资源描述
第三节空间点、直线、平面之间的位置关系 【 知 识 梳 理 】1.平 面 的 基 本 性 质(1)公 理 1:如 果 一 条 直 线 上 的 _在 一 个 平 面 内 ,那 么这 条 直 线 在 这 个 平 面 内 .(2)公 理 2:过 _的 三 点 ,有 且 只 有 一 个 平面 . 两 点不 在 一 条 直 线 上 (3)公 理 3:如 果 两 个 不 重 合 的 平 面 有 一 个 公 共 点 ,那 么它 们 _过 该 点 的 公 共 直 线 .有 且 只 有 一 条 2.空 间 两 条 直 线 的 位 置 关 系(1)位 置 关 系 分 类 :相 交平 行 任 何 一 个 平 面 (2)平 行 公 理 (公 理 4)和 等 角 定 理 : 平 行 公 理 :平 行 于 同 一 条 直 线 的 两 条 直 线 _. 等 角 定 理 :空 间 中 如 果 两 个 角 的 两 边 分 别 对 应 平 行 ,那 么 这 两 个 角 _. 互 相 平 行相 等 或 互 补 (3)异 面 直 线 所 成 的 角 : 定 义 :已 知 两 条 异 面 直 线 a,b,经 过 空 间 任 一 点 O作 直线 a a,b b,把 a 与 b 所 成 的 _叫做 异 面 直 线 a与 b所 成 的 角 (或 夹 角 ); 范 围 :_. 锐 角 (或 直 角 )(0, 2 3.空 间 直 线 与 平 面 、 平 面 与 平 面 的 位 置 关 系图 形 语 言 符 号 语 言 公 共 点直 线与 平面 相交 _ _个平行 _ _个在平面内 _ _个a =A 1a 0a 无 数 图 形 语 言 符 号 语 言 公 共 点平 面 与平 面 平行 _ _个相交 _ _个 0 =l 无 数 【 特 别 提 醒 】1.唯 一 性 定 理(1)过 直 线 外 一 点 有 且 只 有 一 条 直 线 与 已 知 直 线 平 行 .(2)过 直 线 外 一 点 有 且 只 有 一 个 平 面 与 已 知 直 线 垂 直 .(3)过 平 面 外 一 点 有 且 只 有 一 个 平 面 与 已 知 平 面 平 行 .(4)过 平 面 外 一 点 有 且 只 有 一 条 直 线 与 已 知 平 面 垂 直 . 2.异 面 直 线 的 判 定 定 理经 过 平 面 内 一 点 的 直 线 与 平 面 内 不 经 过 该 点 的 直 线 互为 异 面 直 线 . 3.确 定 平 面 的 三 个 推 论(1)推 论 1:经 过 一 条 直 线 和 这 条 直 线 外 一 点 ,有 且 只 有一 个 平 面 .(2)推 论 2:经 过 两 条 相 交 直 线 ,有 且 只 有 一 个 平 面 .(3)推 论 3:经 过 两 条 平 行 直 线 ,有 且 只 有 一 个 平 面 . 4.异 面 直 线 易 误 解 为 “ 分 别 在 两 个 不 同 平 面 内 的 两 条直 线 为 异 面 直 线 ” ,实 质 上 两 异 面 直 线 不 能 确 定 任 何 一个 平 面 ,因 此 异 面 直 线 既 不 平 行 ,也 不 相 交 . 【 小 题 快 练 】链 接 教 材 练 一 练1.(必 修 2P52习 题 2.1B组 T1(2)改 编 )如 图所 示 ,在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1中 ,E,F分 别是 AB,AD的 中 点 ,则 异 面 直 线 B1C与 EF所 成的 角 的 大 小 为 ( )A.30 B.45 C.60 D.90 【 解 析 】 选 C.连 接 B1D1,D1C,则 B1D1 EF,故 D1B1C为 所 求 ,又 B1D1=B1C=D1C,所 以 D1B1C=60 . 2.(必 修 2P43练 习 T1改 编 )两 两 相 交 的 三 条 直 线 最 多 可确 定 _个 平 面 .【 解 析 】 当 三 条 直 线 共 点 且 不 共 面 时 ,最 多 可 确 定 3个平 面 .答 案 :3 感 悟 考 题 试 一 试3.(2015 广 东 高 考 )若 直 线 l1和 l2是 异 面 直 线 ,l1在 平 面 内 ,l2在 平 面 内 ,l是 平 面 与 平 面 的 交 线 ,则 下 列命 题 正 确 的 是 ( )A.l至 少 与 l1,l2中 的 一 条 相 交B.l与 l1,l2都 相 交C.l至 多 与 l1,l2中 的 一 条 相 交D.l与 l 1,l2都 不 相 交 【 解 析 】 选 A.直 线 l1和 l2是 异 面 直 线 ,l1在 平 面 内 ,l2在平 面 内 , =l,则 l至 少 与 l1,l2中 的 一 条 相 交 . 4.(2016 瑞 安 模 拟 )在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1中 ,点 P在线 段 AD1上 运 动 ,则 异 面 直 线 CP与 BA1所 成 的 角 的 取 值范 围 是 ( ) A.0 B.0 C.0 D.0 2 23 3 【 解 析 】 选 D.因 为 A1B D1C,所 以 CP与 A1B所 成 的 角 可 化 为 CP与 D1C所 成 的 角 .由 AD1C是 正 三 角 形 可 知 ,当 P与 A重 合 时 所 成 的 角 为 ,因 为 P不 能 与 D1重 合 ,因 为 此 时 D1C与 A1B平 行 ,不 是 异 面直 线 ,所 以 3(0, .3 考 向 一 平 面 的 基 本 性 质【 典 例 1】 (1)以 下 命 题 中 ,正 确 命 题 的 个 数 是 ( ) 不 共 面 的 四 点 中 ,其 中 任 意 三 点 不 共 线 ; 若 点 A,B,C,D共 面 ,点 A,B,C,E共 面 ,则 A,B,C,D,E共 面 ; 若 直 线 a,b共 面 ,直 线 a,c共 面 ,则 直 线 b,c共 面 ; 依 次 首 尾 相 接 的 四 条 线 段 必 共 面 .A.0 B.1 C.2 D.3 (2)如 图 所 示 ,正 方 体 ABCD-A1B1C1D1中 ,E,F分 别 是AB,AA1的 中 点 .求 证 : E,C,D1,F四 点 共 面 ; CE,D1F,DA三 线 共 点 . 【 解 题 导 引 】 (1)根 据 公 理 2及 确 定 平 面 的 推 论 判 断 .(2)对 于 ,只 需 证 明 EF CD1即 可 ;对 于 ,先 证 明 CE,D1F的 交 点 既 在 平 面 ABCD内 ,又 在 平面 ADD1A1内 ,再 利 用 公 理 3证 明 交 点 在 DA上 . 【 规 范 解 答 】 (1)选 B. 中 若 有 三 点 共 线 ,则 四 点 共 面 ,不 合 题 意 ,故 正 确 ; 中 若 点 A,B,C在 同 一 条 直 线 上 ,则 A,B,C,D,E不 一 定 共 面 ,故 错 误 ; 中 ,直 线 b,c可 能是 异 面 直 线 ,故 错 误 ; 中 ,当 四 条 线 段 构 成 空 间 四 边形 时 ,四 条 线 段 不 共 面 ,故 错 误 . (2) 如 图 ,连 接 CD1,EF,A1B,因 为 E,F分 别 是 AB和 AA1的中 点 ,所 以 EF A1B且 EF= A1B.又 因 为 A1D1 BC,且 A1D1=BC,所 以 四 边 形 A1BCD1是 平 行 四 边 形 .12 所 以 A1B CD1,所 以 EF CD1,即 EF与 CD1确 定 一 个 平 面 .且 E,F,C,D1 ,即 E,C,D1,F四 点 共 面 . 由 知 ,EF CD1,且 EF= CD1,所 以 四 边 形 CD1FE是 梯 形 .所 以 CE与 D1F必 相 交 ,设 交 点 为 P,如 图 ,则 P CE 平 面 ABCD,且 P D1F 平 面 A1ADD1.又 因 为 平 面 ABCD 平 面 A1ADD1=AD,所 以 P AD,所 以 CE,D 1F,DA交 于 一 点 . 12 【 规 律 方 法 】1.证 明 点 共 面 或 线 共 面 的 常 用 方 法(1)直 接 法 :证 明 直 线 平 行 或 相 交 ,从 而 证 明 线 共 面 .(2)纳 入 平 面 法 :先 确 定 一 个 平 面 ,再 证 明 有 关 点 、 线 在此 平 面 内 .(3)辅 助 平 面 法 :先 证 明 有 关 的 点 、 线 确 定 平 面 ,再 证明 其 余 元 素 确 定 平 面 ,最 后 证 明 平 面 , 重 合 . 2.证 明 空 间 点 共 线 问 题 的 方 法(1)公 理 法 :第 (2)题 证 明 过 程 用 到 此 方 法 ,一 般 转 化 为证 明 这 些 点 是 某 两 个 平 面 的 公 共 点 ,再 根 据 公 理 3证 明这 些 点 都 在 这 两 个 平 面 的 交 线 上 .(2)纳 入 直 线 法 :选 择 其 中 两 点 确 定 一 条 直 线 ,然 后 证 明其 余 点 也 在 该 直 线 上 . 【 变 式 训 练 】 如 图 所 示 ,四 边 形 ABEF和ABCD都 是 梯 形 ,BC AD,BE FA,G,H分 别 为 FA,FD的 中 点 .(1)证 明 :四 边 形 BCHG是 平 行 四 边 形 .(2)C,D,F,E四 点 是 否 共 面 ?为 什 么 ?12 12 【 解 析 】 (1)由 已 知 FG=GA,FH=HD,得 GH AD.又 BC AD,所 以 GH BC,所 以 四 边 形 BCHG是 平 行 四 边形 . 1212 (2)方 法 一 :由 BE AF,G为 FA中 点 知 BE GF,所 以 四 边 形 BEFG为 平 行 四 边 形 ,所 以 EF BG.由 (1)知 BG CH,所 以 EF CH,所 以 EF与 CH共 面 .又 D FH,所 以 C,D,F,E四 点 共 面 .12 方 法 二 :如 图 所 示 ,延 长 FE,DC分 别 与 AB交 于 点 M,M .因 为 BE AF,所 以 B为 MA的 中 点 .因 为 BC AD,所 以 B为 M A的 中 点 ,所 以 M与 M 重 合 ,即 FE与 DC交 于 点 M(M ),所 以 C,D,F,E四 点 共 面 .1212 【 加 固 训 练 】如 图 ,在 四 边 形 ABCD中 ,已 知 AB CD,直 线 AB,BC,AD,DC分 别 与 平 面 相 交 于 点 E,G,H,F,求 证 :E,F,G,H四 点 必定 共 线 . 【 解 析 】 因 为 AB CD,所 以 AB,CD确 定 一 个 平 面 .又 因 为 AB =E,AB ,所 以 E ,E ,即 E为 平 面 与 的 一 个 公 共 点 .同 理 可 证 F,G,H均 为 平 面 与 的 公 共 点 ,因 为 两 个 平 面 有 公 共 点 ,它 们 有 且 只 有 一 条 通 过 公 共 点的 公 共 直 线 ,所 以 E,F,G,H四 点 必 定 共 线 . 考 向 二 空 间 直 线 的 位 置 关 系【 考 情 快 递 】命 题 方 向 命 题 视 角异 面 直 线 的 判定 以 平 面 或 简 单 几 何 体 为 载 体 ,判 断 空 间直 线 是 否 是 异 面 直 线平 行 和 垂 直 的判 定 主 要 以 简 单 几 何 体 为 载 体 ,考 查 三 角 形(梯 形 )的 中 位 线 ,平 行 四 边 形 等 在 平 行判 断 中 的 应 用 ,考 查 线 面 垂 直 的 性 质 在判 定 线 线 垂 直 中 的 应 用 【 考 题 例 析 】命 题 方 向 1:异 面 直 线 的 判 定【 典 例 2】 (2016 郑 州 模 拟 )在 图 中 ,G,H,M,N分 别 是 正三 棱 柱 的 顶 点 或 所 在 棱 的 中 点 ,则 表 示 直 线 GH,MN是 异面 直 线 的 图 形 有 _(填 上 所 有 正 确 答 案 的 序号 ). 【 解 题 导 引 】 根 据 异 面 直 线 的 判 定 定 理 判 断 .【 规 范 解 答 】 图 中 ,直 线 GH MN;图 中 ,G,H,N三 点共 面 ,但 M 平 面 GHN,因 此 直 线 GH与 MN异 面 ;图 中 ,连接 MG,GM HN,因 此 GH与 MN共 面 ;图 中 ,G,M,N共 面 ,但H 平 面 GMN,因 此 GH与 MN异 面 ,所 以 在 图 中 GH与 MN异 面 .答 案 : 命 题 方 向 2:平 行 和 垂 直 的 判 定【 典 例 3】 (2016 黄 石 模 拟 )如 图 ,在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1中 ,M,N分 别 是 BC1,CD1的 中 点 ,则 下 列 说 法 错 误的 是 ( ) A.MN与 CC1垂 直B.MN与 AC垂 直C.MN与 BD平 行D.MN与 A1B1平 行【 解 题 导 引 】 先 证 MN与 BD平 行 ,然 后 根 据 BD与 各 直 线 的位 置 关 系 ,判 断 MN与 各 直 线 的 位 置 关 系 . 【 规 范 解 答 】 选 D.如 图 ,连 接 C1D,在 C1DB中 ,MN BD,故 C正 确 ;因 为 CC1 平 面 ABCD,所 以 CC1 BD,所 以 MN与 CC1垂 直 ,故 A正 确 ;因 为 AC BD,MN BD,所 以 MN与 AC垂 直 ,故 B正 确 ; 因 为 A1B1与 BD异 面 ,MN BD,所 以 MN与 A1B1不 可 能 平 行 ,故 D错 误 . 【 技 法 感 悟 】1.异 面 直 线 的 判 定 方 法(1)反 证 法 :先 假 设 两 条 直 线 不 是 异 面 直 线 ,即 两 条 直 线平 行 或 相 交 ,由 假 设 出 发 ,经 过 严 格 的 推 理 ,导 出 矛 盾 ,从 而 否 定 假 设 ,肯 定 两 条 直 线 异 面 .此 法 在 异 面 直 线 的判 定 中 经 常 用 到 . (2)定 理 :平 面 外 一 点 A与 平 面 内 一 点 B的 连 线 和 平 面 内不 经 过 点 B的 直 线 是 异 面 直 线 .2.线 线 平 行 或 垂 直 的 判 定 方 法(1)对 于 平 行 直 线 ,可 利 用 三 角 形 (梯 形 )中 位 线 的 性 质 、公 理 4及 线 面 平 行 与 面 面 平 行 的 性 质 定 理 来 判 断 .(2)对 于 线 线 垂 直 ,往 往 利 用 线 面 垂 直 的 定 义 ,由 线 面 垂直 得 到 线 线 垂 直 . 【 题 组 通 关 】1.(2016 福 州 模 拟 )如 图 ,在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1中 ,点 E,F分 别 在 A1D,AC上 ,且 A1E=2ED,CF=2FA,则 EF与 BD1的位 置 关 系 是 ( )A.相 交 但 不 垂 直 B.相 交 且 垂 直C.异 面 D.平 行 【 解 析 】 选 D.连 接 D1E并 延 长 ,与 AD交 于 点 M,因 为 A1E=2ED,可 得 M为 AD的 中 点 ,连 接 BF并 延 长 ,交 AD于 点 N,因 为 CF=2FA,可 得 N为 AD的 中 点 ,所 以 M,N重 合 ,且 所 以 所 以 EF BD1.1ME 1 MF 1, ,ED 2 BF 2 1ME MF,ED BF 2.(2016 承 德 模 拟 )设 A,B,C,D是 空 间 四 个 不 同 的 点 ,在 下 列 命 题 中 ,不 正 确 的 是 _(填 序 号 ). 若 AC与 BD共 面 ,则 AD与 BC共 面 ; 若 AC与 BD是 异 面 直 线 ,则 AD与 BC是 异 面 直 线 ; 若 AB=AC,DB=DC,则 AD=BC; 若 AB=AC,DB=DC,则 AD BC. 【 解 析 】 对 于 ,由 于 点 A,B,C,D共 面 ,显 然 结 论 正 确 .对 于 ,假 设 AD与 BC共 面 ,由 正 确 得 AC与 BD共 面 ,这 与题 设 矛 盾 ,故 假 设 不 成 立 ,从 而 结 论 正 确 .对 于 ,如 图 ,当 AB=AC,DB=DC,使 二 面 角 A-BC-D的 大 小 变 化 时 ,AD与 BC不 一 定 相 等 ,故不 正 确 . 对 于 ,如 图 ,取 BC的 中 点 E,连 接 AE,DE,则 由 题 设 得BC AE,BC DE.根 据 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 得 BC 平 面ADE,从 而 AD BC.答 案 : 3.(2016 上 饶 模 拟 )已 知 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1,点P,Q,R分 别 是 线 段 B1B,AB和 A1C上 的 动 点 ,观 察 直 线 CP与 D1Q,CP与 D1R,给 出 下 列 结 论 : 对 于 任 意 给 定 的 点 P,存 在 点 Q,使 得 D1Q CP; 对 于 任 意 给 定 的 点 Q,存 在 点 P,使 得 CP D1Q; 对 于 任 意 给 定 的 点 R,存 在 点 P,使 得 CP D1R; 对 于 任 意 给 定 的 点 P,存 在 点 R,使 得 D1R CP.其 中 正 确 的 结 论 是 _. 【 解 析 】 只 有 D1Q 平 面 BCC1B1,即 D1Q 平 面 ADD1A1时 ,才 能 满 足 对 于 任 意 给 定 的 点 P,存 在 点 Q,使 得 D1Q CP,因 为 过 D1点 与 平 面 DD1A1A垂 直 的 直 线 只 有 一 条 D1C1,而 D1C1 AB,所 以 错 误 ; 当 点 P与 B1重 合 时 ,CP AB,且 CP AD1,所 以 CP 平 面 ABD1,因 为 对 于 任 意 给 定 的 点 Q,都 有 D1Q 平 面 ABD1,所 以 对 于 任 意 给 定 的 点 Q,存 在 点 P,使 得 CP D1Q,所 以 正 确 ; 只 有 CP垂 直 D1R在 平 面 BCC1B1中 的 射 影 时 ,D1R CP,所 以 正 确 ; 只 有 CP 平 面 A1CD1时 , 才 正 确 ,因 为 过 C点 的 平 面 A1CD1的 垂 线 与 BB1无 交 点 ,所 以 错 误 .答 案 : 考 向 三 异 面 直 线 所 成 的 角【 典 例 4】 (1)如 图 ,在 底 面 为 正 方 形 ,侧 棱垂 直 于 底 面 的 四 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1中 ,AA1=2AB=2,则 异 面 直 线 A1B与 AD1所 成 角 的 余 弦值 为 ( )1 2 3 4A. B. C. D.5 5 5 5 (2)(2014 全 国 卷 )直 三 棱 柱 ABC-A1B1C1中 , BCA=90 ,M,N分 别 是 A1B1,A1C1的 中 点 ,BC=CA=CC1,则 BM与AN所 成 的 角 的 余 弦 值 为 ( ) (本 题 源 于 A版 必 修 2P48练 习 T2)1 2 30 2A. B. C. D.10 5 10 2 【 解 题 导 引 】 (1)连 接 BC1,先 利 用 AD1 BC1找 出 所 求 的角 ,再 利 用 余 弦 定 理 求 解 .(2)通 过 平 行 关 系 找 出 异 面 直 线 的 夹 角 ,再 根 据 余 弦 定理 求 解 . 【 规 范 解 答 】 (1)选 D.连 接 BC1,易 证 BC1 AD1,则 A1BC1即 为 异 面 直 线 A1B与 AD1所 成 的 角 .连 接 A1C1,由 AB=1,AA1=2,则 A1C1= ,A1B=BC1= ,故 cos A1BC1= 2 55 5 2 4.52 5 5 (2)选 C.如 图 ,取 BC的 中 点 D,连 接 MN,ND,AD,由 于 MN B1C1 BD,所 以 四 边 形 BMND是 平 行 四 边 形 ,因 此 ND BM,则 ND与 NA所 成 角 即 为 异 面 直 线 BM与 AN所 成的 角 (或 其 补 角 ),设 BC=2,则 BM=ND= ,AN= ,AD= ,因 此 cos AND= 12 6 5 52 2 2ND NA AD 30.2ND NA 10 【 母 题 变 式 】 1.若 本 例 题 (1)条 件 “ AA1=2AB=2” 改 为“ AB=1,若 异 面 直 线 A1B与 AD1所 成 角 的 余 弦 值 为 ” ,试 求 的 值 . 9101AAAB 【 解 析 】 设 =t,则 AA1=tAB.因 为 AB=1,所 以 AA1=t,连 接 BC1,易 证 BC1 AD1,则 A1BC1为 异 面 直 线 A1B与 AD1所 成 角 ,又 因 为 A1C1= ,A1B= =BC1,所 以 cos A1BC1= 所 以 t=3,即 =3.1AAAB2 2t 12 22 2t 1 t 1 2 9,102 t 1 t 1 1AAAB 2.在 本 例 题 (1)的 条 件 下 ,若 点 P在 平 面 A1B1C1D1内 且 不在 对 角 线 B1D1上 ,过 点 P在 平 面 A1B1C1D1内 作 一 直 线 m,使m与 直 线 BD成 角 ,且 .这 样 的 直 线 可 作 几 条 ?(0, 2 【 解 析 】 在 平 面 A1B1C1D1内 作 m,使 m与 B1D1相 交 成 角 .因 为 BD B1D1,所 以 直 线 m与 BD也 成 角 ,当 = 时 ,m只 有 一 条 ,当 时 ,这 样 的 直 线 有 两 条 .2 2 【 规 律 方 法 】1.平 移 法 求 异 面 直 线 所 成 角 的 常 见 类 型(1)利 用 图 中 已 有 的 平 行 线 平 移 .(2)利 用 特 殊 点 (线 段 的 端 点 或 中 点 、 空 间 某 特 殊 点 )作平 行 线 平 移 .(3)补 形 平 移 . 2.求 异 面 直 线 所 成 角 的 三 个 步 骤(1)作 :通 过 作 平 行 线 ,得 到 相 交 直 线 .(2)证 :证 明 相 交 直 线 夹 角 为 异 面 直 线 所 成 的 角 (或 其 补角 ).(3)求 :解 三 角 形 ,求 出 作 出 的 角 ,如 果 求 出 的 角 是 锐 角或 直 角 ,则 它 就 是 要 求 的 角 ,如 果 求 出 的 角 是 钝 角 ,则 它的 补 角 才 是 要 求 的 角 . 【 变 式 训 练 】 直 三 棱 柱 ABC-A1B1C1中 , 若 BAC=90 ,AB=AC=AA1,则 异 面 直 线 BA1与 AC1所 成 的 角 等 于 ( )A.30 B.45 C.60 D.90 【 解 析 】 选 C.分 别 取 AB,AA1,A1C1的 中 点 D,E,F,连 接 DE,EF,DF,则 BA1 DE,AC1 EF.所 以 异 面 直 线 BA1与 AC1所 成 的 角 为 DEF(或 其 补 角 ),设 AB=AC=AA1=2,则 DE=EF= ,DF= ,由 余 弦 定 理 得 , DEF=120 .即 异 面 直 线 BA1与 AC1所 成 的 角 为 60 .2 6 【 加 固 训 练 】1.在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1中 ,M,N分 别 为 A1B1,BB1的 中 点 ,则 异 面 直 线 AM与 CN所 成 角 的 余 弦 值 为 ( )1 2 1 2A. B. C. D.3 3 5 5 【 解 析 】 选 D.如 图 ,取 AB的 中 点 E,连 接B1E,则 AM B1E.取 EB的 中 点 F,连 接 FN,则 B1E FN,因 此AM FN,连 接 CF,则 直 线 FN与 CN所 夹 锐 角 或 直 角 为 异 面 直 线 AM与CN所 成 的 角 . 设 AB=1,在 CFN中 , 由 余 弦 定 理 得 cos =|cos CNF|5 5 17CN ,FN ,CF .2 4 4 2 2 2CN FN CF 2| | .2CN FN 5 2.如 图 ,在 正 三 角 形 ABC中 ,D,E,F分 别 为 各 边 的 中 点 ,G,H分 别 为 DE,AF的 中 点 ,将 ABC沿 DE,EF,DF折 成 正 四 面体 P-DEF,则 四 面 体 中 异 面 直 线 PG与 DH所 成 的 角 的 余 弦值 为 _. 【 解 析 】 如 图 ,连 接 HE,取 HE的 中 点 K,连 接 GK,PK,则 GK DH,故 PGK即 为 所 求 的 异 面 直 线 所 成 的 角 或 其补 角 . 设 这 个 正 四 面 体 的 棱 长 为 2,在 PGK中 ,故 cos PGK= 即 异 面 直 线 PG与 DH所 成 的 角 的 余 弦 值 是 .答 案 : 2 23 3 7PG 3,GK ,PK 1 ( ) ,2 2 2 2 2 23 73 ( ) ( ) 22 2 .332 3 2 2323 3.(2016 兰 州 模 拟 )如 图 ,E,F分 别 是 三 棱 锥 P-ABC的 棱AP,BC的 中 点 ,PC=10,AB=6,EF=7,则 异 面 直 线 AB与 PC所成 的 角 为 _. 【 解 析 】 取 AC的 中 点 M,连 接 EM,MF,因 为 E,F是 中 点 ,所 以 MF AB,MF= AB= =3,ME PC,ME= PC= =5,所 以 MF与 ME所 成 的 角 即 为 AB与 PC所 成 的 角 (或 其 补 角 ).在 三 角 形 MEF中 ,cos EMF= 所 以 EMF=120 ,所 以 异 面 直 线 AB与 PC所 成 的 角 为 60 .答 案 :60 12 62 12 1022 2 25 3 7 15 12 5 3 30 2 ，
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