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九 年 级 数 学 下 新 课 标 北 师 第 一 章 直 角 三 角 形 的 边 角 关 系 学 习 新 知 检 测 反 馈三 角 函 数 值 的 应 用 学 习 新 知 盘 点 1833年 以 来 重 大 海 难 2015年 6月 1日 约 21时 28分 ,一 艘 从 南 京 驶 往 重 庆的 客 船 “ 东 方 之 星 ” 号 在 长 江 中 游 沉 没 .出 事 船 舶载 客 458人 ,其 中 内 宾 406人 、 旅 行 社 随 行 工 作 人 员 5人 、 船 员 47人 .仅 14人 生 还 . 历 史 上 的 海 难 事 件 非 常 多 ,最 著 名 的 海 难 事 件 应 属 1912年 的 泰 坦 尼克 号 沉 没 ,但 实 际 上 ,遇 难 人 数 远 超 泰 坦 尼 克 号 的 遇 难 船 只 并 不 罕 见 .在这 一 统 计 所 含 的 75起 海 难 中 ,遇 难 人 数 超 过 1000人 的 共 有 18起 .随 着 时 间的 推 移 ,因 袭 击 所 致 的 海 难 逐 渐 减 少 .但 21世 纪 以 来 ,海 难 仍 时 有 发 生 ,如 :2014年 韩 国 “ 岁 月 号 ” 客 轮 ,2008年 菲 律 宾 “ 群 星 公 主 号 ” 客轮 ,2006年 埃 及 客 轮 “ 萨 拉 姆 98号 ” ,2002年 的 塞 内 加 尔 “ 乔 拉 号 ” 等 船只 遇 难 都 造 成 了 巨 大 的 人 员 伤 亡 . 如 图 所 示 ,海 中 有 一 个 小 岛 A,该 岛 四 周 10 n mile内 有 暗 礁 .今 有 货 轮 由 西 向 东 航 行 ,开 始 在 A岛 南 偏 西55 的 B处 ,往 东 行 驶 20 n mile后 到 达 该 岛 的 南 偏 西25 的 C处 .之 后 ,货 轮 继 续 往 东 航 行 .你 认 为 货 轮 继 续 向 东 航 行 途 中 会 有 触 礁 的 危 险吗 ?你 是 怎 样 想 的 ?与 同 伴 进 行 交 流 .利 用 方 向 角 解 决 实 际 问 题 解 :过 A作 BC的 垂 线 ， 交 BC于 点 D.在 Rt ABD中 ,易 知 tan 55 = ，BDAD BD=ADtan 55 .在 Rt ACD中 ,易 知 tan 25 = ，CDAD CD=ADtan 25 .设 AD=x， 则 BD=tan 55 x， CD=tan 25 x. BC=BD-CD， tan 55 x-tan 25 x=20, 20 20.79 .tan55 tan25x 海 里解 得 20.79 10, 货 轮 没 有 触 礁 的 危 险 . 利 用 仰 角 和 俯 角 解 决 实 际 问 题【 想 一 想 】 如 图 所 示 ,小 明 想 测 量 塔 CD的 高 度 .他 在 A处 仰 望 塔 顶 ,测 得 仰 角 为 30 ,再 往 塔 的 方 向 前 进 50 m至 B处 ,测 得 仰 角 为 60 ,那么 该 塔 有 多 高 ?(小 明 的 身 高 忽 略 不 计 ,结 果 精 确 到 1 m)1.在 这 个 图 中 ,仰 角 为 30 、 仰 角 为 60 分 别指 哪 两 个 角 ?2.此 题 的 示 意 图 和 “ 船 触 礁 ” 问 题 的 示 意 图 一样 吗 ?它 们 有 什 么 共 同 点 ?解 :在 Rt ACD中 ， tan 30 = ，CDACtan30CDAC 即 .在 Rt BCD中 ， tan 60 = ， 即 BC= .CDBC tan60CD 由 AB=AC-BC=50， 得 50tan30 tan60CD CD ，解 得 CD43,即 塔 CD的 高 度 约 为 43 m. 利 用 倾 斜 角 解 决 实 际 问 题【 做 一 做 】 某 商 场 准 备 改 善 原 有 楼 梯 的 安全 性 能 ,把 倾 斜 角 由 40 减 至 35 ,已 知 原 楼 梯 长为 4 m,调 整 后 的 楼 梯 会 加 长 多 少 ?楼 梯 多 占 多 长一 段 地 面 ?(结 果 精 确 到 0.01 m)解 :如 图 所 示 ,在 Rt ABC中 ,sin 40 = ， AC=4 m， AB=4sin 40 m， 原 楼 梯 占 地 长BC=4cos 40 m. ABAC调 整 后 ,在 Rt ADB中 ,sin 35 = ，则 AD= (m)， 楼 梯 占 地 长 DB= m，ABAD 4sin40sin35 sin35AB 4sin40tan35 调 整 后 楼 梯 加 长 :AD-AC= -40.48(m).楼 梯 比 原 来 多 占 地 面 :DC=DB-BC= -4cos 40 0.61(m).4sin40sin35 4sin40tan35 知 识 拓 展 形 如 “ 双 直 角 三 角 形 ” 的 图 形 的 解 题 规 律 :设 C=， ADB=， CD=a.1.非 特 殊 角 的 组 合 (和 组 合 ):AB= a.2.特 殊 角 的 组 合 (和 组 合 ): .(1)30 与 60 组 合 :AB= .(2)30 与 45 组 合 :AB= .(3)45 与 60 组 合 :AB= . tan tantan tan 32 a3 12 a3 32 a 检 测 反 馈3 33 33 31.渔 船 在 A处 看 到 灯 塔 C在 北 偏 东 60 方 向 上 ,渔 船 向 正 东方 向 航 行 了 12 n mile到 达 B处 ， 在 B处 看 到 灯 塔 C在 正 北 方向 上 ， 这 时 渔 船 与 灯 塔 C的 距 离 是 ( )A.6 n mile B.8 n mileC.2 n mile D.4 n mile解 析 :由 已 知 得 BAC=90 -60 =30 ,在 直 角 三 角 形 ABC中 ,BC=ABtan 30 =12 =4 (n mile).故 选 D.D 2.如 图 所 示 ,为 测 量 某 物 体 AB的 高 度 ,在 D点 测 得 A点 的 仰 角 为 30 ,朝 物 体 AB方 向 前 进 20 m,到 达 点 C,再 次 测 得 点 A的仰 角 为 60 ,则 物 体 AB的 高 度 为 ( )A.10 m B.10 mC.20 m D. m33 320 33解 析 : 在 直 角 三 角 形 ADB中 , D=30 ， BD= . 在 直 角 三 角 形 ABC中 , ACB=60 ， BC= . CD=20, CD=BD-BC= AB- AB=20,解 得 AB=10 .故 选 A.3tan30AB AB 333 A3tan60 3AB AB 3.长 为 4 m的 梯 子 搭 在 墙 上 与 地 面 成 45 角 ， 作 业 时 调 整 为60 角 (如 图 所 示 )， 则 梯 子 的 顶 端 沿 墙 面 升 高 了 m. 解 析 :由 题 意 知 调 整 前 梯 高 为 4sin 45 =4 (m),调 整 后 梯 高 为 4sin 60 =4 (m), 梯 子 升 高 了2( )m.故 填 2( ).2 2 22 3 2 32 3 23 2 2( 3 2) 4.如 图 所 示 ,在 小 山 的 东 侧 A点 有 一 个 热 气 球 ,由 于 受 西 风 的 影响 ,以 30 m/min的 速 度 沿 与 地 面 成 75 角 的 方 向 飞 行 ,25 min后到 达 C处 ,此 时 热 气 球 上 的 人 测 得 小 山 西 侧 B点 的 俯 角 为 30 ,则 小 山 东 西 两 侧 A,B两 点 间 的 距 离 为 m. 解 析 :过 点 A作 AD BC,垂 足 为 D,在 Rt ACD中 , ACD=75 -30 =45 ,AC=30 25=750(m), AD=ACsin 45 =375 (m).在Rt ABD中 ,易 知 B=30 , AB=2AD=750 (m).故 填 750 .2 2 2750 2 5.小 亮 一 家 在 一 湖 泊 中 游 玩 ,湖 泊 中 有 一 孤 岛 ,妈 妈 在 孤 岛 P处 观 看 小 亮 与爸 爸 在 湖 中 划 船 (如 下 左 图 所 示 ).小 船 从 P处 出 发 ,沿 北 偏 东 60 方 向 划 行200 m到 A处 ,接 着 向 正 南 方 向 划 行 一 段 时 间 到 B处 .在 B处 小 亮 观 测 到 妈 妈 所在 的 P处 在 北 偏 西 37 的 方 向 上 ,这 时 小 亮 与 妈 妈 相 距 多 远 (精 确 到 1 m)?(参考 数 据 :sin 37 0.60,cos 37 0.80,tan 37 0.75, 1.41, 1.73 )解 :过 点 P作 PC AB于 C,如 上 右 图 所 示 ,在 Rt APC中 ,AP=200 m, ACP=90 , PAC=60 , PC=200 sin 60 =200 =100 . 在 Rt PBC中 ,sin 37 = , PB= 288(m).答 :小 亮 与 妈 妈 相 距 约 288 m. 2 332PCPB100 0.730.s 6i 0n37PC
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