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第 二 篇 思 想 方 法 精 析第 一 讲 函 数 与 方 程 思 想 【 思 想 解 读 】1.函 数 的 思 想 :是 通 过 建 立 函 数 关 系 或 构 造 函 数 ,运 用函 数 的 图 象 和 性 质 去 分 析 问 题 、 转 化 问 题 ,从 而 使 问 题得 到 解 决 的 思 想 .2.方 程 的 思 想 :是 建 立 方 程 或 方 程 组 ,或 构 造 方 程 ,通 过解 方 程 或 方 程 组 或 运 用 方 程 的 性 质 去 分 析 、 转 化 问 题 ,使 问 题 获 得 解 决 的 思 想 . 热 点 1 解 决 图 象 交 点 或 方 程 根 的 问 题【 典 例 1】 (2016 忻 州 一 模 )设 f(x)是 定 义 在 R上 的 偶函 数 ， 对 任 意 x R， 都 有 f(x-2)=f(x+2)且 当 x -2，0时 ， f(x)= -1， 若 在 区 间 (-2， 6内 关 于 x的 方 程f(x)-loga(x+2)=0(a1)恰 有 3个 不 同 的 实 数 根 ， 则 a的取 值 范 围 是 ( )x1( )2 3 3A ( 2 1) B ( 4 2) C.( 2) D.( 4 4) ， ， ， ， 【 解 析 】 选 B.因 为 对 于 任 意 的 x R， 都 有 f(x-2)=f(x+2)，所 以 函 数 f(x)是 一 个 周 期 函 数 ， 且 T=4.又 当 x -2， 0时 ， f(x)= -1， 且 函 数 f(x)是 定 义在 R上 的 偶 函 数 ，若 在 区 间 (-2， 6内 关 于 x的 方 程 f(x)-loga(x+2)=0(a1)恰 有 3个 不 同 的 实 数 根 ， x1( )2 则 函 数 y=f(x)与 y=loga(x+2)在 区 间 (-2， 6上 有 3个不 同 的 交 点 ， 如 图 所 示 ，又 f(-2)=f(2)=3， 因 此 ， 对 于 函 数 y=loga(x+2)，由 题 意 可 得 ， 当 x=2时 的 函 数 值 小 于 3，当 x=6时 的 函 数 值 大 于 3，即 loga43， 解 得 a0),则 g (t)= 令 g (t)=0,得 t=1,当 t (0,1)时 ,g (t)0,所 以 g(t)min=g(1)= ,t ln t2 2 1 1 t 12 2t 2t ，32 所 以 |AB| ,所 以 |AB|的 最 小 值 为 .32 32 【 规 律 方 法 】 求 最 值 或 参 数 范 围 的 技 巧(1)充 分 挖 掘 题 设 条 件 中 的 不 等 关 系 ,构 建 以 待 求 字 母为 元 的 不 等 式 (组 )求 解 .(2)充 分 应 用 题 设 中 的 等 量 关 系 ,将 待 求 参 数 表 示 成 其他 变 量 的 函 数 ,然 后 应 用 函 数 知 识 求 解 . (3)当 问 题 中 出 现 两 数 积 与 这 两 数 和 时 ,是 构 建 一 元 二次 方 程 的 明 显 信 息 ,构 造 方 程 再 利 用 方 程 知 识 使 问 题 巧妙 解 决 .(4)当 问 题 中 出 现 多 个 变 量 时 ,往 往 要 利 用 等 量 关 系 去减 少 变 量 的 个 数 . 【 变 式 训 练 】1.(2016 赤 峰 一 模 )如 图 ,A是 单 位 圆 与 x轴 的 交 点 ,点 P在 单 位 圆 上 , AOP= (0 ), 四 边形 OAQP的 面 积 为 S,当 +S取 得 最 大 值 时 的 值为 ( ) OQ OA OP ，OA OP A. B. C. D.6 4 3 2 【 解 析 】 选 B.由 知 四 边 形 OAQP为 平 行 四 边形 ,故 所 以 = 时 ,有 最 大 值 .OQ OA OP, OA OP S OA OP cos OA OP sin cos sin 2sin( )4 ，4 2 2.(2016 西 宁 一 模 )已 知 正 四 棱 锥 的 体 积 为 ,则 正四 棱 锥 的 侧 棱 长 的 最 小 值 为 ( )A.2 B.2 C.2 D.4 32323 【 解 析 】 选 A.如 图 所 示 ,设 正 四 棱 锥 的 底 面 边 长 为 a,高 为 h.则 该 正 四 棱 锥 的 体 积 V=故 a2h=32,即 a2= .则 其 侧 棱 长 为 l= 令 f(h)= 21 32a h3 3 ，32h 2 2 22a 16( ) h h .2 h 216 hh ， 则 f (h)= 令 f (h)=0,解 得 h=2.显 然 当 h (0,2)时 ,f (h)0,f(h)单 调 递 增 .所 以 当 h=2时 ,f(h)取 得 最 小 值 f(2)= +22=12,故 其 侧 棱 长 的 最 小 值 l = 32 216 2h 162hh h ， 16212 2 3. 热 点 3 解 决 与 不 等 式 有 关 的 问 题【 典 例 3】 (2016 保 定 一 模 )已 知 函 数 f(x)=lnx -1， g(x)=-x2+2bx-4， 若 对 任 意 x1 (0， 2)， x2 1，2， 不 等 式 f(x1) g(x2)恒 成 立 ， 则 实 数 b的 取 值 范 围为 _. 1 3x4 4x 【 解 析 】 问 题 等 价 于 f(x)min g(x)max.f(x)=lnx -1，所 以 f (x)= 令 f (x)0得 x2-4x+30， 解 得 1x3，故 函 数 f(x)的 单 调 递 增 区 间 是 (1， 3)，单 调 递 减 区 间 是 (0， 1)和 (3， + )，1 3x4 4x 22 21 1 3 4x x 3x 4 4x 4x ， 故 在 区 间 (0， 2)上 ， x=1是 函 数 的 极 小 值 点 ， 这 个 极 小值 点 是 唯 一 的 ， 故 也 是 最 小 值 点 ，所 以 f(x)min=f(1)=- .由 于 函 数 g(x)=-x2+2bx-4， x 1， 2.当 b2时 ， g(x) max=g(2)=4b-8.12 故 问 题 等 价 于解 得 b0)恒 成 立 ,则 实 数 t的 最 大 值 是 ( )A.4 B.7 C.8 D.9 【 解 析 】 选 D.由 图 可 知 , 当 函 数 y=f(x-a)的 图 象 经 过 点 (1,4)时 ,有 x 1,t,f(x-a) 4x(a0)恒 成 立 ,此 时 t取 得 最 大 值 ,由 (1-a)2+4(1-a)+4=4,得 a=5或 a=1(舍 ),所 以 4t=(t-5+2)2,所 以 t=1(舍 )或 t=9,故 t=9. 2.(2016 太 原 二 模 )f(x)=ax3-3x+1对 于 x -1,1总有 f(x) 0成 立 ,则 a=_.【 解 析 】 若 x=0,则 不 论 a取 何 值 ,f(x) 0显 然 成 立 ;当 x0即 x (0,1时 , f(x)=ax3-3x+1 0可 化 为 a 设 g(x)= 则 g (x)= 所 以 g(x)在 区 间 上 单 调 递 增 ,在 区 间 上 单 调递 减 ,因 此 g(x)max=g =4,从 而 a 4;当 x0即 x -1,0)时 , 2 33 1 .x x2 33 1 ,x x 43 1 2xx ，1(0, 2 1 ,121( )2 f(x)=ax3-3x+1 0可 化 为 a g(x)= 在 区 间 -1,0)上 单 调 递 增 ,因 此 g(x)min=g(-1)=4,从 而 a 4,综 上 a=4.答 案 :4 2 33 1 ,x x2 33 1x x
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