高中数学 第二章 推理与证明 2_2_2 反证法课件 新人教A版选修1-2

2.2.2反证法 自主学习新知突破 1了解间接证明的一种基本方法反证法2了解反证法的思考过程、特点3理解反证法的推理过程，证明步骤，体会直接证明与间接证明的区别与联系 1思考：A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎则C必定是在撒谎，为什么？ 提示假设C没有撒谎， 则C真. 那么A假且B假；由A假，知B真这与B假矛盾那么假设C没有撒谎不成立，则C必定是在撒谎 2已知正整数a，b，c满足a2b2c2 ，求证：a，b，c不可能都是奇数问题1你能利用综合法和分析法证明该问题吗？提示1不能问题2a，b，c不可能都是奇数的反面是什么？提示2都是奇数 假设原命题_，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明_，从而证明了_，这种证明方法叫作反证法反证法的定义不成立假设错误原命题成立 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与_矛盾，或与_矛盾，或与_矛盾等反证法常见的矛盾类型已知条件假设定义、公理、定理、事实 反证法的实质及注意事项：(1)反证法的实质反证法不直接证明命题，而是从原命题的反面入手，合乎逻辑地推出一个矛盾结果，由于两个相互矛盾的判断必有一真一假，由此肯定命题“若p则q”为真(2)注意事项用反证法证明问题的第一步是“反设”，这一步一定要准确，否则后面的过程毫无意义反证法的“归谬”要合理 1应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()结论的否定；已知条件；公理、定理、定义等；原结论ABCD解析：根据反证法的定义，推导过程中，不能把原结论作为条件使用，其他都可以答案：C 2用反证法证明：“若a，b两数之积为0，则a，b至少有一个为0”，应假设()Aa，b没有一个为0 Ba，b只有一个为0Ca，b至多有一个为0 Da，b两个都为0解析：“至少有一个”的反设是“一个也没有”，故应假设a，b没有一个为0.答案：A 3用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤： A B C9090 C180，这与三角形内角和为180矛盾，故假设错误所以一个三角形不能有两个直角假设ABC中有两个直角，不妨设 A90， B90.上述步骤的正确顺序为_解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为.答案： 4已知abc0，求证：abbcca0.证明：假设abbcca0，因为a2b2c20，则(a2b2c2)2(abbcca)0.所以(abc)20，即abc0，这与abc0矛盾，所以假设不成立，故abbcca0. 合作探究课堂互动 用反证法证明否(肯)定式命题平面上有四个点，假设无三点共线，证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形 1.结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法2用反证法证明问题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾(3)从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 1用反证法证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半 “至多”、“至少”型命题已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由yax22bxc，ybx22cxa和ycx22axb确定的三条抛物线中至少有一条与x轴有两个不同的交点 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点. 2分由yax22bxc，ybx22cxa，ycx22axb，得1(2b)24ac0，且2(2c)24ab0，且3(2a)24bc0. 5分 同向不等式求和得：4b24c24a24ac4ab4bc0 7分2a22b22c22ab2bc2ac0 8分(ab)2(bc)2(ac)20 9分abc 10分这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证. 12分 1.当命题出现“至多”“至少”等形式时，适合用反证法2常见的“结论词”与“反设词”原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有n1个至少有n1个 原结论词只有一个对所有x成立对任意x不成立反设词没有或至少有两个存在某个x不成立存在某个x成立原结论词都是是p或q p且q反设词不都是不是綈 p且綈 q 綈 p或綈 q 用反证法证明唯一性问题已知a与b是异面直线求证：过a且平行于b的平面只有一个 思路点拨这是一个唯一性问题，直接证明较困难，宜用反证法 如图，假设过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别为和，在直线a上取点A，过b和A确定一个平面，且与，分别交于过点A的直线c，d，由b，知bc，同理bd，故cd，这与c，d相交于点A矛盾，故假设不成立，原结论成立 用反证法证明唯一性命题的适用类型：(1)当证明结论是以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，所以用反证法证明唯一性就非常简单明了(2)用反证法证题时，一定要处理好推出矛盾这一步骤，因为反证法的核心就是从求证的结论反面出发，导出矛盾的结果，因此如何导出矛盾，就成为了关键所在，对于证题步骤，绝不可死记，而要具有全面扎实的基础知识，灵活运用特别提醒：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个问题，即存在性问题和唯一性问题 3已知两条相交直线a，b，求证：直线a，b有且只有一个交点证明：假设结论不成立，即有两种可能：无交点；至少有两个交点(1)若直线a，b无交点，那么ab或a，b是异面直线，与已知矛盾；(2)若直线a，b至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾综上所述，两条相交直线a，b有且只有一个交点 用反证法证明命题“a，b为整数，若ab不是偶数，则a，b都不是偶数”时，应假设为_【错解】a，b不都是偶数 【错因】应用反证法时，假设错误a，b不都是偶数包括的情况有：a是偶数，b是奇数；a是奇数，b是偶数；a是奇数，b是奇数注意否定的结论是不是结论的对立面：“a，b都不是偶数”指“a，b都是奇数”，它的反面是“a，b不都是奇数”【正解】a，b不都是奇数