小学奥数周期问题

当 月 球 运 行 到 地 球 和 太 阳 之 间 ， 并 且 三 个星 球 正 好 或 接 近 排 成 一 条 直 线 ， 月 球 挡 住 了 我们 观 察 太 阳 的 视 线 。 观 测 日 食 时 不 能 直 视 太 阳 ， 否 则 会 造 成 失明 。 日 全 食 ： 月 球 挡 住 了 全 部 的 太 阳 光 。 日 偏 食 ： 月 球 挡 住 了 部 分 的 太 阳 光 。日 环 食 ： 月 球 挡 住 了 中 间 部 分 的 太 阳 光 。 实 验 ： 观 察 两 圆 遮 掩 现 象 记 录 :大 球 被 遮 黑 部 分 涂 黑 夏 朝 第 四 位 君 王 仲 康 在 位 之 时 ， 这 年 秋 天 ， 忙 碌 在 麦 浪滚 滚 ， 晴 空 万 里 中 收 割 的 农 民 们 发 现 ， 高 悬 在 天 空 的 太 阳 ，光 线 在 一 点 点 减 弱 ， 仿 佛 有 个 黑 黑 的 怪 物 在 一 点 点 地 吞 吃 太阳 ， 百 姓 们 惊 恐 万 状 ， 急 忙 聚 集 起 来 敲 盆 打 锣 。 最 为 恐 惧 的 还 是 当 朝 皇 帝 仲 康 。 因 为 “ 天 狗 吃 太 阳 ” 预示 着 国 家 将 有 灾 难 发 生 。 按 照 传 统 习 惯 ， 需 要 安 排 一 种 “ 救日 ” 仪 式 ， 希 望 通 过 祭 天 形 式 把 太 阳 给 请 回 来 。 可 负 责 这 场仪 式 的 天 文 官 羲 和 却 不 见 了 踪 影 。 仲 康 皇 帝 眼 看 着 被 完 全“ 吃 掉 ” 的 太 阳 还 有 乱 做 一 团 不 知 所 措 的 朝 臣 们 开 始 绝 望 之时 ， 奇 迹 发 生 了 ， 天 边 开 始 慢 慢 变 亮 ， 最 终 整 个 太 阳 又 完 好地 回 来 了 。 天 文 官 羲 和 到 现 在 也 没 露 面 ， 原 来 羲 和 昨 天 喝 了 一 夜 的酒 ， 此 刻 正 在 清 台 (当 时 的 天 文 观 测 台 )旁 守 夜 的 小 屋 里 呼 呼大 睡 。 仲 康 大 帝 立 刻 下 令 将 羲 和 推 出 斩 首 。 这 个 故 事 出 自 尚 书 ， 记 载 了 中 国 历 史 上 发 生 的 日 全食 现 象 。 其 实 泰 勒 斯 就 是 从 之 前 的 日 食 记 录 中 找 到 了 日食 发 生 的 周 期 ， 根 据 周 期 做 出 的 预 言 我 给 你 讲 个 故事 吧 从 前 有 座 山从 前 有 座 山 ，山 上 有 座 庙 。庙 里 有 个 老 和 尚 和 小 和 尚 ，老 和 尚 对 小 和 尚 说 ，“ 从 前 有 座 山 ，山 上 有 座 庙 。庙 里 有 个 老 和 尚 和 小 和 尚 ，老 和 尚 对 小 和 尚 说 ，从 前 有 座 山 .” 什么是周期问题？ 例如：星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 星期一 星期二 什么是周期问题？ 有一些现象是按照一定的规律、依次不断重复出现的，我们把这种特殊的规律性问题叫做周期问题，而重复出现的一节个数叫做周期（周期是一个数）。特点： 重 复 出 现顺 序 不 变 生 活 中 有 许 多 的 事 物 不 断 地 周 而 复 始 。 比如 地 球 每 3 6 5 天 左 右 绕 太 阳 公 转 一 周 ， 同 时每 2 4 小 时 自 转 一 次 ； 钟 表 每 天 滴 答 滴 答 地走 个 不 停 ， 时 针 每 1 2 小 时 转 一 周 分 针 每 6 0分 钟 转 一 周 ， 秒 针 每 6 0 秒 转 一 周 ； 人 类 一个 星 期 接 着 一 个 星 期 地 学 习 、 工 作 ； 春 夏秋 冬 年 年 复 .生 活 中 的 周 期 第 24个 彩 灯 是 什 么 ？ 第 18个 彩 灯 是 什 么 ？ 18 4=4（ 组 ） 2（ 个 ） 24 4=6（ 组 ） 周期问题解题过程u 确 定 周 期 。u 找 到 总 数u 总 数 周 期 =组 数 余 数u 确 定 各 余 数 的 位 置 。 把 三 种 图 形 按 一 定 的 规 则 排 列 ： 问 第 16个 图 形 是 什 么 ？ 第 100个 图 形 又 是 什 么 ？周 期 为 ： 8解 ： 16 8=2（ 组 ） ， 周 期 最 后 一 个 是 。100 8=12（ 组 ） 4 （ 个 ） 第 100个 图 形 为 。 【练一练】小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、红两色小球按下面的规律排列，你知道它们所排列的这些小球中，第90个是什么球？第100个又是什么球呢？解析：周期=3903=30（组）100 3=33（ 组 ） 1（ 个 ）答：第90个是黑球，第100个又是红球。 1、 第 20个图 形 是 什 么 ？ 2、 小 雨 练 习 书 法 ， 她 把 “ 我 爱 伟 大 的 祖国 ” 这 句 话 依 次 反 复 书 写 ， 第 60个 字 应 写什 么 字 ？ 3、 国 庆 节 挂 彩 灯 ， 按 “ 红 、 黄 、 蓝 、 白 、 绿 、紫 ” 的 顺 序 挂 ， 一 共 挂 了 300只 彩 灯 ， 第 57只彩 灯 是 什 么 颜 色 ？4、 二 (1)班 同 学 参 加 学 校 拔 河 比 赛 ， 他 们 比 赛的 队 伍 按 “ 三 男 二 女 ” 依 次 排 成 一 队 ， 第 26个同 学 是 男 还 是 女 ？ 国 庆 节 挂 彩 灯 ， 按 “ 红 、 黄 、 蓝 、 白 、 绿 、 紫 ” 的 顺序 挂 ， 一 共 挂 了 50只 彩 灯 ， 第 50只 彩 灯 是 什 么 颜 色的 ？ 红 色 的 彩 灯 一 共 有 多 少 只 ?50 6=8（ 组 ） 2（ 个 ）答 ： 第 50只 彩 灯 是 黄 色 的 。8 1+1=9（ 只 ）答 ： 红 色 的 彩 灯 一 共 有 9只 。 学 校 大 楼 前 摆 了 一 排 花 盆 ， 每 两 盆 月 季花 之 间 摆 3盆 杜 鹃 花 ， 一 共 摆 了 39盆 。如 果 第 一 盆 是 月 季 花 ， 那 么 共 摆 了 多 少盆 杜 鹃 花 ？39 4=9（ 个 ） 3（ 盆 ）9 3+1=28（ 盆 ）答 ： 共 摆 了 28盆 杜 鹃 花 。 例 4 有 一 列 数 ： 1， 4， 2， 1， 4， 2， 1， 4， 2， 第 26个 数 是 几 ？ 这 26个 数 的 和 是 多 少 ？ 周 期 为 326 3=8（ 组 ） 2（ 个 ）答 ： （ 1） 第 26个 数 是 4。 （ 2） 这 26个 数 的 和 是 611,41+4+2=7 7 8 +1+4=617 7 7 7 777 7 8个 7 有 一 列 数 ： 2， 3， 4， 2， 3， 4， 2， 3， 4第 20个 数 字 是 多 少 ？ 这 20个 数 的 和 是 多 少 ？ 20 3=6（ 组 ） 2（ 个 ）2+3+4=99 6+2+3=59答 ： 第 20个 数 字 是 3， 这 20个 数 的 和 是 59。 周期问题并不难，除法算式来帮忙。列式之前别忙算，先找每组有几个。每组有几就除以几，算出余数就知晓。余几就是第几个，没有余数找末了。 有 两 个 人 到 海 边 去 玩 ,突 然 被 一 阵 浪 卷 走 了 。 被卷 走 的 那 个 人 叫 小 明 ， 请 问 剩 下 的 那 个 人 叫 什么 ？答 案 ： 当 然 是 叫 救 命 啊小 强 数 学 只 差 6分 就 及 格 ， 小 明 数 学 也 只 差 6分 就 及格 了 ， 但 小 明 和 小 强 的 分 数 不 一 样 ， 为 什 么 ？ 答 案 ： 一 个 是 54分 ， 一 个 是 0分 随 意 选 取 一 个 自 然 数 ， 如 果 是 个 偶 数 ， 那 么除 以 2， 如 果 是 奇 数 ， 则 将 它 乘 3后 再 加 1，这 样 反 复 运 算 ， 最 终 会 得 到 什 么 呢 ？ 如 ： 取 33 3 +1 =1 0 1 0 2=55 3+1=1616 2=88 2=4答 案 ： 得 到 的 结 果 总 是 1 l一 个 星 期 有 7天l一 年 有 12个 月1月 、 3月 、 5月 、 7月 、 8月 、 10月 、 12月 有 31天 ；平 年 2月 有 28天 ， 闰 年 2月 有 29天 ； 其 余 月 份 都 是 30天（ 口 诀 ： 一 、 三 、 五 、 七 、 八 、 十 、 腊 ， 三 十 一 天 永不 差 ）l十 二 生 肖 北 京 奥 运 会 2008年 8月 8日 星 期 五 召开 ,2008年 8月 24日 闭 幕 ,闭 幕 这 天 星 期 几 ?想 :8月 8日 到 8月 24日 一 共 有 几 天 ? 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 共 1 7 天2 4 -8 +1 =1 7 ( 天 ) 一 个 星 期 是 7天 ,17天 是 几 个 星 期 零 几 天 ?17 7=2(个 )3(天 ) 五 六 日 一 二 三 四8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4五 六 日 一 二 三 四1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1五 六 日 2 2 2 3 2 4 小 提 示第 一 步 : 算 出 一 共 有 多 少 天第 二 步 : 这 些 天 包 括 几 个 星 期 ,零 几 天第 三 步 : 写 出 从 哪 到 哪 是 一 周 期第 四 步 : 通 过 余 数 确 定 是 星 期 几 首 先 要 知 道 9 月 份 有 多 少 天 ? (3 0 天 )从 9 月 1 0 日 到 9 月 3 0 日 一 共 有 多 少 天 ?3 0 -1 0 +1 =2 1 (天 )2 1 天 是 几 个 星 期 ?2 1 7 =3 (个 )三 四 五 六 日 一 二 三 四 五 六 日 一 二 所 以 9 月 最 后 一 天 应 该 是 星 期 二 .1、 2008年 9月 10日 是 星 期 三 ,那 么 这 个月 的 最 后 一 天 是 星 期 几 呢 ? 2、 2008年 6月 1日 是 星 期 日 ,那 么 2008年 10月 1日 是 星 期 几 呢 ? 6月 7 月 8月 9月 10月 1日 30天 31天 31天 30天 1天 一 共 是 多 少 天 呢 ? 30+31+31+30+1=123(天 ) 123天 包 括 几 个 星 期 ,零 几 天 呢 ? 123 7=17(个 ) 4(天 )日 一 二 三 四 五 六 所 以 10月 1日 应 该 是 星 期 三 . 3、 2006年 1月 1日 是 星 期 日 ， 问 ：（ 1） 这 个 月 的 25日 是 星 期 几 ？（ 2） 2006年 的 2月 14日 是 星 期 几 ?（ 3） 2008年 的 1月 1日 是 星 期 几 ？日 一 二 三 四 五 六 日 一 二 三 四 五 六 日 一 二 三 四 五 六 （ 1） 25 7=34 答 ： 25日 是 星 期 三 。（ 2） 1月 1日 到 2月 14日 共 有 ： 31+14=45（ 天 ） 45 7=63 答 ： 2月 14日 是 星 期 二 。提 示 ： 多 少 天 作 为 一 个 周 期 ， 总 天 数 又 是 多 少 呢 ？解 ： （ 3） 2006年 1月 1日 到 2008年 1月 1日 共 有 ： 365+365+1=731（ 天 ） 731 7=1043 答 ： 2008年 1月 1日 是 星 期 二 。 3 3 3 3 3 3 3 3 3 9 7 1 3 9 7 1 发 现 3,9,7,1四 个 数 是 一 个 周 期 ,23里 面 包 含 几 个 周 期 呢 ?23 4=5(个 ) 3(个 )这 个 周 期 里 第 三 个 数 字 是 7,也 就 是 积 的 个 位数 字 是 7.3 3 . 3,23个 3相 乘 ,积 的 个 位 数 字是 几 ? 小 提 示第 一 步 : 算 一 算 ,找 出 积 的 个 位 数 字 的 周 期 规 律第 二 步 : 包 含 了 几 个 周 期 .第 三 步 : 通 过 余 数 确 定 末 位 数 字 是 几 . 7 7 7 7 7 7 7 7 7 9 3 1 7 9 3 1 发 现 7 ,9 ,3 ,1 四 个 数 是 一 个 周 期 , 5 0 里 面 包 含 几 个 周 期 呢 ? 5 0 4 =1 2 (个 )2 (个 ) 这 个 周 期 里 第 二 个 数 字 是 9 ,也 就 是 积 的 个 位 数 字 是9 .1、 7 7 . 7,50个 7相 乘 ,积 的 末 位 数字 是 几 ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 8 6 2 4 8 6 发 现 2 ,4 ,8 ,6 四 个 数 是 一 个 周 期 ,1 0 0 里 面 包 含 几 个 周 期 呢 ?1 0 0 4 =2 5 (个 )这 个 周 期 里 第 四 个 数 字 是 6 ,也 就 是 积 的 个 位数 字 是 6 .2.100个 2相 乘 ,积 的 末 位 数 字 是 几 ? 有 一 个 111位 数 ， 各 位 数 字 都 是 1， 这 个 数 除 以 6， 余 数是 几 ？ 商 的 末 位 数 字 是 几 ？被 除 数 中 “1”的个 数 1 2 3 4 5 6 7 除 以 6后 余 数 的末 位 数 字 1 5 3 1 5 3 1 除 以 6后 商 的 末位 数 字 0 1 8 5 1 8 5 我 们 可 以 用 列 表 的 方 法 寻 求 周 期 通 过 表 格 我 们 可 以 发 现 ， 余 数 出 现 的 周 期 为 3（ 1， 5， 3） ； 第 1个 “ 1” 上 相 对 应 的 商 为 “ 0” ， 从 第 二个 “ 1” 开 始 ， 商 的 末 位 数 字 的 周 期 为 3（ 1， 8， 5）因 为 111 3=37所 以 这 个 数 除 以 6后 余 数 的末 位 数 字 是 3；因 为 (111-1) 3=362所 以 这 个 数 除 以 6后 商 的 末位 数 字 是 8例 题 有 一 个 1111位 数 ， 各 位 数 字 都 是 1， 这 个 数 除 以 6， 余数 是 几 ？ 商 的 末 位 数 字 是 几 ？余 数 出 现 的 周 期 为 3（ 1， 5， 3） ； 第 1个 “ 1” 上 相对 应 的 商 为 “ 0” ， 从 第 二 个 “ 1” 开 始 ， 商 的 末 位数 字 的 周 期 为 3（ 1， 8， 5） ，因 为 1111 3=370.1，所 以 这 个 数 除 以 6后 余 数 的 末 位 数 字 是 1；因 为 (1111-1） 3=370，所 以 这 个 数 除 以 6后 商 的 末 尾 数 字 是 5练 一 练 假 设 所 有 自 然 数 排 列 起 来 ， 如 图 所 示 ，2 7 应 该 排 在 哪 个 字 母 下 面 ？ 7 6 又 应 该 排 在哪 个 字 母 下 面 呢 ？ A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 图 表 周 期 问 题例 题 1 从 排 列 的 情 况 可 以 知 道 ，这 些 自 然 数 是 按 照 从 小到 大 的 顺 序 4 个 数 一 循环 的 。2 7 4 =6 3答 ： 2 7 应 该 排 在 C下 面 。7 6 4 =1 9 答 ： 7 6 应 该 排 在 D下 面 假 设 所 有 的 自 然 数 列 起 来 ， 如 图 所示 ， 2 0 0 应 该 排 在 哪 个 字 母 的 下 面 ？ A B C D E 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 2 0 0 / 5 =4 0答 ： 2 0 0 应 该 在 E的 下 面 。练 一 练 假 设 所 有 的 自 然 数 排 列 起 来 ， 如 图 所 示 ， 1 9 9 8应 该 在 哪 一 个 字 母 的 下 面 ？ A B C D E 1 2 3 4 8 7 6 5 9 1 0 1 1 1 2 1 6 1 5 1 4 1 3 8 个 数 为 一 个 周 期 ， 排 列 的 字 母 周 期 为（ A.B.C.D.E.D.C.B). 1 9 9 8 /8 =2 4 9 6答 ： 1 9 9 8 在 字 母 D的 下 面 。 12个 同 学 围 成 一 圈 做 传 手 绢 的 游 戏 ， 如 图 从 1号 同 学 开 始 ， 顺 时 针 传 l00次 ， 手 绢 应 在 谁 手 中 ？ 从 1号 同 学 开 始 ， 逆 时 针 传 l00次 ， 手 绢 又 在 谁 手 中 ？ 从 1号 同 学 开 始 ， 先 顺 时 针 传 l56次 ， 然 后 从 那 个 同 学 开 始逆 时 针 传 143次 ， 再 顺 时 针 传 107次 ， 最 后 手 绢 在 谁 手 中 ？例 题 2 1211 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 因 为 一 圈 有 l2 个 同 学 ， 所 以 传 一 圈 还 回到 原 来 同 学 手 中 ， 现 在 ， 从 1 号 开 始 ， 顺时 针 传 l0 0 次 ， 我 们 先 用 除 法 求 传 了 几 圈 、还 余 几 次 1 0 0 1 2 =8 (圈 )4 (次 )从 1 号 同 学 顺 时 针 传 4 次 正 好 传 到 5 号 同学 手 中 与 第 一 小 题 的 道 理 一 样 ， 先 做 除 法 100 12=8(圈 ) 4(次 )这 4次 是 逆 时 针 传 ，正 好 传 到 9号 同 学 手 中 (如 图 ) 1211 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 先 顺 时 针 传 156次 ， 然 后 逆 时 针 传 l43次 ，相 当 于 顺 时 针 传 156-143=13(次 )；再 顺 时 针 传 l07次 ， 与 13次 合 并 ， 相 当 于 顺时 针 传 13+107=120（ 次 ） ， 120 12=10(圈 ), 手 绢 又 回 到 l号 同 学 手 中 8个 队 员 围 成 一 圈 做 传 球 游 戏 ， 从 号 开 始 ， 按 顺时 针 方 向 向 下 一 个 人 传 球 在 传 球 的 同 时 ， 按 顺序 报 数 当 报 到 72时 ， 球 在 几 号 队 员 手 上 ？将 8名 队 员 看 作 一 组 ， 每 组 报 8个 数 ， 72个 数 可 以 分 成 几 组 ：72 8=9 组 ，没 有 余 数 ， 球 正 好 在 一 组 的 最后 一 位 队 员 手 中 ， 因 此 球 应 该在 8号 队 员 手 上 练 一 练 如 图 ， 电 子 跳 蚤 每 跳 一 步 ， 可 从 一 个 圆 圈 跳 到 相 邻 的圆 圈 现 在 ， 一 只 红 跳 蚤 从 标 有 数 字 的 圆 圈 按 顺 时针 方 向 跳 了 1991步 ， 落 在 一 个 圆 圈 里 一 只 黑 跳 蚤 也从 标 有 数 字 的 圆 圈 起 跳 ， 但 它 是 沿 着 逆 时 针 方 向 跳了 1949步 ， 落 在 另 一 个 圆 圈 里 问 ： 这 两 个 圆 圈 里 数字 的 乘 积 是 多 少 ？ 011 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 解 答 此 类 问 题 时 ， 只 要 能 发 现 旋 转 周 期 现 象 ， 并充 分 加 以 利 用 ， 就 能 较 快 找 到 解 题 的 关 键 本 题中 ， 不 难 看 出 这 是 一 个 与 周 期 性 有 关 的 问 题 ， 电子 跳 蚤 每 跳 12步 就 回 到 了 原 来 的 位 置 ， 如 此 循 环 ，周 期 为 12 因 为 199112=16511所 以 ， 红 跳 蚤 跳 了 1991步 后 落 到 了 标 有 数 字 11的 圆 圈 因 为 194612=1625所 以 ， 黑 跳 蚤 跳 了 1949步 后 落 到 了 标 有 数 字 7的 圆 圈 所 求 的 乘 积 是 117=77