高考数学二轮复习 专题一 函数与导数、不等式 第4讲 导数与函数的切线及函数零点问题课件 理

第4讲导数与函数的切线及函数零点问题高 考 定 位 在高考试题的导数压轴题中，以含指数、对数的函数为截体，考查函数零点问题、与方程的根相关的问题及函数图象的交点问题是高考命题的一个热点. 真 题 感 悟(2016全国卷)已 知 函 数 f(x) (x 2)ex a(x 1)2有 两 个 零 点 .(1)求 a的 取 值 范 围 ；(2)设 x1， x2是 f(x)的 两 个 零 点 ， 证 明 ： x1 x20， 则 当 x ( ， 1)时 ， f(x)0， 所 以 f(x)在 ( ， 1)上 单 调 递 减 ， 在 (1， )上 单调 递 增 . 考 点 整 合1.求 曲 线 y f(x)的 切 线 方 程 的 三 种 类 型 及 方 法(1)已 知 切 点 P(x0， y0)， 求 y f(x)过 点 P的 切 线 方 程 ： 求 出 切 线的 斜 率 f(x0)， 由 点 斜 式 写 出 方 程 .(2)已 知 切 线 的 斜 率 为 k， 求 y f(x)的 切 线 方 程 ： 设 切 点 P(x0，y0)， 通 过 方 程 k f(x0)解 得 x0， 再 由 点 斜 式 写 出 方 程 .(3)已 知 切 线 上 一 点 (非 切 点 )， 求 y f(x)的 切 线 方 程 ： 设 切 点P(x 0， y0)， 利 用 导 数 求 得 切 线 斜 率 f(x0)， 再 由 斜 率 公 式 求 得切 线 斜 率 ， 列 方 程 (组 )解 得 x0， 再 由 点 斜 式 或 两 点 式 写 出 方 程 . 2.三 次 函 数 的 零 点 分 布三 次 函 数 在 存 在 两 个 极 值 点 的 情 况 下 ， 由 于 当 x 时 ， 函 数值 也 趋 向 ， 只 要 按 照 极 值 与 零 的 大 小 关 系 确 定 其 零 点 的 个数 即 可 .存 在 两 个 极 值 点 x1， x2且 x1 x2的 函 数 f(x) ax3 bx2cx d(a 0)的 零 点 分 布 情 况 如 下 ：a的 符 号 零 点 个 数 充 要 条 件a 0 (f(x1)为 极大 值 ， f(x 2)为 极小 值 ) 一 个 f(x1) 0两 个 f(x1) 0或 者 f(x2) 0三 个 f(x1) 0且 f(x2) 0a 0 (f(x1)为 极小 值 ， f(x2)为 极大 值 ) 一 个 f(x2) 0两 个 f(x1) 0或 者 f(x2) 0三 个 f(x1) 0且 f(x2) 0 3.(1)研 究 函 数 零 点 问 题 或 方 程 根 问 题 的 思 路 和 方 法研 究 函 数 图 象 的 交 点 、 方 程 的 根 、 函 数 的 零 点 ， 归 根 到 底 还是 研 究 函 数 的 图 象 ， 如 单 调 性 、 值 域 、 与 x轴 的 交 点 等 ， 其 常用 解 法 如 下 ： 转 化 为 形 如 f(x1)f(x2) 0的 不 等 式 ： 若 y f(x)满 足 f(a)f(b) 0，则 f(x)在 (a， b)内 至 少 有 一 个 零 点 ； 转 化 为 求 函 数 的 值 域 ： 零 点 及 两 函 数 的 交 点 问 题 即 是 方 程g(x) 0有 解 问 题 ， 将 方 程 分 离 参 数 后 (a f(x)转 化 为 求 y f(x)的 值 域 问 题 ； 数 形 结 合 ： 将 问 题 转 化 为 y f(x)与 y g(x)的 交 点 问 题 ， 利 用 函 数 图 象 位 置 关 系 解 决 问 题 . (2)研 究 两 条 曲 线 的 交 点 个 数 的 基 本 方 法 数 形 结 合 法 ， 通 过 画 出 两 个 函 数 图 象 ， 研 究 图 象 交 点 个数 得 出 答 案 . 函 数 与 方 程 法 ， 通 过 构 造 函 数 ， 研 究 函 数 零 点 的 个 数 得出 两 曲 线 交 点 的 个 数 . 热点一函数图象的切线问题 微 题 型 1 单 一 考 查 曲 线 的 切 线 方 程【例11】 (1)(2016全国卷)若 直 线 y kx b是 曲 线 y ln x 2的 切 线 ， 也 是 曲 线 y ln(x 1)的 切 线 ， 则 b _.(2)设 函 数 f(x) ax3 3x， 其 图 象 在 点 (1， f(1)处 的 切 线 l与 直线 x 6y 7 0垂 直 ， 则 直 线 l与 坐 标 轴 围 成 的 三 角 形 的 面 积为 ( )A.1 B.3 C.9 D.12 答案(1)1 ln 2 (2)B 探究提高利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解. 微 题 型 2 综 合 考 查 曲 线 的 切 线 问 题【例12】 已 知 函 数 f(x) 2x3 3x.(1)求 f(x)在 区 间 2， 1上 的 最 大 值 ；(2)若 过 点 P(1， t)存 在 3条 直 线 与 曲 线 y f(x)相 切 ， 求 t的 取 值范 围 . 当 x变 化 时 ， g(x)与 g(x)的 变 化 情 况 如 下 ：所 以 ， g(0) t 3是 g(x)的 极 大 值 ， g(1) t 1是 g(x)的 极 小 值 .当 g(0) t 3 0， 即 t 3时 ， 此 时 g(x)在 区 间 ( ， 1和1， )上 分 别 至 多 有 1个 零 点 ， 所 以 g(x)至 多 有 2个 零 点 .当 g(1) t 1 0， 即 t 1时 ， 此 时 g(x)在 区 间 ( ， 0)和0， )上 分 别 至 多 有 1个 零 点 ， 所 以 g(x)至 多 有 2个 零 点 . 当 g(0) 0且 g(1) 0， 即 3 t 1时 ， 因 为 g( 1) t 7 0，g(2) t 11 0， 所 以 g(x)分 别 在 区 间 1， 0)， 0， 1)和 1， 2)上 恰 有 1个 零 点 ， 由 于 g(x)在 区 间 ( ， 0)和 (1， )上 单 调 ，所 以 g(x)分 别 在 区 间 ( ， 0)和 1， )上 恰 有 1个 零 点 .综 上 可 知 ， 当 过 点 P(1， t)存 在 3条 直 线 与 曲 线 y f(x)相 切 时 ，t的 取 值 范 围 是 ( 3， 1). 探究提高解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标，解题时先不要管其他条件，先使用曲线上点的横坐标表达切线方程，再考虑该切线与其他条件的关系，如本题第(2)问中的切线过点(1，t). 【训练1】 已 知 函 数 f(x) x3 x.(1)设 M(0， f(0)是 函 数 f(x)图 象 上 的 一 点 ， 求 图 象 在 点 M处 的切 线 方 程 ；(2)证 明 ： 过 点 N(2， 1)可 以 作 曲 线 f(x) x3 x的 三 条 切 线 . 因 为 g()在 R上 只 有 一 个 极 大 值 3和 一 个 极 小 值 5，所 以 过 点 N可 以 作 曲 线 f(x) x3 x的 三 条 切 线 . 热点二利用导数解决与函数零点(或方程的根)有关的问题微 题 型 1 讨 论 函 数 零 点 的 个 数 探究提高对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是：(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；(2)求导数，得单调区间和极值点；(3)画出函数草图；(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解. 微 题 型 2 根 据 函 数 零 点 求 参 数 范 围【例22】 (2016郑州模拟)已 知 函 数 f(x) xln x， g(x) x2 ax 2(e为 自 然 对 数 的 底 数 ， a R). 探究提高研究方程的根(或函数零点)的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根(函数零点)的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用. (1)求 函 数 f(x)的 解 析 式 ；(2)判 断 函 数 f(x)在 (0， )内 的 零 点 个 数 ， 并 加 以 证 明 . 1.求 曲 线 的 切 线 方 程 的 方 法 是 利 用 切 线 方 程 的 公 式 y y0f(x0)(x x0)， 它 的 难 点 在 于 分 清 “ 过 点 P的 切 线 ” 与 “ 在 点 P处 的 切 线 ” 的 差 异 .突 破 这 个 难 点 的 关 键 是 理 解 这 两 种 切 线 的不 同 之 处 在 哪 里 ， 在 过 点 P(x0， y0)的 切 线 中 ， 点 P不 一 定 是 切点 ， 点 P也 不 一 定 在 已 知 曲 线 上 ， 而 在 点 P(x0， y0)处 的 切 线 ，必 以 点 P为 切 点 ， 则 此 时 切 线 的 方 程 是 y y0 f(x0)(x x0). 2.我 们 借 助 于 导 数 探 究 函 数 的 零 点 ， 不 同 的 问 题 ， 比 如 方 程 的 解 、直 线 与 函 数 图 象 的 交 点 、 两 函 数 图 象 交 点 问 题 都 可 以 转 化 为 函数 零 点 问 题 .3.对 于 存 在 一 个 极 大 值 和 一 个 极 小 值 的 函 数 ， 其 图 象 与 x轴 交 点的 个 数 ， 除 了 受 两 个 极 值 大 小 的 制 约 外 ， 还 受 函 数 在 两 个 极 值点 外 部 函 数 值 的 变 化 的 制 约 ， 在 解 题 时 要 注 意 通 过 数 形 结 合 找到 正 确 的 条 件 .4.求 函 数 零 点 或 两 函 数 的 交 点 问 题 ， 综 合 了 函 数 、 方 程 、 不 等 式等 多 方 面 知 识 ， 可 以 全 面 地 考 察 学 生 对 函 数 性 质 、 函 数 图 象 等知 识 的 综 合 应 用 能 力 ， 同 时 考 察 学 生 的 变 形 、 转 化 能 力 .因 此在 高 考 压 轴 题 中 占 有 比 较 重 要 的 地 位 .