的 性 质 定 理 ,把 证 明 线 面 平 行 转 化 为 证明 面 面 平 行 . (3)证 明 面 面 平 行证 明 面 面 平 行 ,依 据 判 定 定 理 ,将 证 明 面 面 平 行 转 化 为证 明 线 面 平 行 ,再 转 化 为 证 明 线 线 平 行 . 2.证 明 空 间 三 种 垂 直 关 系 的 常 用 方 法(1)证 明 线 线 垂 直 利 用 特 殊 平 面 图 形 的 性 质 ,如 利 用 直 角 三 角 形 、 矩 形 、菱 形 、 等 腰 三 角 形 等 得 到 线 线 垂 直 ; 利 用 勾 股 定 理 的 逆 定 理 ; 利 用 线 面 垂 直 的 性 质 ,即 要 证 明 线 线 垂 直 ,只 需 证 明一 线 垂 直 于 另 一 线 所 在 平 面 即 可 . (2)证 明 线 面 垂 直 利 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 ,把 线 面 垂 直 的 判 定 转 化 为证 明 线 线 垂 直 ; 利 用 面 面 垂 直 的 性 质 定 理 ,把 证 明 线 面 垂 直 转 化 为 证明 面 面 垂 直 ; 利 用 常 见 结 论 ,如 两 条 平 行 线 中 的 一 条 垂 直 于 一 个 平面 ,则 另 一 条 也 垂 直 于 这 个 平 面 等 . (3)证 明 面 面 垂 直证 明 面 面 垂 直 常 用 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 ,将 证 明 面 面 垂直 转 化 为 证 明 线 面 垂 直 ,一 般 先 从 现 有 直 线 中 寻 找 ,若图 中 不 存 在 这 样 的 直 线 ,则 借 助 中 点 、 高 线 或 添 加 辅 助线 解 决 . 【 变 式 训 练 】(2016 宜 春 二 模 )如 图 ,在 四 棱 锥 P-ABCD中 ,底 面 ABCD是 正 方 形 ,PD 平 面 ABCD,点 E是 线 段 BD的 中 点 ,点 F是 线段 PD上 的 动 点 .(1)若 F是 PD的 中 点 ,求 证 :EF 平 面 PBC.(2)求 证 :CE BF. (3)若 AB=2,PD=3,当 三 棱 锥 P-BCF的 体 积 等 于 时 ,试判 断 点 F在 边 PD上 的 位 置 ,并 说 明 理 由 . 43 【 解 析 】 (1)在 PDB中 ,因 为 点 E是 BD的 中 点 ,点 F是 PD的 中 点 ,所 以 EF PB.又 因 为 EF 平 面 PBC,PB 平 面 PBC,所 以 EF 平 面 PBC. (2)因 为 PD 平 面 ABCD,且 CE 平 面 ABCD,所 以 PD CE.又 因 为 底 面 ABCD是 正 方 形 ,且 点 E是 BD的 中 点 ,所 以 CE BD.因 为 BD PD=D,所 以 CE 平 面 PBD,而 BF 平 面 PBD,所 以 CE BF. (3)点 F为 边 PD上 靠 近 D点 的 三 等 分 点 .理 由 如 下 :由 (2)可 知 ,CE 平 面 PBF.又 因 为 PD 平 面 ABCD,BD 平 面 ABCD,所 以 PD BD.设 PF=x,由 AB=2得 BD=2 ,CE= ,2 2 所 以 VP-BCF=VC-BPF= 由 已 知 所 以 x=2.因 为 PD=3,所 以 点 F为 边 PD上 靠 近 D点 的 三 等 分 点 .1 1 1 2PF BD CE 2 2 2x x.3 2 6 3 2 4x ,3 3 【 加 固 训 练 】1.(2016 石 家 庄 一 模 )如 图 ,已 知 四 棱 台 ABCD-A1B1C1D1的 上 、 下 底 面 分 别 是 边 长 为 3和 6的 正 方 形 ,AA1=6,且A1A 底 面 ABCD,点 P,Q分 别 在 棱 DD1,BC上 ,BQ=4. (1)若 DP= DD1,证 明 :PQ 平 面 ABB1A1.(2)若 P是 D1D的 中 点 ,证 明 :AB1 平 面 PBC.23 【 证 明 】 (1)在 AA1上 取 一 点 N,使 得 AN= AA1,因 为 DP= DD1,且 A1D1=3,AD=6,所 以 PN AD,又 BQ AD,所 以 PN BQ.所 以 四 边 形 BQPN为 平 行 四 边 形 , 2323 2323 所 以 PQ BN.因 为 BN 平 面 ABB1A1,PQ 平 面 ABB1A1,所 以 PQ 平 面 ABB1A1. (2)如 图 所 示 ,取 A1A的 中 点 M,连 接 PM,BM,PC,因 为 A1A,D1D是 梯 形 的 两 腰 ,P是 D1D的 中 点 ,所 以 PM AD,于 是 由 AD BC知 ,PM BC,所 以 P,M,B,C四 点 共 面 .由 题 设 可 知 ,BC AB,BC A1A,AB AA1=A,所 以 BC 平 面 ABB1A1, 所 以 BC AB1, 因 为 tan ABM= =tan A1AB1,所 以 ABM= A1AB1,所 以 ABM+ BAB1= A1AB1+ BAB1=90 ,所 以 AB1 BM,再 BC BM=B,知 AB1 平 面 PBC.1 11A BAM 3AB 6 A A 2.(2016 茂 名 一 模 )如 图 ,在 直 角 梯 形 ABCD中 ,AB CD,且 AB=AD=2,CD=4,四 边 形 ADE1F1是 正 方 形 ,且 平 面ADE1F1 平 面 ABCD,M是 E1C的 中 点 .(1)证 明 :BM 平 面 ADE1F1.(2)求 三 棱 锥 D-BME1的 体 积 . 【 解 析 】 (1)取 E1D的 中 点 N,连 接 MN,AN,在 E1DC中 ,M,N分 别 为 E1C,E1D的 中 点 ,所 以 MN CD,MN= CD,因 为 AB CD,AB= CD,所 以 MN AB,MN=AB,则 四 边 形 ABMN是 平 行 四 边 形 ,则 BM AN,1212 因 为 AN 平 面 ADE1F1,BM 平 面 ADE1F1,所 以 BM 平 面 ADE1F1. (2)由 平 面 ADE1F1 平 面 ABCD,E1D 平 面 ADE1F1,平 面ADE1F1 平 面 ABCD=AD,E1D AD,所 以 E1D 平 面 ABCD,因 为 AD CD,E1D CD=D,所 以 AD 平 面 E1DC,因 为 AB CD,CD 平 面 E1DC,AB 平 面 E1DC, 所 以 AB 平 面 E1DC,则 B到 平 面 E1DC的 距 离 就 是 A到 平 面 E1DC的 距 离 ,即 B到平 面 E1DC的 距 离 是 AD,由 则即 三 棱 锥 D-BME1的 体 积 V=1E DM 11 CD 1S E D ( ) 2 2 22 2 2 ，1 1 1D-E MB B-E DM E DM1 1 4V V S AD 2 23 3 3 ，4.3 热 点 考 向 三 与 空 间 平 行 、 垂 直 有 关 的 综 合 性 问 题命 题 解 读 :主 要 考 查 与 空 间 线 面 、 面 面 的 平 行 、 垂 直 关系 有 关 的 折 叠 问 题 、 探 索 性 问 题 ,常 以 解 答 题 形 式 出 现 . 【 典 例 4】 (1)(2016 哈 尔 滨 一 模 )如 图 ,在 矩 形 ABCD中 ,AB=8,BC=4,E为 DC的 中 点 ,沿 AE将 ADE折 起 ,在 折 起过 程 中 ,下 列 结 论 中 能 成 立 的 序 号 为 _. ED 平 面 ACD; CD 平 面 BED; BD 平 面 ACD; AD 平 面 BED. (2)(2016 郑 州 二 模 )如 图 ,在 四 棱 锥 P-ABCD中 ,底 面ABCD是 菱 形 , DAB=30 ,PD 平 面 ABCD,AD=2,点 E为 AB上 一 点 ,且 =m,点 F为 PD中 点 .AEAB 若 m= ,证 明 :直 线 AF 平 面 PEC; 是 否 存 在 一 个 常 数 m,使 得 平 面 PED 平 面 PAB,若 存 在 ,求 出 m的 值 ;若 不 存 在 ,说 明 理 由 .12 【 解 题 导 引 】 (1)在 折 起 过 程 中 ,画 出 D点 在 平 面 BCE上的 投 影 轨 迹 ,利 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 即 可 逐 项 判 断 得解 .(2) 作 FM CD,交 PC于 M,推 导 出 四 边 形 AEMF为 平 行 四边 形 ,由 此 能 证 明 直 线 AF 平 面 PEC; 要 使 平 面 PED 平 面 PAB,只 需 AB DE,求 出 AE=ADcos30 = ,推 导 出 平 面 PED 平 面 PAB,由 此 能 求出 存 在 一 个 常 数 m= 使 得 平 面 PED 平 面 PAB.3 AE 3AB 2 ， 【 规 范 解 答 】 (1)因 为 在 矩 形 ABCD中 ,AB=8,BC=4,E为 DC的 中 点 ,所 以 在 折 起 过 程 中 ,D点 在 平 面 BCE上 的 投 影 如图 . 因 为 DE与 AC所 成 角 不 能 为 直 角 ,所 以 DE不 会 垂 直 于 平 面 ACD,故 错 误 ;只 有 D点 投 影 位 于 O2位 置 时 ,即 平 面 AED与 平 面 AEB重 合时 ,才 有 BE CD,此 时 CD不 垂 直 于 平 面 AEBC,故 CD与 平 面 BED不 垂 直 ,故 错 误 ; BD与 AC所 成 角 不 能 成 直 角 ,所 以 BD不 能 垂 直 于 平 面 ACD,故 错 误 ;因 为 AD ED,并 且 在 折 起 过 程 中 ,存 在 一 个 位 置 使 AD BE,且 DE BE=E,所 以 在 折 起 过 程 中 存 在 AD 平 面 BED的 位 置 ,故 正 确 .答 案 : (2) 作 FM CD,交 PC于 点 M,因 为 点 F为 PD的 中 点 ,所 以 FM= CD.因 为 m= ,所 以 AE= AB=FM,又 FM CD AE,所 以 四 边 形 AEMF为 平 行 四 边 形 ,所 以 AF EM,1212 12 因 为 AF 平 面 PEC,EM 平 面 PEC,所 以 直 线 AF 平 面 PEC. 存 在 一 个 常 数 m= ,使 得 平 面 PED 平 面 PAB,理 由如 下 :要 使 平 面 PED 平 面 PAB,只 需 AB DE,因 为 AB=AD=2, DAB=30 ,32 所 以 AE=ADcos30 = ,又 因 为 PD 平 面 ABCD,PD AB,PD DE=D,所 以 AB 平 面 PDE,因 为 AB 平 面 PAB,所 以 平 面 PDE 平 面 PAB,所 以 m= 3AE 3.AB 2 【 规 律 方 法 】1.求 解 平 面 图 形 折 叠 问 题 的 关 键 和 方 法(1)关 键 :分 清 翻 折 前 后 哪 些 位 置 关 系 和 数 量 关 系 改 变 ,哪 些 不 变 ,抓 住 翻 折 前 后 不 变 的 量 ,充 分 利 用 原 平 面 图形 的 信 息 是 解 决 问 题 的 突 破 口 . (2)方 法 :把 平 面 图 形 翻 折 后 ,经 过 恰 当 连 线 就 能 得 到 三棱 锥 、 四 棱 锥 等 几 何 体 ,从 而 把 问 题 转 化 到 我 们 熟 悉 的几 何 体 中 解 决 . 2.探 索 性 问 题 求 解 的 途 径 和 方 法(1)对 命 题 条 件 探 索 的 三 种 途 径 : 先 猜 后 证 ,即 先 观 察 ,尝 试 给 出 条 件 再 证 明 ; 先 通 过 命 题 成 立 的 必 要 条 件 探 索 出 命 题 成 立 的 条 件 ,再 证 明 充 分 性 ; 将 几 何 问 题 转 化 为 代 数 问 题 ,探 索 出 命 题 成 立 的 条 件 . (2)对 命 题 结 论 的 探 索 方 法 :从 条 件 出 发 ,探 索 出 要 求 的 结 论 是 什 么 ,对 于 探 索 结 论是 否 存 在 ,求 解 时 常 假 设 结 论 存 在 ,再 寻 找 与 条 件 相 容或 者 矛 盾 的 结 论 . 【 题 组 过 关 】1.(2016 兰 州 二 模 )如 图 ,在 长 方 形 ABCD中 ,AB=2,BC=1,E为 DC的 中 点 ,F为 线 段 EC(端 点 除 外 )上 一 动 点 .现 将 AFD沿 AF折 起 ,使 平 面 ABD 平 面 ABC.在 平 面 ABD内 过点 D作 DK AB,K为 垂 足 .设 AK=t,则 t的 取 值 范 围 是_. 【 解 析 】 此 题 可 采 用 两 个 极 端 位 置 法 ,即 当 F位 于 DC的中 点 时 ,t=1,随 着 F点 到 C点 时 ,因 为 CB AB,CB DK,所 以 CB 平 面 ADB,即 有 CB BD,对 于 CD=2,BC=1,所 以 BD= .又 AD=1,AB=2,因 此 有 AD BD,3 则 有 t= ,因 此 t的 取 值 范 围 是 .答 案 : 12 1( 1)2，1( 1)2， 2.(2016 大 同 一 模 )如 图 ,边 长 为 3 的 正 方 形 ABCD中 ,点 E,F分 别 是 边 AB,BC上 的 点 ,将 AED, DCF分 别 沿DE,DF折 起 ,使 A,C两 点 重 合 于 点 A .(1)求 证 :A D EF.(2)当 BE=BF= BC时 ,求 三 棱 锥 A -EFD的 体 积 . 313 【 解 析 】 (1)因 为 A D A E,A D A F,A E A F=A ,所 以 A D 平 面 A EF,因 为 EF 平 面 A EF,所 以 A D EF.(2)由 (1)知 ,A D 平 面 A EF,所 以 A D的 长 即 为 三 棱 锥 D-A EF的 高 , 则 A E=A F=作 A O EF于 点 O,所 以 A O= 则 VA -EFD=VD-A EF= 2 22BC 2 3 EF BE BF 63 ， ，2 21 42A E ( EF)2 2 ，A EF1 1 1A D S 3 3 EF A O3 3 2 1 1 42 3 213 3 6 .3 2 2 2 【 加 固 训 练 】如 图 ,四 边 形 ABCD为 矩 形 ,PD 平 面 ABCD,AB=1,BC=PC=2,作 如 图 折 叠 ,折 痕 EF DC.其 中 点 E,F分 别 在线 段 PD,PC上 ,沿 EF折 叠 后 点 P落 在 线 段 AD上 的 点 记 为 M,并 且 MF CF. (1)证 明 :CF 平 面 MDF.(2)求 三 棱 锥 M-CDE的 体 积 . 【 解 析 】 (1)因 为 PD 平 面 ABCD,AD 平 面 ABCD,所 以 PD AD.又 因 为 四 边 形 ABCD是 矩 形 ,CD AD,PD与 CD交 于 点 D,所以 AD 平 面 PCD.又 CF 平 面 PCD,所 以 AD CF,即 MD CF.又 MF CF,MD MF=M,所 以 CF 平 面 MDF. (2)因 为 PD DC,PC=2,CD=1,所 以 PCD=60 ,PD= ,由 (1)知 FD CF,在 直 角 三 角 形 DCF中 ,CF= CD= .过点 F作 FG CD交 CD于 点 G,得 FG=FCsin60 = 所 以 DE=FG= ,故 ME=PE= 12 123 1 3 32 2 4 ，34 3 3 33 4 4 ， 所 以 MD= S CDE= 故 VM-CDE= 2 2 2 23 3 3 6ME DE ( ) ( ) .4 4 2 1 1 3 3DE DC 1 .2 2 4 8 CDE1 1 6 3 2MD S .3 3 2 8 16
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