高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2 空间向量的运算(二) 课件 北师大版选修2-1

第二章空间向量与立体几何 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题.学习目标 知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自 主 学 习知识点一空间向量的夹角 答案a，b0， 答案 知识点二空间向量的数量积(1)定义已知两个非零向量a，b，则 叫做a，b的数量积，记作 .(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(a)b(ab)交换律abba分配律a(bc)abacab |a|b|cosa，b 返回 (3)数量积的性质 题型探究 重 点 突 破题型一空间向量的数量积运算例1 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算： 解析答案 解析答案 解析答案反思与感悟由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和a，b，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使ab计算准确.反思与感悟 解析答案 跟踪训练1已知空间向量a，b，c满足abc0，|a|3，|b|1，|c|4，则abbcca的值为 .解析 abc0， (abc)20， a2b2c22(abbcca)0，13 解析答案 题型二利用数量积求夹角例2如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5， OAC45， OAB60，求OA与BC所成角的余弦值. 反思与感悟 反思与感悟 反思与感悟利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：(1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；(2)将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；(3)利用向量的数量积求角的大小；(4)证明两向量垂直可转化为数量积为零. 解析答案 跟踪训练2 如图所示，正四面体ABCD的每条棱长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN AB，MN CD. 解析答案 题型三利用数量积求距离例3正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，求EF的长. 反思与感悟 且a，b60，a，cb，c90. 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a| 求解即可.反思与感悟 解析答案返回 跟踪训练3如图，已知一个60的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段.又知AB4，AC6，BD8，求CD的长. 返回 当堂检测 解析答案 1.若a，b均为非零向量，则ab|a|b|是a与b共线的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件解析ab|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b1a，b0，当a与b反向时，不能成立. A 解析答案 2.已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|等于()A解析 |a3b|2(a3b)2a26ab9b2 解析答案 3.对于向量a、b、c和实数，下列命题中的真命题是()A.若ab0，则a0或b0B.若a0，则0或a0C.若a2b2，则ab或abD.若abac，则bc解析对于A，可举反例：当a b时，ab0；对于C，a2b2，只能推得|a|b|，而不能推出ab；对于D，abac可以移项整理得a(bc)0. B 解析答案 A.1 B.2 C.3 D.5解析|ab|2(ab)2a22abb210，|ab|2(ab)2a22abb26，将上面两式左、右两边分别相减，得4ab4， ab1. A 解析答案 5.若向量a，b满足：|a|1，(ab) a，(2ab) b，则|b|等于()将2得，2a2b20， b2|b|22a22|a|22，B 课堂小结求空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用数量积求两异面直线所成的角，关键在于在异面直线上构造向量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为证明两个向量的数量积为零，求线段长度转化为求向量的模. 返回