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第二课时两角和、差及倍角公式的应用 考 向 一 利 用 三 角 恒 等 变 换 化 简 、 求 值 、 证 明【 典 例 1】 (1)(2016 开 封 模 拟 )化 简 :sin2 sin2 +cos2 cos2 - cos2 cos2 = .(2)求 证 : 12sin2 sin2cos( ) .sin sin ( ) 【 解 题 导 引 】 (1)可 以 从 统 一 角 的 方 向 求 解 .(2)可 以 从 等 号 两 边 分 析 角 的 差 异 入 手 求 解 . 【 规 范 解 答 】 (1)方 法 一 :(从 “ 角 ” 入 手 ,倍 角 单 角 )原 式 =sin2 sin2 +cos2 cos2 - (2cos2 -1) (2cos2 -1)=sin2 sin2 +cos2 cos2 - (4cos2 cos2-2cos2 -2cos2 +1) 1212 =sin2 sin2 -cos2 cos2 +cos2 +cos2 - =sin2 sin2 +cos2 sin2 +cos2 - =sin2 +cos2 - =1- = . 1212121212 方 法 二 (从 “ 角 ” 入 手 ,单 角 倍 角 )原 式 = = (1+cos2 cos2 -cos2 -cos2 )+ (1+ cos2 cos2 +cos2 +cos2 )- cos2 cos2= .答 案 : 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1cos 2 cos 22 2 2 2 2 14 141212 12 【 一 题 多 解 】 解 答 本 题 ,还 有 以 下 解 法 :方 法 一 :(从 “ 名 ” 入 手 ,异 名 化 同 名 )原 式 =sin2 sin2 +(1-sin2 ) cos2 - cos2 cos2 =cos2 -sin2 (cos2 -sin2 )- cos2 cos2=cos2 -sin2 cos2 - cos2 cos212 12 12 2 2 2 21cos cos 2 sin cos 221 cos 2 1cos 2 sin (1 2sin )2 21 cos 2 1 1cos 2 .2 2 2 ( ) 方 法 二 :(从 “ 形 ” 入 手 ,利 用 配 方 法 ,先 对 二 次 项 配 方 )原 式 =(sin sin -cos cos )2+ 2sin sin cos cos - cos2 cos2=cos2( + )+ sin2 sin2 - cos2 cos2=cos2( + )- cos(2 +2 )=cos2( + )- 2cos2( + )-1= .答 案 : 12 12121212 1212 (2)等 式 左 边 = =右 边 ,所 以 等 式 成 立 .sin(2 ) 2sin cos( )sin sin 2sin cossinsin cos cos sin 2sin cossincos sin sin cossin ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )sin sinsin sin ( ) 【 规 律 方 法 】1.三 角 恒 等 变 换 的 化 简 、 求 值 问 题 的 求 解 策 略(1)对 于 和 、 差 式 子 ,见 到 平 方 要 降 幂 、 消 项 、 逆 用 公式 等 .(2)对 于 分 式 ,通 分 后 分 子 分 母 化 简 时 尽 量 出 现 约 分 的式 子 ,或 逆 用 公 式 . (3)对 于 二 次 根 式 ,要 用 升 幂 公 式 ,或 配 方 ,出 现 完 全 平方 ,注 意 倍 角 公 式 的 逆 用 .(4)观 察 角 的 关 系 ,尽 量 异 角 化 同 角 ,合 理 拆 分 角 .(5)观 察 三 角 函 数 的 名 称 的 关 系 ,常 用 弦 切 互 化 ,异 名 化同 名 .(6)观 察 结 构 特 征 ,明 确 变 形 方 向 ,遇 到 分 式 要 通 分 ,整式 要 因 式 分 解 . 2.三 角 恒 等 式 的 证 明 方 法(1)从 等 式 的 比 较 复 杂 的 一 边 化 简 变 形 到 另 一 边 ,相 当于 解 决 化 简 题 目 .(2)等 式 两 边 同 时 变 形 ,变 形 后 的 结 果 为 同 一 个 式 子 .(3)先 将 要 证 明 的 式 子 进 行 等 价 变 形 ,再 证 明 变 形 后 的式 子 成 立 . 易 错 提 醒 :开 平 方 时 正 负 号 的 选 取 易 出 现 错 误 ,所 以 要根 据 已 知 和 未 知 的 角 之 间 的 关 系 ,恰 当 地 把 角 拆 分 ,根据 角 的 范 围 确 定 三 角 函 数 的 符 号 . 【 变 式 训 练 】 1.化 简 的 结 果 是 ( )A.-cos 1 B.cos 1C. cos 1 D.- cos 1【 解 析 】 选 C.原 式 = 22 cos 2 sin 1 33 2 23 3sin 1 3cos 1 3cos 1. 2.化 简 : = .【 解 析 】 答 案 : 8sin cos cos cos48 48 24 12 8sin cos cos cos48 48 24 12 4sin cos cos24 24 122sin cos12 121sin .6 2 12 【 加 固 训 练 】1.化 简 = ( )A.sin B.cos C.tan D.1 sin 2 cos 21 sin 2 cos 2 cossin 【 解 析 】 选 C.原 式 = 221 2sin cos (1 2sin )1 2sin cos (2 cos 1) 222sin cos 2sin2sin cos 2cos2sin (cos sin ) tan .2cos (sin cos ) 2.(2016 衡 水 模 拟 )计 算 : = ( )【 解 析 】 选 D.原 式 = 24tan123tan 3122 3 2 3 2 3 2 3A. B. C. D.3 3 9 9 22tan2 123 1 tan 12 2 2 3 2 3tan .3 6 3 3 9 3.化 简 : = .【 解 析 】 原 式 =4 22 12cos x 2cos x 22tan x sin x4 4 ( ) ( ) 2 2 2 12cos x cos x 1 22tan x sin x4 4 ( ) ( )2 221 2cos xsin x22sin x4 sin x4cos x4 ( ) ( )( ) 答 案 : 2 221 1sin 2x2 22cos x4 sin x4sin x41cos 2x 12 cos 2x.2sin 2x2 ( ) ( )( )( )1cos 2x2 4.(2016 武 汉 模 拟 )若= . 1 tan 12 015 tan 21 tan cos 2 ， 则 【 解 析 】 因 为 =2015,所 以 答 案 :2015 1 tan1 tan 2 21 1 sin 2 1 2sin costan 2cos 2 cos 2 cos sin 2(cos sin ) cos sin 1 tan 2 015.(cos sin )(cos sin ) cos sin 1 tan 5.已 知 三 个 电 流 瞬 时 值 函 数 式 分 别 是I1=22sin t,I2=22sin( t+120 ),I3=22sin( t+240 ) ,求 证 :I1+I2+I3=0. 【 证 明 】 因 为 I1+I2+I3=22sin t+22sin( t+120 )+22sin( t+240 ) =22sin t+sin tcos120 +cos tsin120 +sin tcos240 +cos tsin240 所 以 I1+I2+I3=0.1 3 1 322 sin t sin t cos t sin t cos t 02 2 2 2 ( ) ， 考 向 二 利 用 三 角 恒 等 变 换 解 决 实 际 问 题【 典 例 2】 如 图 ,现 要 在 一 块 半 径 为 1 m,圆 心 角 为 的扇 形 白 铁 片 AOB上 剪 出 一 个 平 行 四 边 形 MNPQ,使 点 P在 弧AB上 ,点 Q在 OA上 ,点 M,N在 OB上 ,设 BOP= ,平 行 四 边形 MNPQ的 面 积 为 S.(1)求 S关 于 的 函 数 关 系 式 .(2)求 S的 最 大 值 及 相 应 的 角 . 3 【 解 题 导 引 】 (1)虽 然 P点 变 化 但 OP不 变 ,通 过 构 造 与角 所 在 的 直 角 三 角 形 ,将 平 行 四 边 形 的 底 和 高 用 角 表 示 ,从 而 求 出 S关 于 的 函 数 关 系 式 .(2)利 用 三 角 恒等 变 换 先 化 简 ,再 求 S的 最 大 值 及 相 应 的 角 . 3 【 规 范 解 答 】 (1)分 别 过 P,Q作 PD OB于 点 D,QE OB于点 E,则 四 边 形 QEDP为 矩 形 .由 扇 形 半 径 为 1m,得 PD=sin ,OD=cos .在 Rt OEQ中 ,3 3OE QE PD,3 3 MN=QP=DE=OD-OE=cos - sin ,S=MN PD= 333cos sin sin3 ( )23sin cos sin , 0, .3 3 ( ) (2)S= 因 为 所 以 当 1 3sin 2 (1 cos 2 )2 6 1 3 3 3 3sin 2 cos 2 sin2 ,2 6 6 3 6 6 ( )0,3( )， 5 12 , sin2 ,1.6 6 6 6 2 ( )， ( ) ( 2max 3S m .6 6 时 ， 【 母 题 变 式 】1.在 本 例 中 若 点 M与 点 O重 合 ,图 形 变 为 如 图 ,记 平 行 四边 形 ONPQ的 面 积 为 S.求 S的 最 大 值 . 【 解 析 】 如 图 ,过 点 P作 PD OB于 点 D,则由 扇 形 半 径 为 1m,得 PD=sin ,OD=cos ,在 Rt PND中 ,因 为 PND= AOB= ,所 以 ON=OD-ND= S=ON PD= sin 33 3ND PD sin ,3 3 3cos sin ,3 3cos sin3 ( ) 2 2max3 1 3sin cos sin sin 2 (1 cos 2 )3 2 61 3 3sin 2 cos 22 6 63 3sin2 0,3 6 6 35 12 , sin2 ( ,1.6 6 6 6 23,S m .6 6 ( ) ， 因 为 ( )，所 以 ( )， ( )当 时 2.若 本 例 题 中 的 扇 形 不 变 ,P为 扇 形 弧 的 中 点 ,如 图 ,矩形 CDEF的 边 CD平 行 于 OP,求 这 个 矩 形 面 积 的 最 大 值 . 【 解 析 】 连 接 OE,设 POE= (0 30 ),DE,FC交OP于 点 M,N,所 以 EM=sin ,OM=cos ,ON= sin ,MN=cos - sin ,所 以 矩 形 CDEF的 面 积 为 S=CD DE 332sin cos 3sin ( )( ) 22sin cos 2 3sin sin 2 31 cos 2sin 2 3cos 2 3 2sin2 33S 2 3 .12 ( )( )所 以 的 最 大 值 为 ， 此 时 【 易 错 警 示 】 解 答 本 例 题 会 出 现 以 下 错 误(1)不 知 平 行 四 边 形 的 面 积 公 式 ,无 从 下 手 ,导 致 不 会 解答 .(2)不 会 化 简 所 求 关 系 式 致 误 .(3)忽 视 的 取 值 范 围 致 误 . 【 规 律 方 法 】 (1)结 合 具 体 图 形 引 进 角 为 参 数 ,利 用 三角 函 数 的 有 关 公 式 进 行 化 简 ,解 决 最 优 化 问 题 .(2)解 决 三 角 函 数 应 用 问 题 和 解 决 一 般 应 用 性 问 题 一 样 ,先 建 模 ,再 讨 论 变 量 的 范 围 ,最 后 作 出 结 论 并 回 答 问 题 . 【 变 式 训 练 】 如 图 ,同 一 平 面 内 的 三 条 平 行 直 线 l1,l2, l3,l1与 l2的 距 离 为 1,l2与 l3的 距 离 为 2,若 正 三 角 形 的 三 个顶 点 A,B,C分 别 在 这 三 条 直 线 上 ,则 此 正 三 角 形 的 面 积为 . 【 解 析 】 过 B点 作 直 线 EF垂 直 于 l1,l2,l3,交 l1于 点 E,交 l3于 点 F,则 BE=1,BF=2,设 正 三 角 形 ABC边 长 为 a, ABE= ,则 CBF=120 - ,在 Rt ABE中 ,BE=ABcos =acos =1, 在 Rt CBF中 ,BF=BCcos(120 - )=a(cos120 cos +sin120 sin )=2,解 得 ,tan = ,所 以 所 以 S ABC= 答 案 : 533 28cos , a ,28 3 所 以21 1 28 3 7 3a sin 60 .2 2 3 2 3 7 33 【 加 固 训 练 】1.(2016 郑 州 模 拟 )已 知 直 线 l1 l2,A是 l1,l2之 间 的 一定 点 ,并 且 A点 到 l1,l2的 距 离 分 别 为 h1,h2,B是 直 线 l2上 一动 点 ,作 AC AB,且 使 AC与 直 线 l1交 于 点 C,则 ABC面 积的 最 小 值 为 . 【 解 析 】 如 图 ,设 ABD= ,则 CAE= , 所 以 S ABC= AB AC= 当 时 ,S ABC的 最 小 值 为 h1h2.答 案 :h1h2 2hAB sin ，1hAC .cos 12 1 2hh 0 .sin 2 2( )2 2 4 ， 即 2.如 图 ,半 圆 O的 半 径 为 1,点 A与 半 圆 的 直 径 在 一 条 直 线上 ,OA=2,点 P为 半 圆 上 的 任 意 一 点 ,三 角 形 PAB为 等 边 三角 形 ,当 点 P运 动 时 ,求 四 边 形 OABP的 面 积 的 最 大 值 . 【 解 析 】 设 POA= (0 0)个 单 位 得 到 的 ,则 的 最 小 值 为 ( ) 3sin 2x2 1cos 2x,2 5 5A. B. C. D.6 6 12 12 【 解 题 导 引 】 由 两 角 和 的 正 弦 公 式 化 简 解 析 式 可 得 f(x) = ,函 数 y=sin2x的 图 象 向 左 平 移 ( 0)个单 位 后 的 解 析 式 为 y=sin(2x+2 ),从 而 = +k (k N), 0可 得 的 最 小 值 .sin2x ,6( ) 12 【 规 范 解 答 】 选 C.因 为 f(x)= 所 以 可 得 f(x)= 函 数 y=sin2x的 图 象 向 左 平 移 ( 0)个 单 位 后 的 解 析式 为 y=sin(2x+2 ),从 而 = +k (k N), 0,所 以 的 最 小 值 为 . 3 1sin 2x cos 2x,2 2sin2x ,6( )12 12 命 题 方 向 2:利 用 三 角 恒 等 变 换 研 究 三 角 函 数 的 性 质 问 题【 典 例 4】 (2016 襄 阳 模 拟 )已 知 函 数 f(x)=sin2x+ sinxcosx+2cos2x,x R.(1)求 函 数 f(x)的 最 小 正 周 期 和 单 调 增 区 间 .(2)函 数 f(x)的 图 象 可 以 由 函 数 y=sin2x(x R)的 图 象经 过 怎 样 的 变 换 得 到 ?3 【 解 题 导 引 】 (1)根 据 三 角 恒 等 变 换 公 式 化 简 函 数 表 达式 为 y=Asin( x+ )的 形 式 ,再 求 周 期 和 单 调 增 区间 .(2)根 据 图 象 平 移 、 伸 缩 变 换 求 解 . 【 规 范 解 答 】 (1)f(x)= +(1+cos2x)所 以 f(x)的 最 小 正 周 期 T= = .由 题 意 得 即 所 以 f(x)的 单 调 增 区 间 为 1 cos 2x 3sin 2x2 2 3 1 3 3sin 2x cos 2x sin2x .2 2 2 6 2 ( )222k 2x 2k ,k Z,2 6 2 k x k ,k Z.3 6 k ,k ,k Z.3 6 (2)先 把 y=sin2x图 象 上 所 有 点 向 左 平 移 个 单 位 长 度 ,得 到 y=sin 的 图 象 ,再 把 所 得 图 象 向 上 平 移 个 单位 长 度 ,就 得 到 的 图 象 .2x 6( ) 3y sin2x 6 2 ( ) 12 32 【 技 法 感 悟 】三 角 恒 等 变 换 在 研 究 三 角 函 数 图 象 和 性 质 中 的 应 用(1)图 象 变 换 问 题 :先 根 据 和 角 公 式 、 倍 角 公 式 把 函 数表 达 式 变 为 正 弦 型 函 数 y=Asin( x+ )+t或 余 弦 型 函数 y=Acos( x+ )+t的 形 式 ,再 进 行 图 象 变 换 . (2)函 数 性 质 问 题 :求 函 数 周 期 、 最 值 、 单 调 区 间 的 方法 步 骤 利 用 三 角 恒 等 变 换 及 辅 助 角 公 式 把 三 角 函 数 关 系 式化 成 y=Asin( x+ )+t或 y=Acos( x+ )+t的 形 式 ; 利 用 公 式 T= ( 0)求 周 期 ;2 根 据 自 变 量 的 范 围 确 定 x+ 的 范 围 ,根 据 相 应 的 正弦 曲 线 或 余 弦 曲 线 求 值 域 或 最 值 ,另 外 求 最 值 时 ,根 据所 给 关 系 式 的 特 点 ,也 可 换 元 转 化 为 求 二 次 函 数 的 最 值 ; 根 据 正 、 余 弦 函 数 的 单 调 区 间 列 不 等 式 求 函 数 y= Asin( x+ )+t或 y=Acos( x+ )+t的 单 调 区 间 . 【 题 组 通 关 】1.(2016 南 昌 模 拟 )已 知 函 数 则 a,b,c的 大 小 关 系 是 ( )A.abc B.cabC.bac D.bca f x sin x 3cos x ， 设a f b f c f7 6 3 ( )， ( )， ( )， 【 解 析 】 选 B.f(x)= 因 为 函 数f(x)在 上 单 调 递 增 ,所 以 所 以 ca0)在 区 间 上 为 增 函 数 ,则 的 最 大 值 为 . f x 4cos x sin x6 ( ) ( )3 , 2 2 【 解 析 】 由 不 等 式 所 以 f(x)的 一 个 增 区 间 为 23sin 2 x 2sin x cos 2 x 3sin 2 x 1 ，f x 4cos xcos sin xsin sin x cos 2 x6 6 ( ) ( )2 x x2 2 4 4 ， 得 ， 4 4 ， ， 要 使 得 f(x)在 区 间 上 为 增 函 数 ,必 须 解 得 所 以 的 最 大 值 为 . 答 案 : 3 , 2 2 3 ,3 4 2 , 2 2 4 4 ,4 2 ， ， 所 以16 ， 1616 3.(2016 佳 木 斯 模 拟 )已 知 函 数 f(x)=2 sinxcosx +2cos2x-1(x R).(1)求 函 数 f(x)的 最 小 正 周 期 及 在 区 间 上 的 最 大 值和 最 小 值 .(2)若 求 cos2x0的 值 . 30, 2 0 06f x x ,5 4 2 ， ， 【 解 析 】 (1)由 f(x)=2 sinxcosx+2cos2x-1,得f(x)= (2sinxcosx)+(2cos2x-1)= sin2x+cos2x =2sin ,所 以 函 数 f(x)的 最 小 正 周 期 为 ,因 为 f(x)=2sin 在 区 间 上 为 增 函 数 ,在 区间 上 为 减 函 数 ,又 因 为 f(0)=1, 所 以 函 数 f(x)在 区 间 上 的 最 大 值 为 2,最 小 值 为 -1.33 32x 6( ) 2x 6( ) 0, 6 , 6 2 f 2,f 16 2 ( ) ( ) ，0,2 (2)由 (1)可 知 又 因 为 f(x0)= ,所 以 因 为 所 以 所 以 0 0f x 2sin2x ,6 ( )65 0 3sin2x ,6 5 ( )0 0 2 7x , 2x , .4 2 6 3 6 ， 所 以 20 0 4cos2x 1 sin 2x6 6 5 ( ) ( ) ，0 0 0cos 2x cos2x cos2x cos6 6 6 6 ( ) ( )0 3 4 3sin2x sin .6 6 10 ( ) 【 加 固 训 练 】1.(2016 商 丘 模 拟 )将 函 数 f(x)= sin2x+ cos2x的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 后 得 到 函 数 g(x)的 图 象 ,则 的 值 为 ( ) 22 624g 4( ) 6A. B 1 C. 2 D22 【 解 析 】 选 A.因 为 f(x)= 所 以 g(x)= 2 6sin 2x cos 2x2 21 32 sin 2x cos 2x 2sin2x2 2 3 ( ) ( )，2sin2x 4 3 ( ) 62sin2x g .6 4 2 ( )， 所 以 ( ) 2.(2016 台 州 模 拟 )当 函 数 y=sin x- cos x (0 x2 )取 得 最 大 值 时 ,x= .3 【 解 析 】 利 用 正 弦 函 数 的 性 质 求 解 .因 为 y=sinx- cosx(0 x2 ),所 以 y=2sin (0 x2 ).由 0 x2 知 , 所 以 当 y取 得 最 大 值 时 , 答 案 : 3x 3( ) 5x3 3 3 ， 5x x .3 2 6 ， 即56 3.(2015 邯 郸 模 拟 )已 知 函 数(1)求 函 数 f(x)的 最 小 正 周 期 和 值 域 .(2)若 f( )= ,求 sin 2 的 值 . 2 x x x 1f x cos sin cos .2 2 2 2 3 210 【 解 析 】 (1)f(x)= 所 以 f(x)的 最 小 正 周 期 为 2 ,值 域 为 2 x x x 1cos sin cos 2 2 2 2 1 1 1 21 cos x sin x cosx2 2 2 2 4 ( )， 2 2 , .2 2 (2)由 (1)知 , 所 以 所 以 2 3 2f( ) cos2 4 10 ( ) ，3cos .4 5 ( )sin 2 cos 22 ( )2cos 2 1 2cos4 418 71 .25 25 ( ) ( )
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