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第二讲数列求和及综合应用 【 知 识 回 顾 】1.常 用 的 拆 项 公 式 (其 中 n N*) 11 _.n n 11 1 1 12 ( ).n n k k n n k13 _.2n 1 2n 1 1 1n n 1 1 1 1( )2 2n 1 2n 1 n n n 1 n n 1n n 2 n n 2 1 1 14 a d, _( )a a a a1 1 1_( ).a a a a1 1 1 15 .n n 1 n 2 2 n n 1 n 1 n 216 _.n n 117 _( n k n).n n k 若 等 差 数 列 的 公 差 为 则 ；1d12d n 1 n 1k 2.常 见 的 求 和 方 法(1)公 式 法 求 和 :适 合 求 等 差 数 列 或 等 比 数 列 的 前 n项 和 .对 等 比 数 列 利 用 公 式 法 求 和 时 ,一 定 注 意 公 比 q是 否 取 1.(2)错 位 相 减 法主 要 用 于 求 数 列 an bn的 前 n项 和 ,其 中 an,bn分别 是 等 差 数 列 和 等 比 数 列 . (3)裂 项 相 消 法把 数 列 和 式 中 的 各 项 分 别 裂 开 后 ,消 去 一 部 分 从 而 计算 和 的 方 法 ,适 用 于 求 通 项 为 的 数 列 的 前 n项 和 .n n 11a a (4)分 组 求 和 法一 个 数 列 既 不 是 等 差 数 列 ,也 不 是 等 比 数 列 ,若 将 这 个数 列 适 当 拆 开 ,重 新 组 合 ,就 会 变 成 几 个 可 以 求 和 的 部分 ,分 别 求 和 ,然 后 再 合 并 . 【 易 错 提 醒 】1.裂 项 求 和 的 系 数 出 错 :裂 项 时 ,把 系 数 写 成 它 的 倒 数或 忘 记 系 数 导 致 错 误 .2.求 通 项 公 式 忽 略 验 证 第 一 项 致 误 :利 用an= 忽 略 n 2的 限 定 ,忘 记 第 一 项 单 独 求解 与 检 验 .1n n 1S ,n 1S S ,n 2 ， ， 3.求 项 数 致 误 :错 位 相 减 法 求 和 时 ,易 漏 掉 减 数 式 的 最后 一 项 . 【 考 题 回 访 】1.(2016 浙 江 高 考 )如 图 ,点 列 An,Bn分 别 在 某 锐角 的 两 边 上 ,且 |AnAn+1|=|An+1An+2|,An An+2,n N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn Bn+2,n N*(P Q表 示 点 P与 Q不重 合 ).若 dn=|AnBn|,Sn为 AnBnBn+1的 面 积 ,则 ( ) A.Sn是 等 差 数 列 B. 是 等 差 数 列C.dn是 等 差 数 列 D. 是 等 差 数 列2nS 2nd 【 解 析 】 选 A.先 求 出 三 角 形 的 面 积 ,再 利 用 等 差 数 列 的定 义 判 断 数 列 是 否 为 等 差 数 列 .作 A1C1,A2C2,A3C3, ,AnCn, 垂 直 于 直 线 B1Bn,垂 足 分 别为 C1,C2,C3, ,Cn, 则 A1C1 A2C2 AnCn , 因 为 |AnAn+1|=|An+1An+2|,所 以 |CnCn+1|=|Cn+1Cn+2|,设 |A1C1|=a,|A2C2|=b,|B1B2|=c,则 |A3C3|=2b-a, ,|AnCn|=(n-1)b-(n-2)a(n 3), 所 以 Sn= c(n-1)b-(n-2)a= c(b-a)n+(2a-b),所 以 Sn+1-Sn= c(b-a)(n+1)+(2a-b)-(b-a)n-(2a-b)= c(b-a),又 S1= ac,S2= bc,S3= c(2b-a),S2-S1= c(b-a),S3-S2= c(b-a),所 以 数 列 Sn是 等 差 数 列 .12 121212 12 12 1212 12 2.(2016 浙 江 高 考 )设 数 列 an的 前 n项 和 为 Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n N*,则 a1=_,S5=_. 【 解 析 】 由 题 意 得 ,a1+a2=4,a2=2a1+1,解 得 a1=1,a2=3,再 由 an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n 2),所 以 an+1-an=2an,an+1=3an,又 a2=3a1, 所 以 an+1=3an(n 1),S5= =121.答 案 :1 12151 31 3 热 点 考 向 一 求 数 列 的 通 项 公 式命 题 解 读 :主 要 考 查 等 差 数 列 与 等 比 数 列 的 定 义 、 有 关性 质 以 及 逻 辑 推 理 和 各 种 变 形 能 力 ,一 直 是 高 考 的 重 点和 热 点 .以 选 择 题 、 填 空 题 、 解 答 题 为 主 . 【 典 例 1】 (1)(2016 武 汉 一 模 )已 知 数 列 an中 ,a1=3,满 足 ,则 数 列 an的 通 项 公 式 为 _.(2)(2016 全 国 卷 )已 知 各 项 都 为 正 数 的 数 列 an满 足 a1=1, -(2an+1-1)an-2an+1=0. 求 a2,a3. 求 an的 通 项 公 式 .nn 1 n2a 11a a 2na 【 解 题 导 引 】 (1)将 变 形 ,构 造 等 差 数 列 求解 .(2) 将 a1=1代 入 递 推 关 系 式 求 得 a2,将 a2的 值 代 入 递 推关 系 式 可 求 得 a3; 将 已 知 的 递 推 关 系 式 进 行 因 式 分 解 ,由 题 设 条 件 可 判 断 数 列 an为 等 比 数 列 ,由 此 可 求 得 数列 an的 通 项 公 式 . nn 1 n2a 11a a 【 规 范 解 答 】 (1)由 ,得 =2,所 以 数 列 是 首 项 为 ,公 差 为 2的 等 差 数 列 .所 以 = +(n-1) 2=2n- ,所 以 an= .答 案 :an= nn 1 n2a 11a a n 1 n1 1a a n1a 13n1a 13 5336n 536n 5 (2) 由 题 意 可 得 a2= ,a3= . 由 -(2an+1-1)an-2an+1=0,得 2an+1(an+1)=an(an+1).因 为 an的 各 项 都 为 正 数 ,所 以 故 an是 首 项 为 1,公 比 为 的 等 比 数 列 ,因 此 an= 12 142na n 1na 1.a 2 12 n 11 .2 【 母 题 变 式 】1.本 例 (1)改 为 :若 数 列 an的 前 n项 和 为 Sn,且a1=1,an+1=3Sn(n 1),求 a6的 值 . 【 解 析 】 因 为 an+1=3Sn,所 以 an=3Sn-1(n 2),两 式 相 减 得 ,an+1-an=3an,即 =4(n 2),所 以 数 列 a2,a3,a4, 构 成 以 a2=3S1=3a1=3为 首 项 ,以 4为公 比 的 等 比 数 列 ,所 以 a6=a2 44=3 44=768.n 1naa 2.本 例 (1)改 为 :已 知 数 列 an中 ,a1=1,an=2an-1+1(n 2),求 数 列 an的 通 项 公 式 .【 解 析 】 由 an=2an-1+1(n 2)得 an+1=2(an-1+1),即 =2,所 以 数 列 an+1是 首 项 为 2,公 比 为 2的 等 比数 列 ,所 以 an+1=2n,所 以 an=2n-1.nn 1a 1a 1 【 规 律 方 法 】 求 通 项 的 常 用 方 法(1)归 纳 猜 想 法 :已 知 数 列 的 前 几 项 ,求 数 列 的 通 项 公 式 ,可 采 用 归 纳 猜 想 法 .(2)已 知 Sn与 an的 关 系 ,利 用 an= 求 an.1n n 1S ,n 1S S ,n 2 ， (3)累 加 法 :数 列 递 推 关 系 形 如 an+1=an+f(n),其 中 数 列f(n)前 n项 和 可 求 ,这 种 类 型 的 数 列 求 通 项 公 式 时 ,常用 累 加 法 (叠 加 法 ).(4)累 乘 法 :数 列 递 推 关 系 形 如 an+1=g(n)an,其 中 数 列g(n)前 n项 积 可 求 ,此 数 列 求 通 项 公 式 一 般 采 用 累 乘法 (叠 乘 法 ). (5)构 造 法 : 递 推 关 系 形 如 an+1=pan+q(p,q为 常 数 )可 化 为 an+1+ (p 1)的 形 式 ,利 用 是 以 p为 公 比 的 等 比 数 列 求 解 . 递 推 关 系 形 如 an+1= (p为 非 零 常 数 )可 化 为 的 形 式 . nq qp(a )p 1 p 1 n qa p 1 nnpaa pn 1 n1 1 1a a p 【 题 组 过 关 】1.(2016 合 肥 一 模 )已 知 正 项 数 列 an满 足 a1=1,(n+2) -(n+1) +anan+1=0,则 它 的 通 项 an=( )2n 1a 2na1 2 n 1A. B. C. D.nn 1 n 1 2 【 解 析 】 选 B.由 (n+2) -(n+1) +anan+1=0,可 得 (n+2) =n+1,又 因 为 an0,所 以 又 a1=1,则 an= a12n 1a 2na2n 1 n 1n na a( )a a n 1na n 1.a n 2 n n 1n 1 n 2a aa a 21aan n 1 2 21 .n 1 n 3 n 1 2.(2016 银 川 一 模 )已 知 数 列 an的 前 n项 和 为 Sn,且Sn=4an-3(n N*).(1)证 明 :数 列 an是 等 比 数 列 .(2)若 数 列 bn满 足 bn+1=an+bn(n N*),且 b1=2,求 数 列bn的 通 项 公 式 . 【 解 析 】 (1)依 题 意 Sn=4an-3(n N*),当 n=1时 ,a1=4a1-3,解 得 a1=1.因 为 Sn=4an-3,则 Sn-1=4an-1-3(n 2),所 以 当 n 2时 ,an=Sn-Sn-1=4an-4an-1,整 理 得 an= an-1.又 a1=1,所 以 an是 首 项 为 1,公 比 为 的 等 比 数 列 .43 43 (2)由 (1)知 an= 由 bn+1=an+bn(n N*),得 bn+1-bn=可 得 bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+ +(bn-bn-1)n 14( )3 ， n 14( ) .3 =2+ =3 -1(n 2).当 n=1时 也 满 足 ,所 以 数 列 bn的 通 项 公 式 为 bn=3 -1(n N*).n 14( )3 n 141 ( )341 3 n 14( )3 【 加 固 训 练 】1.(2016 三 亚 二 模 )已 知 数 列 an的 前 n项 和 为 Sn,且a1=a2=1,若 nSn+(n+2)an为 等 差 数 列 ,则 an= ( )n 1 n 1 n n 1n n 1 2n 1 n 1A. B. C. D.2 2 1 2 1 2 【 解 析 】 选 A.设 bn=nSn+(n+2)an,则 数 列 bn为 等 差 数列 .由 b1=4,b2=8,可 得 bn=4n,则 bn=nSn+(n+2)an=4n,即 Sn+ an=4.当 n 2时 ,Sn-Sn-1+ an- an-1=0,所 以 an= an-1,即 2 ,所 以 数 列 是 以 为 公 比 ,1为 首 项 的 等 比 数 列 ,则即 an= 2(1 )n 2(1 )n 2(1 )n-1 2 n 1n n 1n 1 n n 1a an n 1na n 12 n 1na 1n 2 ( ) ，n 1n .2 2.(2016 三 亚 一 模 )设 Sn为 等 比 数 列 an的 前 n项 和 .若 a1=1,且 3S1,2S2,S3成 等 差 数 列 ,则 an=_. 【 解 析 】 设 等 比 数 列 an的 公 比 为 q(q 0),依 题 意 得a2=a1q=q,a3=a1q2=q2,S1=a1=1,S2=1+q,S3=1+q+q2.又 3S1,2S2,S3成 等 差 数 列 ,所 以 4S2=3S1+S3,即 4(1+q)=3+1+q+q2,所 以 q=3(q=0舍 去 ),所 以 an=a1qn-1=3n-1.答 案 :3n-1 3.(2016 成 都 一 模 )已 知 数 列 an满 足 : =n2(n 1,n N*).(1)求 a1,a2及 a2 016.(2)求 数 列 an的 通 项 公 式 .1 2 3 n1 1 1 1a a a a 【 解 析 】 (1)由 =n2(n 1,n N*),得 a1=1,a2= , =2 0152, =2 0162, 由 - ,得 =2 0162-2 0152=4 031,所 以 a2 016= 1 2 3 n1 1 1 1a a a a 131 2 3 20151 1 1 1a a a a 1 2 3 20161 1 1 1a a a a 20161a 1 .4 031 (2)由 =n2(n 1,n N*),得 =(n-1)2(n 2,n N*),两 式 相 减 得 =n2-(n-1)2=2n-1(n 2,n N*),所 以 an= (n 2,n N*).当 n=1时 ,a1=1也 满 足 上 式 ,所 以 an= (n N*).1 2 3 n1 1 1 1a a a a 1 2 3 n-11 1 1 1a a a a n1a12n 1 12n 1 热 点 考 向 二 求 数 列 的 前 n项 和命 题 解 读 :试 题 一 般 设 置 两 个 问 题 ,其 中 第 一 问 考 查 等差 、 等 比 数 列 的 基 本 运 算 ,属 于 保 分 题 ;第 二 问 的 区 分度 较 大 ,一 般 与 数 列 的 求 和 有 关 ,方 法 较 灵 活 ,主 要 是 错位 相 减 、 裂 项 相 消 等 方 法 .以 解 答 题 的 形 式 出 现 ,属 于中 、 高 档 题 目 . 命 题 角 度 一 裂 项 相 消 求 和【 典 例 2】 (2015 全 国 卷 )Sn为 数 列 an的 前 n项和 .已 知 an0, +2an=4Sn+3.(1)求 an的 通 项 公 式 .(2)设 bn= ,求 数 列 bn的 前 n项 和 .2nan n 11a a 【 解 题 导 引 】 (1)由 +2an=4Sn+3及 an+1=Sn+1-Sn确 定an的 通 项 公 式 .(2)由 (1)及 bn= 利 用 裂 项 法 求 和 .2nan n 11a a 【 规 范 解 答 】 (1)由 +2an=4Sn+3,可 知 +2an+1=4Sn+1+3.可 得 - +2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)= - =(an+1+an)(an+1-an).2na2n+1a2n+1a 2na 2n+1a 2na 由 于 an0,可 得 an+1-an=2.又 +2a1=4a1+3,解 得 a1=-1(舍 去 ),a1=3.所 以 an是 首 项 为 3,公 差 为 2的 等 差 数 列 ,通 项 公 式 为an=2n+1.21a (2)由 an=2n+1可 知 bn= 设 数 列 bn的 前 n项 和 为 Tn,则Tn=b1+b2+ +bn n n 11 1 1 1 1( ).a a 2n 1 2n 3 2 2n 1 2n 3 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 3 5 5 7 2n 1 2n 3n .3 2n 3 命 题 角 度 二 错 位 相 减 求 和【 典 例 3】 (2016 山 东 高 考 )已 知 数 列 an的 前 n项和 Sn=3n2+8n,bn是 等 差 数 列 ,且 an=bn+bn+1.(1)求 数 列 bn的 通 项 公 式 .(2)令 cn= 求 数 列 cn的 前 n项 和 Tn. n 1n nna 1 ,b 2 【 解 题 导 引 】 解 答 本 题 第 (2)问 ,可 拆 解 成 两 个 小 题 :若 cn= 求 cn. cn的 前 n项 和 为 Tn,求 Tn. n 1n nna 1 ,b 2 【 解 析 】 (1)由 题 意 知 ,当 n 2时 ,an=Sn-Sn-1=6n+5.当 n=1时 ,a1=S1=11=6n+5.所 以 an=6n+5.设 数 列 bn的 公 差 为 d,则a1=2b1+d=11,a2=b2+b2+d=2b1+3d=17.解 得 b1=4,d=3,所 以 bn=4+(n-1) 3=3n+1. (2)由 (1)知 ,cn= =3(n+1) 2n+1.所 以 Tn=c1+c2+ +cn n 1n(6n 6)3n 3 2 3 n 13 4 n 2n3 2 2 3 2 (n 1) 2 ,2T 3 2 2 3 2 (n 1) 2 , 两 式 相 减 :-Tn=3 2 22+23+24+ +2n+1-(n+1) 2n+2 =-3n 2n+2.所 以 Tn=3n 2n+2. n n 24(1 2 )3 4 n 1 2 1 2 【 规 律 方 法 】1.分 组 求 和 中 的 分 组 策 略(1)根 据 等 差 、 等 比 数 列 分 组 .(2)根 据 正 号 、 负 号 分 组 . 2.裂 项 相 消 的 规 律(1)裂 项 系 数 取 决 于 前 后 两 项 分 母 的 差 .(2)裂 项 相 消 后 前 、 后 保 留 的 项 数 一 样 多 . 3.错 位 相 减 法 的 关 注 点(1)适 用 题 型 :等 差 数 列 an与 等 比 数 列 bn对 应 项 相乘 (an bn)型 数 列 求 和 .(2)步 骤 : 求 和 时 先 乘 以 数 列 bn的 公 比 ; 把 两 个 和 的 形 式 错 位 相 减 ; 整 理 结 果 形 式 . 【 变 式 训 练 】 (2016 漳 州 二 模 )已 知 数 列 an的 前n项 和 是 Sn,且 Sn+ an=1(n N*).(1)求 数 列 an的 通 项 公 式 .(2)设 bn=log4(1-Sn+1)(n N*),Tn= 求 使 Tn 成 立 的 最 小 的 正 整 数 n的 值 .13 1 2 2 3 n n 11 1 1b b b b b b ，1 0072 016 【 解 析 】 (1)当 n=1时 ,a1=S1,由 S1+ a1=1 a1= ,当 n 2时 ,Sn+ an=1 ,Sn-1+ an-1=1 , - ,得 an+ an- an-1=0,13 3413 13 1313 即 an= an-1,所 以 an是 以 为 首 项 , 为 公 比 的 等 比 数 列 .故 an= 14 34 14n 1 n3 1 1( ) 3( ) (n N*).4 4 4 (2)由 (1)知 1-Sn+1= an+1= ,bn=log4(1-Sn+1)=log4 =-(n+1),n 11( )4 13 n 11( )4 n n 11 1 1 1 ,b b n 1 n 2 n 1 n 2 故 使 Tn 成 立 的 最 小 的 正 整 数 n的 值 为 2014.n 1 2 2 3 n n 11 1 1T b b b b b b1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 3 3 4 n 1 n 21 1 ,2 n 21 1 1 007 n 2 014,2 n 2 2 016 1 0072 016 【 加 固 训 练 】(2016 惠 州 一 模 )设 数 列 an的 前 n项 和 为 Sn，已 知 a1=1， ， n N*.(1)求 a2的 值 .(2)求 数 列 an的 通 项 公 式 .(3)证 明 ： 对 一 切 正 整 数 n， 有2n n 12S 1 2a n nn 3 3 1 2 n1 1 1 7 .a a a 4 【 解 析 】 (1)由 题 意 ， 得 2S1=a2- -1- ，又 S1=a1=1， 所 以 a2=4.(2)当 n 2时 ， 2Sn=nan+1- n3-n2- n，2Sn-1=(n-1)an- (n-1)3-(n-1)2- (n-1)，两 式 相 减 得2an=nan+1-(n-1)an-n2-n，整 理 得 (n+1)a n=nan+1-n(n+1)， 13 2313 2313 23 即 =1， 又 =1，故 数 列 是 首 项 为 =1， 公 差 为 1的 等 差 数 列 ，所 以 =1+(n-1) 1=n， 所 以 an=n2，所 以 数 列 an的 通 项 公 式 为 an=n2， n N*.n 1 na an 1 n 2 1a a2 1na n 1a1nan (3)=所 以 对 一 切 正 整 数 n， 有1 1 1 11 4 2 3 3 4 n(n 1) 2 2 21 2 3 n1 1 1 1 1 1 1 11a a a a 4 3 4 n 1 1 1 1 1 1 11 4 2 3 3 4 n 1 n 5 1 1 7 1 74 2 n 4 n 4 ， 1 2 n1 1 1 7 .a a a 4 热 点 考 向 三 与 数 列 求 和 有 关 的 综 合 问 题命 题 解 读 :数 列 的 综 合 应 用 主 要 体 现 在 以 下 两 点 :(1)以 等 差 、 等 比 数 列 的 知 识 为 纽 带 ,在 数 列 与 函 数 、方 程 、 不 等 式 的 交 汇 处 命 题 ,主 要 考 查 利 用 函 数 观 点 解决 数 列 问 题 以 及 用 不 等 式 的 方 法 研 究 数 列 的 性 质 . (2)数 列 与 解 析 几 何 交 汇 的 命 题 ,往 往 会 遇 到 递 推 数 列 ,通 常 以 解 析 几 何 作 为 试 题 的 背 景 ,从 解 析 几 何 的 内 容 入手 ,导 出 相 关 的 数 列 关 系 ,再 进 一 步 地 解 答 相 关 的 问 题 .试 题 难 度 大 都 在 中 等 偏 上 ,有 时 会 以 压 轴 题 的 形 式 出 现 . 【 典 例 4】 (1)(2016 哈 尔 滨 一 模 )设 n N*,an是 曲 线y=x2n+2+1在 点 (1,2)处 的 切 线 与 x轴 交 点 的 横 坐 标 ,设bn= ,则 数 列 bn前 n项 和 Sn=_.n2an (2)(2016 枣 庄 一 模 )已 知 数 列 an的 前 n项 和 为 Sn,数列 bn的 前 n项 和 为 Tn,且 有 Sn=1-an(n N*),点 (an,bn)在 直 线 y=nx上 . 求 Tn; 试 比 较 Tn和 2- 的 大 小 ,并 说 明 理 由 .2nn2 【 解 题 导 引 】 (1)根 据 导 数 的 几 何 意 义 求 出 曲 线 的 切 线方 程 ,从 而 得 出 数 列 bn的 通 项 公 式 ,利 用 裂 项 法 求 数列 bn前 n项 和 . (2)【 题 目 拆 解 】 本 题 第 问 可 拆 成 三 个 小 题 : 求 an的 通 项 公 式 ; 求 bn的 通 项 公 式 ; 求 Tn. 【 规 范 解 答 】 (1)y =(2n+2)x2n+1,曲 线 y=x2n+2+1在 点(1,2)处 的 切 线 的 斜 率 为 2n+2,从 而 切 线 方 程 为 y-2=(2n+2) (x-1),令 y=0,解 得 切 线 与 x轴 交 点 的 横 坐标 an= ,则 bn= ,所 以Sn= 答 案 : 1 n1 n 1 n 1 1n n 11 1 1 1 1 1 n(1 ) ( ) ( ) 1 .2 2 3 n n 1 n 1 n 1 nn 1 (2) 当 n=1时 ,a1=S1=1-a1,解 得 a1= .当 n 2时 ,an=Sn-Sn-1=(1-an)-(1-an-1),则 有 2an=an-1,即 所 以 数 列 an是 以 a1= 为 首 项 , 为 公 比 的 等 比 数 列 .所 以 an= (n N*). 12nn 1a 1a 2 ，12 12n1( )2 因 为 点 (an,bn)在 直 线 y=nx上 ,所 以 bn=nan= nn .2n 1 2 3 nn 2 3 4 n 1n 1 2 3 n n 1nn 1 2 n 1 n n n1 2 3 nT 2 2 2 21 1 2 3 nT2 2 2 2 21 1 1 1 1 nT2 2 2 2 2 2111 1 1 n n n 22T 1 2 .12 2 2 2 2 21 2 ， ， 由 得 ， ，所 以 令 Bn=2- ,则 Tn-Bn= 所 以 当 n=1时 ,T1-B10,所 以 T10,所 以 TnBn.2nn2 2n nn 2 n2 2 2 n nn 2 n 1n n 22 2 ， 综 上 所 述 ,当 n=1时 ,Tn2- .2nn2 2nn22nn2 【 规 律 方 法 】 数 列 与 函 数 交 汇 问 题 的 常 见 类 型 及 解 法(1)已 知 函 数 条 件 ,解 决 数 列 问 题 ,此 类 问 题 一 般 利 用 函数 的 性 质 、 图 象 研 究 数 列 问 题 .(2)已 知 数 列 条 件 ,需 构 造 函 数 ,利 用 函 数 知 识 解 决 问 题 ,解 决 此 类 问 题 一 般 要 充 分 利 用 数 列 的 范 围 、 分 式 、 求和 方 法 对 式 子 化 简 变 形 .另 外 ,解 题 时 要 注 意 数 列 与 函数 的 内 在 联 系 ,灵 活 运 用 函 数 的 思 想 方 法 求 解 . 【 题 组 过 关 】1.(2016 枣 庄 一 模 )已 知 函 数 f(x)满 足 f(x+1)= +f(x)(x R),且 f(1)= ,则 数 列 f(n)(n N*)前 20项的 和 为 ( )A.305 B.315 C.325 D.335 3252 【 解 析 】 选 D.因 为 f(1)= ,f(2)= + ,f(3)= + + , ,f(n)= +f(n-1),所 以 f(n)是 以 为 首 项 , 为 公 差 的 等 差 数 列 .所 以 S20= 52325252 5232 3232 32 20 20 15 320 335.2 2 2 2.(2016 烟 台 二 模 )已 知 数 列 an的 前 n项 和 为 Sn， 点 在 直 线 y= 上 .数 列 bn满 足 bn+2-2bn+1+bn=0(n N*)， 且 b3=11， 前 9项 和 为 153.(1)求 数 列 an， bn的 通 项 公 式 .(2)设 cn= ， 求 数 列 cn的 前 n项 和 Tn.nS(n )n， 1 11x2 2n n3(2a 11)(2b 1) 【 解 析 】 (1)由 题 意 ， 得即 Sn=故 当 n 2时 ， 有 an=Sn-Sn-1当 n=1时 ， a1=S1=6， 且 n+5=6，所 以 an=n+5(n N*). nS 1 11nn 2 2 ，21 11n n.2 22 21 11 1 11( n n) (n 1) (n 1) n 5.2 2 2 2 又 由 题 意 知 bn+2-2bn+1+bn=0，即 bn+2-bn+1=bn+1-bn(n N*)，所 以 bn为 等 差 数 列 ，于 是由 b3=11， 得 b7=23， d= =3，因 此 bn=b3+3(n-3)=3n+2，即 b n=3n+2(n N*).1 9 3 79(b b ) 9(b b ) 153.2 2 23 117 3 (2)cn=所 以 Tn=c1+c2+ +cnn n3 3(2a 11)(2b 1) 2(n 5) 112(3n 2) 1 1 1 1 1( ).(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1 1 1 n(1 ) .2 2n 1 2n 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) ( )2 3 3 5 5 7 2n 1 2n 1 【 加 固 训 练 】1.设 等 差 数 列 an的 前 n项 和 为 Sn,若 S10=0,S15=25,则 当nSn取 最 小 值 时 ,n= ( )A.5 B.6 C.7 D.8 【 解 析 】 选 C.设 等 差 数 列 an的 公 差 为 d,由 题 意 得 解 得 a1=-3,d= ,所 以 Sn=-3n+ 即 nSn= 11 10 9d10a 0215 14d15a 252 ， ，23 2n n 1 2 n 10n2 3 3 ，3 2n 10n3 ， 令 f(n)= 则 f (n)=n2- ,令 f (n)=n2- 0,得 n ,令 f (n)=n2- 0,得 0n0)， 以 点(n， f(n)为 切 点 作 函 数 图 象 的 切 线 ln(n N*)， 直 线x=n+1与 函 数 y=f(x)图 象 及 切 线 ln分 别 相 交 于 An， Bn，记 an=|AnBn|.(1)求 切 线 ln的 方 程 及 数 列 an的 通 项 公 式 .(2)设 数 列 nan的 前 n项 和 为 Sn， 求 证 ： Sn0)求 导 ， 得 f (x)=1- ， 则 切 线 ln的 方 程 为 ：即 y= .易 知由 an=|AnBn|知 an= 1x21x 21 1y (n ) (1 )(x n)n n ，21 2(1 )xn n n 1A (n 1 n 1 )n 1 ， ，n 2n 1B (n 1 n 1 )n ， ， 2 21 n 1 1| | .n 1 n n (n 1) (2)因 为 nan=所 以 Sn=a1+2a2+ +nan=1 1 1n(n 1) n n 1 ，1 1 1 1 1 11 1 1.2 2 3 n n 1 n 1
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