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第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知i为虚数单位，在复平面内，复数11i的共轭复数对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知平面向量a=(1,2)，b=(2,y)，若a/b，则a+b=()A. (1,2)B. (1,6)C. (1,3)D. (1,1)3. 若函数f(x)=x2+1,x0log3(x+3),x0，则f(f(2)=()A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知集合A=x|y= x+3,B=x|x3x1cosB”的充分不必要条件B. 若sin2A=sin2B，则ABC为等腰三角形C. 命题“若AB，则sinAsinB”是真命题D. 若a=8，c=10，B=3，则符合条件的ABC有两个11. 下列说法正确的是()A. 若ab=ac，且a0，则bcB. 若z1，z2为复数，则|z1z2|=|z1|z2|C. 设a，b是非零向量，若|a+b|=|ab|，则ab=0D. 设z1，z2为复数，若|z1+z2|=|z1z2|，则z1z2=012. 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量a，b满足|a|=|b|=2，|a+b|=2 3，则()A. ab=2B. a与b的夹角为3C. |ab|a+b|D. ab在b上的投影向量为12b第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 已知命题p：x0R,x02+2x0+a0，命题q：x0,x+1xa，若p假q真，则实数a的取值范围为_ 14. 1tan751+tan75=15. 若圆x2+y22ax2by=0(a0,b0)被直线x+y=1平分，则1a+2b的最小值为_ 16. 如图，在ABC中，已知BD=12DC，P为AD上一点，且满足CP=mCA+49CB，若ABC的面积为 3，ACB=3，则|CP|的最小值为_ 四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. (本小题12分)设向量a、b满足|a|=|b|=1，且|3a2b|= 7(1)求a与b夹角的大小；(2)求a+b与b夹角的大小；(3)求|3a+b|3ab|的值18. (本小题12分)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设bsinC= 3sinC+3cosC，A=3()求c；()若BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于P，AM=3，以P为圆心，r(00，则f(2)=4+1=5，则f(f(2)=log28=3故选：C4.【答案】B【解析】A=x|x3，B=x|1x2，即A2B，又A(0,2)，2B(0,2)，则sinAsin(2B)=cosB；反之，若B为钝角，满足sinAcosB，不能推出ABC为锐角三角形，故A正确；由sin2A=sin2B，得2A=2B或2A+2B=，即A=B或A+B=2，所以ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；若AB，则ab，由正弦定理得asinA=bsinB，即sinAsinB成立，故C正确;根据余弦定理得b2=a2+c.22accosB，即b2=82+102281012=84，所以b=2 21，符合条件的ABC只有一个，故D错误故选AC11.【答案】BC【解析】若ab=ac，且a0，则a(bc)=0，即a(bc)或b=c，故A错误；设z1=a+bi，z2=c+di，(a,b,c,dR)，|z1|= a2+b2，|z2|= c2+d2，则|z1z2|=|acbd+(ad+bc)i|= a2c2+b2d2+a2d2+b2c2= (a2+b2)(c2+d2)，|z1z2|= (a2+b2)(c2+d2)，故B正确；因为a、b为非零向量，|a+b|=|ab|，两边同时平方可得，(a+b)2=(ab)2，即a2+b2+2ab=a2+b22ab，所以ab=0，故C项正确；当z1=i，z2=1时，满足|z1+z2|=|z1z2|，但不满足z1z2=0，故D项错误故选：BC12.【答案】BD【解析】|a|=|b|=2，|a+b|=2 3，所以12=|a+b|2=a2+2ab+b2=4+2ab+4，解得ab=2，A错误；设a，b的夹角为，则cos=ab|a|b|=222=12，由于0,，a与b的夹角为3，故B正确；|ab|= (ab)2= a22ab+b2= 42ab+4=2|a+b|=2 3，故错误；ab在b上的投影向量为b(ab)|b|b|b|=abb22b|b|=b|b|=12b，故D正确故选：BD13.【答案】(1,2)【解析】命题p：由题意可得=44a0，解得a1；命题q：由题意只需a0时，x+1x2，当且仅当x=1是取等号，所以a1a2，所以1a0，y0所以|CP|2=19x2+1681y2+427xy=19x2+1681y2+16272 19x21681y2+1627=169，当且仅当19x2=1681y2，即3x=4y，即3|CA|=4|CB|时等号成立，所以|CP|的最小值为43故答案为：4317.【答案】(1)|a|=|b|=1，且|3a2b|= 7，即有(3a2b)2=7，即9a212ab+4b2=7，9121cos+4=7，即有cos=12，由0，可得a与b夹角为3；(2)由(a+b)b=ab+b2=12+1=32，|a+b|= a2+b2+2ab= 1+1+1= 3，则cos=(a+b)b|a+b|b|=32 3= 32，由于0，即有a+b与b夹角为6；(3)|3a+b|2=9a2+6ab+b2=9+612+1=13，即有|3a+b|= 13，|3ab|2=9a26ab+b2=9612+1=7，即有|3ab|= 7，故|3a+b|3ab|= 13 7= 91718.【答案】()由正弦定理及bsinC= 3sinC+3cosC，A=3得csinB= 3sinC+3cosC，csin(C+A)=2 3(12sinC+ 32cosC)，csin(C+3)=2 3sin(C+3)，C(0,23)，C+3(3,)，sin(C+3)0，c=2 3()以A为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(0,0)，B( 3,3)，设C(t,0)，M(t+ 32,32)，|AM|=3，t=2 3，C(2 3,0)，又P为三角形的重心，P( 3,1)，圆P：(x 3)2+(y1)2=r2(0r1)，设T(rcos+ 3,rsin+1)，TA=(rcos 3,rsin1)，TB=(rcos,2rsin)，TC=( 3rcos,1rsin)，TA+TB+3TC=(2 35rcos,25rsin)，|TA+TB+3TC|2=(2 35rcos)2+(25rsin)2=16+25r2+40rsin(3)25r2+40r+162512+401+16=81，|TA+TB+3TC|max=919.【答案】(1)z=ai1+i=(ai)(1i)(1+i)(1i)=a12a+12i，因为z为纯虚数，所以a12=0，且a+120，则a=1(2)由(1)知，z=a12+a+12i，则点(a12,a+12)位于第二象限，所以a10，得1a1所以a的取值范围是(1,1)20.【答案】(1)因为函数f(x)= 3sin2x+12cos2x= 3sin2xcos2x=2sin(2x6)，所以函数f(x)的最小正周期T=令2+2k2x62+2k(kZ)，得6+kx3+k(kZ)，所以函数f(x)的单调递增区间为6+k，3+k，kZ(2)因为f(A)= 3，所以2sin(2A6)= 3，即sin(2A6)= 32，又A(0,2)，所以2A6(6,56)，所以2A6=3或23，所以A=4或512，当A=4时，C=46=712，不符合题意；当A=512时，C=5126=512，符合题意，所以a=3，B=6，A=512，C=512，此时ABC为等腰三角形，所以c=a=3，所以SABC=12acsinB=1233sin6=123312=94，即ABC的面积为9421.【答案】()ac，ac=0， 3+ 3k=0，解得k=1；()k=1，a=( 3,1)，又b=(0,1)，ab=( 3,1)ab与c共线， 3 3(1+)=0，解得=2；()|b|= 0+(1)2=1，|m|= 3又m与c的夹角为150，|c|= 1+( 3)2=2mc=|m|c|cos150= 32cos150=3，|m+2c|= m2+4mc+4c2= ( 3)2+4(3)+422= 722.【答案】(1)AE=AB+BE=(2e1+e2)+(e1+e2)=e1+(1+)e2，因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得AE=kEC，即e1+(1+)e2=k(2e1+e2)，得(1+2k)e1=(k1)e2因为e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，所以1+2k=0k1=0 解得k=12，=32；(2)BC=BE+EC=e132e22e1+e2=3e112e2=3(3,1)12(1,2)=(9,3)+(12,1)=(172,2)，(3)设A(x,y)，由题意可得AD=BC=(172,2)，12x=172，3y=2，x=8，y=5A(8,5)
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