弹性力学第九章薄板弯曲问题

第 九 章薄 板 弯 曲 问 题 NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程第 九 章 薄 板 的 弯 曲 问 题 9-1 有 关 概 念 及 计 算 假 定 9-2 弹 性 曲 面 的 微 分 方 程 9-3 薄 板 截 面 上 的 内 力 9-4 边 界 条 件 扭 矩 的 等 效 剪 力 NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 1 有 关 概 念 及 计 算 假 定中 面 ： 平 分 板 厚 度 t的 平 面 简 称 为 中 面 。薄 板 ： 板 的 厚 度 t远 小 于 中 面 的 最 小 尺 寸 b， 这 样 的 板 称 为 薄 板 。 xy z0 /2/2 b图 9 1薄 板 的 弹 性 曲 面 ： 薄 板 弯 曲 时 ， 面 所 弯 成 的 曲 面 。挠 度 ： 薄 板 弯 曲 时 ， 中 面 内 各 点 在 垂 直 于 中 面 方 向 的 位 移 。 一 、 基 本 概 念 NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 1 有 关 概 念 及 计 算 假 定薄 板 的 小 挠 度 弯 曲 理 论 ， 三 个 计 算 假 定 。0z 0, ,w w w x yz 也 就 是 说 ， 在 中 面 的 任 意 一 根 法 线 上 ， 薄 板 全 厚 度 内 所 有 各 点 都具 有 相 同 的 位 移 ， 其 值 等 于 挠 度 。由 几 何 方 程 可 得 与 梁 的 弯 曲 相 似 ， 在 梁 的 任 意 一 横 截 面 上 ， 所 有 各 点 都 具 有 相 同的 位 移 ， 其 值 等 于 轴 线 的 挠 度 。计 算 假 定 ：（ 1） 垂 直 于 中 面 方 向 的 正 应 变 可 以 不 计 。 即 xy z0 /2/2 b图 9 1 NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 1 有 关 概 念 及 计 算 假 定0,0 yzzx 这 里 与 梁 的 弯 曲 相 同 之 处 ， 也 有不 同 之 处 ， 梁 的 弯 曲 我 们 只 考 虑 横 截面 ， 板 的 弯 曲 有 两 个 方 向 ， 要 考 虑 两个 横 截 面 上 的 应 力 。（ 2） 应 力 分 量 和 远 小 于 其 余 三 个 应 力 分 量 ， 因 而 是 次 要 的 ， 们 所 引 起 的 形 变 可 以 不 计 。 但 它 们 本 身 是 维 持 平 衡 所 必 需 的 ， 不 能 不 计 。 所 以 有 ：,zx zy z NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 1 有 关 概 念 及 计 算 假 定 结 合 第 一 假 定 ， 可 见 中 面 的 法 线 在 薄 板 弯 曲 时 保 持 不 伸 缩 ， 并 且 成为 弹 性 曲 面 的 法 线 。 由 于 不 计 所 引 起 的 形 变 ， 所 以 其 物 理 方 程 与 薄 板 平 面 问 题 中 的物 理 方 程 是 相 同 的 。z 112 1 x x yy y xxy xyEE E （ 9 2） NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 1 有 关 概 念 及 计 算 假 定（ 3） 薄 板 中 面 内 的 各 点 都 没 有 平 行 于 中 面 的 位 移 ， 即 ： 0,0 00 zzu 0,0,0 000 zxy zy zx所 以 由 几 何 方 程 可 以 得 出 ： 也 就 是 说 ， 中 面 的 任 意 一 部 分 ， 虽 然 弯 曲 成 弹 性 曲 面 的 一 部 分 ， 但它 在 面 上 投 影 的 形 状 却 保 持 不 变 。xy NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 2 弹 性 曲 面 的 微 分 方 程 NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 2 弹 性 曲 面 的 微 分 方 程 薄 板 的 小 挠 度 弯 曲 问 题 是 按 位 移 求 解 的 ， 挠 度 为 基 本未 知 函 数 。 ,w w x y用 表 示 其 它 未 知 函 数 ：w（ 1） 纵 向 位 移 ： ,u v（ 2） 主 要 应 变 分 量 ： , , x y xy （ 3） 主 要 应 力 分 量 ： , ,x y xy （ 4） 次 要 应 力 分 量 ： ,zx zy （ 5） 更 次 要 应 力 分 量 ： z怎 么 表 示 ？ ？ 利 用 空 间 问 题 的 基 本 方 程 、 边 界 条 件 和 三 个 假 定 。 NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 2 弹 性 曲 面 的 微 分 方 程（ 1） 用 挠 度 表 示 纵 向 位 移w ,u v由 假 定 （ 2） 知 代 入 几 何 方 程 （ 7 8）0, 0zx yz 0, 0u w w vz x y z 移 项 ， 积 分 ： 1 2, , ,w wv z f x y u z f x yy x 应 用 假 定 （ 3） 知 ， 1 2, 0, , 0f x y f x y 纵 向 位 移 ,u v ,w wv z u zy x NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 2 弹 性 曲 面 的 微 分 方 程（ 2） 用 挠 度 表 示 主 要 应 变 分 量w , ,x y xy ,w wv z u zy x 把 代 入 几 何 方 程 （ 7 8）2 22 2 22xyxy uxvyv u w zxw zy wx y x y （ a） NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 2 弹 性 曲 面 的 微 分 方 程（ 3） 用 挠 度 表 示 主 要 应 力 分 量w , ,x y xy 由 物 理 方 程 （ 9 2） 知 22112 1x x yy y x xy xyEEE （ 9 2）把 （ a） 代 入 物 理 方 程 2 22 2 22 22 2 22111xyxy Ez w wx yEz w wy xEz wx y （ 9 4） NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 2 弹 性 曲 面 的 微 分 方 程（ 4） 用 挠 度 表 示 次 要 应 力 分 量w ,xz yz 利 用 平 衡 微 分 方 程 （ 7 1） 的 前 两 式 （ 不 考 虑 体 力 ）,yx zy y xyzx xz x y z y x 把 （ 9 4） 代 入 上 式 3 32 3 23 32 3 2 22 2211 11zxzy Ez wz xEz wEz w wx x yEz w xz y ywy NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 2 弹 性 曲 面 的 微 分 方 程将 上 两 式 积 分 2 2 122 2 22 ,2 1 ,2 1zxzy Ez w F x yxEz w F x yy 1 2, ,F x y F x y，利 用 应 力 边 界 条 件 确 定 函 数板 上 下 边 界 的 应 力 边 界 条 件 2 20, 0zx zyz z 表 达 式 为 ：,zx zy 22 22 22 2 2 42 1 42 1zxzy E z wxE z wy （ 9 5） NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 2 弹 性 曲 面 的 微 分 方 程（ 5） 用 挠 度 表 示 更 次 要 应 力 分 量w z利 用 平 衡 微 分 方 程 （ 7 1） 的 第 三 式 （ 不 考 虑 体 力 ）yzxzzz x y （ c）将 应 力 分 量 （ 9 5） 代 入 （ c） 2 2 42 42 1z E z wz 上 式 对 z积 分 2 3 4 32 ,4 32 1z E zz w F x y （ e） NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 2 弹 性 曲 面 的 微 分 方 程利 用 板 下 板 面 的 边 界 条 件 确 定 待 定 函 数 3 ,F x y下 板 面 的 应 力 边 界 条 件 ： 求 出 代 入 （ e） 2 0z z 3 ,F x y 2 33 42 23 4 2 14 2 3 82 1 1 126 1z E z z wE z z w （ 9 6） NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 2 弹 性 曲 面 的 微 分 方 程下 面 推 导 的 微 分 方 程w利 用 薄 板 的 上 板 面 的 应 力 边 界 条 件 2z z q （ f）其 中 ， 是 薄 板 单 位 面 积 内 的 横 向 载 荷 ， 包 括 横 向 面 力 和 横 向 体 力 。q将 的 表 达 式 （ 9 6） 代 入 式 （ f）z 3 4212 1E w q （ 9 7）4D w q （ 9 8） 3 212 1ED （ 9 9）D： 薄 板 的 弯 曲 刚 度 ， 量 纲 ， （ 9 8） ： 薄 板 的 弹 性 曲 面 微 分 方 程2 2L MT NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 2 弹 性 曲 面 的 微 分 方 程小 结 ：（ 1） 推 导 过 程 满 足 空 间 问 题 的 平 衡 微 分 方 程 、 几 何 方 程 和 上 下 板 面 的 只 要 应 力 边 界 条 件 。（ 2） 弹 性 曲 面 微 分 方 程 （ 9 8） 主 要 边 界 的 应 力 边 界 条 件 侧 面 的 位 移 边 界 条 件 w（ 3） 根 据 （ 9 4） （ 9 6） 求 得 应 力 分 量 。（ 4） 弹 性 曲 面 微 分 方 程 （ 9 8） 侧 面 的 位 移 边 界 条 件 ， 构 成 了 薄 板 弯 曲 问 题 按 位 移 求 解 的 一 般 提 法 。 NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 3 薄 板 横 截 面 上 的 内 力 NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 3 薄 板 横 截 面 上 的 内 力 图 （ 9 2）薄 板 横 截 面 上 的 内 力 （ 薄 板 内 力 ） 是 指 薄 板 横 截 面 的 单 位 宽 度 上 ， 由应 力 合 成 的 主 矢 量 和 主 矩 。取 图 （ 9 2） 所 示 的 微 元xz 面 上 的 应 力 ： , , y yx yz yz 面 上 的 应 力 ： , ,x xy xz 下 面 就 一 个 一 个 分 析 它 们 合 成 的 主 矢 量 个 主 矩 NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 3 薄 板 横 截 面 上 的 内 力（ 1） 应 力 分 量 x由 公 式 （ 9 4） 知 ， 合 成 的 主 矢 量 为 零 ；x对 中 面 合 成 的 弯 矩 2 2x xM z dz 把 （ 9 4） 代 入 上 式 2 2 2 22 2 2 23 2 22 22112 1x E w wM z dzx yE w wx y （ a） NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 3 薄 板 横 截 面 上 的 内 力（ 2） 应 力 分 量 xy由 公 式 （ 9 4） 知 ， 合 成 的 主 矢 量 为 零 ；xy应 力 分 量 合 成 横 截 面 内 的 扭 矩xy 2 2xy xyM z dz 把 （ 9 4） 代 入 上 式 2 2 223 2112 1xy E wM z dzx yE wx y （ b） NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 3 薄 板 横 截 面 上 的 内 力（ 2） 应 力 分 量 xz应 力 分 量 只 可 能 合 成 横 向 剪 力 ， 在 单 位 宽 度 上xz 22sx xzF dz 将 （ 9 5） 的 第 一 式 代 入 ， 并 对 z积 分 222 22 23 22 42 112 1sx EF w z dzxE wx （ c） NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 3 薄 板 横 截 面 上 的 内 力同 理 ， 在 xz面 上 （ y为 常 量 ） 也 分 别 合 成 弯 矩 、 扭 矩 和 横 向 剪 力 。, ,y yx yz 3 2 22 2 222 3 222 32 222 12 112 112 1y yyx yx xysy yz E w wM z dz y xE wM z dz Mx yEF dz wy （ d）（ e）（ f） NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 3 薄 板 横 截 面 上 的 内 力将 （ 9 9） 代 入 （ a） （ f） 3 212 1ED （ 9 9） 2 2 2 2 2 2 2 222 2,1,x yxy yxSx Syw w w wM D M Dx y y xwM M D x yF D w F D wx y （ 9 10） NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 3 薄 板 横 截 面 上 的 内 力薄 板 内 力 正 负 方 向 的 规 定0 z x yxM xx MM dxx yM yy MM dyy xyM xyxy MM dxx yxM yxyx MM dyy SyF SySy FF dyy SxF SxSx FF dxx 图 （ 9 3） NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 3 薄 板 横 截 面 上 的 内 力 利 用 （ a） （ f） 消 去 （ 9 4） 和 （ 9 5） 中 的 ， 把 （ 9 8）代 入 （ 9 6） w3 3 32 22 23 32 1212 ,12 66 ,4 412 12 yxx yxyxy yx SySxxz yzz MM z zM z FF z zz zq （ 9 11） NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 3 薄 板 横 截 面 上 的 内 力应 力 分 量 的 最 大 值 发 生 在 板 面 ；, ,x y xy 应 力 分 量 的 最 大 值 发 生 在 板 的 中 面 ；,xz yz 应 力 分 量 的 最 大 值 发 生 在 板 的 上 面 ；z 22 2 22 2 22 20 02 666 33 ,2 2xx xz z yy yz z xyxy xyz z SySxzx zyz zz z MMM FFq （ 9 12） NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 3 薄 板 横 截 面 上 的 内 力 图 （ 9 2）讨 论 ：（ 1） 内 力 是 作 用 在 薄 板 单 位 宽 度 上 的 内 力 ， 因 此 ， 量 纲 少 一 个 。L（ 2） 弯 应 力 ： ； 扭 应 力 ： 横 向 切 应 力 ： 挤 压 应 力 ： ,x y xy, xz yz z（ 3） 弯 应 力 和 扭 应 力 在 数 值 上 最 大 主 要 应 力 ； 横 向 切 应 力 在 数 值 上 较 小 次 要 应 力 ； 挤 压 应 力 在 数 值 上 更 小 更 次 要 应 力 。 NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 3 薄 板 横 截 面 上 的 内 力课 内 作 业 ：通 过 微 元 的 受 力 分 析 ， 给 出 薄 板 微 元 的 平 衡 方 程 （ 用 内 力 表 示 ）要 求 有 ： 微 元 的 受 力 分 析 和 推 导 过 程 NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程9 4边 界 条 件 扭 矩 的 等 效 剪 力 NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 4 边 界 条 件 扭 矩 的 等 效 剪 力 x y ab COA B图 9 4本 节 讨 论 的 内 容 ： 薄 板 板 边 的 边 界 条 件 与 薄 板 的 上 、 下 板 面 相 比 ， 板 边 是 次 要边 界 条 件 。 因 此 ， 在 板 边 可 以 应 用 圣 维 南 原理 ， 把 应 力 边 界 条 件 代 替 为 内 力 边 界 条 件 ，即 横 向 剪 力 和 弯 矩 的 条 件 。 同 时 ， 板 边 的 位移 边 界 条 件 也 相 应 替 换 成 中 面 的 挠 度 及 转 角的 条 件 。下 面 分 类 讨 论 ：（ 1） 固 定 边 ； （ 2） 简 支 边 ； （ 3） 自 由 边 ； （ 4） 特 殊 角 点 。 NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 4 边 界 条 件 扭 矩 的 等 效 剪 力 x y ab COA B图 9 4（ 1） 固 定 边 （ OA）挠 度 为 零 ， 转 角 为 零 。 0 00, 0 x xww x （ 9 13） NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 4 边 界 条 件 扭 矩 的 等 效 剪 力 x y ab COA B图 9 4（ 2） 简 支 边 （ OC）挠 度 等 于 零 ， 弯 矩 也 等 于 零 。w yM 0 00; 0yy yw M （ a）利 用 （ 9 10） ， 条 件 （ a） 可 以 用 表 示w 2 22 20 00; 0y yw ww y x （ b）化 简 ， 得 到 简 支 边 OC的 边 界 条 件 2 20 00; 0y yww y （ 9 14） NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 4 边 界 条 件 扭 矩 的 等 效 剪 力 0 00; xx xw M M 2 22 20 00;x xw ww D Mx y （ 3） 自 由 边 （ AB） xy ab COA B图 9 4弯 矩 ： 0y y bM 扭 矩 ： 0yx y bM 横 向 剪 力 ： 0 0Sy yF NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 4 边 界 条 件 扭 矩 的 等 效 剪 力图 9 5（ 扭 矩 等 效 成 剪 力 的 示 意 图 ） 齐 尔 霍 夫 指 出 ， 薄 板 任 一 边 界 上 的 的 扭 矩 都 可 以 变 换 成 等 效 的 横 向 剪力 ， 和 原 来 的 横 向 剪 力 合 并 。 等 效 后 自 由 边 的 边 界 条 件 ： 0, 0yxy Syy b y bMM F x （ e） NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 4 边 界 条 件 扭 矩 的 等 效 剪 力把 （ 9 10） 代 入 （ e） 得 到 用 挠 度 表 达 的 自 由 边 AB边 界 条 件 2 22 23 33 2 02 0y b y bw wy xw wy x y （ 9 15） 2 22 23 33 2 02 0 x a x aw wx yw wx y x （ 9 17）同 理 ， 自 由 边 BC的 边 界 条 件 NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 9 4 边 界 条 件 扭 矩 的 等 效 剪 力角 点 B点 的 补 充 条 件2 2 , 0B x a y bw wx y x y （ 9 19）如 果 B点 有 支 座 ， 阻 止 挠 度 发 生 , 0B x a y bw w （ 9 20） NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程弹 性 力 学 简 明 教 程 作 业 讲 评注意：内力是单位宽度上的力。