资源描述
第4讲推理与证明专题四数列、推理与证明 栏目索引 高考真题体验1 热点分类突破2 高考押题精练3 解析 高考真题体验1.(2016课标全国丙)定义“规范01数列” an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k 2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数.若m4，则不同的“规范01数列”共有()A.18个 B.16个 C.14个 D.12个解析第一位为0，最后一位为1，中间3个0,3个1,3个1在一起时为000111,001110；共28414(个). 2.(2016山东)观察下列等式： 解析答案 3.(2016课标全国甲)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_.解析由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“ 1和2”或“ 1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“ 2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“ 1和3” .1和3 解析答案 考情考向分析 返回 1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题. 热点一归纳推理1.归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理.2.归纳推理的思维过程如下：热点分类突破 正方形数 N(n,4)n2，六边形数 N(n,6)2n2n 可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(8,12)_.288 解析答案 解析答案思维升华 思维升华归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用.其思维模式是“观察归纳猜想证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想. 跟踪演练1(1)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是()A.48,49 B.62,63 C.75,76 D.84,85 解析 解析由已知图形中座位的排列顺序，可得：被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D符合条件. (2)用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图所示的规律拼成若干个图形，则按此规律，第100个图形中有白色地砖_块；现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是_.503 答案解析 解析按拼图的规律，第1个图有白色地砖(331)块，第2个图有白色地砖(352)块，第3个图有白色地砖(373)块，则第100个图中有白色地砖3201100503(块).第100个图中黑白地砖共有603块， 热点二类比推理1.类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理.2.类比推理的思维过程如下： A.1 B.2 C.3 D.4解析 解析如图，设正四面体的棱长为1，此时易知点O即为正四面体内切球的球心， ch(xy)ch xch ysh xsh y答案解析思维升华 故知ch(xy)ch xch ysh xsh y，或sh(xy)sh xch ych xsh y，或sh(xy)sh xch ych xsh y.思维升华 思维升华类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起.当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比. 300解析在等比数列bn中，若Tn是数列bn的前n项积，类比上述结论，在公差为3的等差数列an中，我们可以类比推断出：S20S10，S30S20，S40S30也构成等差数列，公差为100d300. 解析答案 答案解析 解析设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P0(x0，y0)，因为P0(x0，y0)在这两条切线上， 热点三直接证明和间接证明直接证明的常用方法有综合法和分析法，综合法由因导果，而分析法则是执果索因，反证法是反设结论导出矛盾的证明方法. (1)求数列an的通项公式；解由已知得an1an1，则an1an1，又a11，所以数列an是以1为首项，1为公差的等差数列.故an1(n1)1n. 解析答案 证明由(1)知，ann，从而bn1bn2n.bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b1(22n22n22n1)(22n222n11)2n0， 解析答案思维升华 2 na 思维升华(1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可.(2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候分析法和综合法交替使用. 跟踪演练3(1)已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c. 解析答案 只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2，又ABC三内角A，B，C成等差数列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立.于是原等式成立. 证明假设x0是f(x)0的负根，则x01，f(2)1；下面用数学归纳法证明：当n 3时，f(n)1.由(1)知当n3时，f(n)1；假设当nk(k 3，k N*)时，f(k)1，那么当nk1时， 解析答案思维升华 所以当nk1时，f(n)1也成立.由和知，当n 3时，f(n)1；当n 3时，f(n)1.思维升华 用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，关键在于弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项.难点在于寻求等式在nk和nk1时的联系.思维升华 (1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式； 解析答案 (2)用数学归纳法证明你的结论.证明由(1)易知，n1时，猜想正确.这说明，nk1时猜想正确.由知，对于任何n N *，返回解析答案 高考押题精练1.将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，(22,23,24,25,26,27,28)， 分别计算各组包含的正整数的和，如下所示：S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，S6161718192021111，S 722232425262728175，试猜测S1S3S5S2 015_.1 0084答案解析押题依据 押题依据数表(阵)是高考命题的常见类型，本题以三角形数表中对应的各组包含的正整数的和的计算为依托，围绕简单的计算、归纳猜想以及数学归纳法的应用等，考查考生归纳猜想能力以及对数学归纳法逻辑推理证明步骤的掌握程度. 解析 解析由题意知，当n1时，S1114；当n2时，S1S31624；当n3时，S1S3S58134；当n4时，S1S3S5S725644； 猜想：S1S3S5S2n1n4. S1S3S5S2 0151 0084. 押题依据根据n个等式或不等式归纳猜想一般规律的式子是近几年高考热点，相对而言，归纳推理在高考中出现的机率较大. 答案解析押题依据 解析已知所给不等式的左边第一个式子都是x，不同之处在于第二个式子， 显然式子中的分子与分母是对应的，分母为xn，分子是nn，显然不等式右边的式子为n1， 3.设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，证明：数列Sn不是等比数列.押题依据反证法是一种重要的证明方法，对含“至多” “至少”等词语的命题用反证法十分有效，近几年高考时有涉及.因为a1 0，所以(1q)21qq2，即q0，这与q 0矛盾，故S n不是等比数列.押题依据返回解析答案
展开阅读全文