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第 二 章 推理与证明 2.1合情推理与演绎推理2.1.1 合 情 推 理 自主学习新知突破 1了解归纳推理的含义与特点，掌握归纳推理的一般步骤，能利用归纳推理解决一些简单问题2了解类比推理的含义与特点，掌握类比推理的一般步骤，能利用类比推理解决一些简单问题3了解合情推理的含义以及合情推理在数学发现中的作用 问题1我们熟知的三国演义第34回草船借箭中诸葛亮“先生”的推理过程是怎样的呢？ 问题2蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的，蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的吗？ 提示2是所有的爬行动物都是用肺呼吸的 问题3观察下图 由平面内的圆，我们联想到空间里的球，让它们来类比你能找到它们有哪些类似的特征？提示3鲁班类比草叶的边缘发明了锯，平面中的圆与空间中的球有类似的特征 归纳推理和类比推理归纳推理类比推理定义由某类事物的_具有某些特征，推出该类事物的_都具有这些特征的推理，或者由_概括出_的推理，称为归纳推理(简称归纳)由两类对象具有某些_特征和其中一类对象的某些_，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理(简称类比)特征归纳推理是由_、由_的推理类比推理是由_的推理部分对象全部对象个别事实一般结论类似已知特征部分到整体个别到一般特殊到特殊 合情推理观察 分析 比较联想归纳 类比 猜想 1归纳推理的特点和一般步骤：(1)归纳推理(简称归纳)有以下特点：归纳是依据特殊现象推出一般现象，因而，由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；归纳是依据若干已知的，没有穷尽的现象推断尚属未知的现象，因而，由归纳所得的结论具有猜测的性质；归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础上的 (2)归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就可能为真 2类比推理的特点(1)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠(2)类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能，类比在数学发现中具有重要作用，但必须明确，类比并不等于论证(3)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征 3类比推理的一般步骤 1把1,3,6,10,15,21，这些数叫作三角形数，如图所示，则第七个三角形数是()A27B28C29 D30 3在平面上，若两个正三角形的边长的比为1 2，则它们的面积比为1 4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1 2，则它们的体积比为_解析：由题意知，在平面上，两个正三角形的面积比是边长比的平方由类比推理知：体积比是棱长比的立方即可得它们的体积比为18.答案：1 8 合作探究课堂互动 图形中的归纳推理如图所示，在圆内画一条线段，将圆分成两部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段，将圆最多分割成4部分；画三条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画四条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分 (1)在圆内画5条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？(2)猜想：在圆内画n(n2)条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？ 思路点拨每增加一条线段，与前面的每条线段最多产生1个交点，而新增加的第n条线段最多与前面的n1条线段产生n1个交点，则这n1个点把第n条线段分为n段每段把所在区域一分为二，共增加了n块区域且这n1个点把这些点所在的线段一分为二，又增加了n1条线段，这样就有：区域增加了n块，线段增加了n(n1)2n1条 设在圆内画n条线段，彼此最多分割成的线段为f(n)条，将圆最多分割成g(n)部分(1)当n5时，f(5)f(4)45164525，g(5)g(4)511516.(2)猜想：在圆内画n(n2)条线段，彼此最多分割成f(n)n2条线段g(1)2g(2)g(1)2g(3)g(2)3g(4)g(3)4 图形中的归纳推理的特点及思路1此类题目的特点：由一组平面或空间图形，归纳猜想其数量的变化规律，这类题颇有智力趣题的味道，解答时常用归纳推理的方法解决，分析时要注意规律的寻找2解决这类问题从哪入手：(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样变化 1有两种颜色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有花纹的正六边形的个数是()A26B31C32D36 解析：方法一：有花纹的正六边形个数如下表：由表可以看出有花纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有花纹的正六边形的个数是65(61)31.故选B.图案1 2 3个数6 11 16 方法二：由图案的排列规律可知，除第一个无纹正六边形需6个有花纹的正六边形围绕(第一个图案)外，每增加一个无纹正六边形，只需增加5个有花纹正六边形(每两个相邻的无纹正六边形之间有一个“公共”的有花纹正六边形)，第六个图案中有花纹的正六边形的个数为65(61)31.故选B.答案：B 数列中的归纳推理 思路点拨 归纳推理的步骤在数列中，常用归纳推理猜测通项公式或前n项和公式，归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) 类比推理三角形与四面体有下列共同的性质：(1)三角形是平面内由线段所围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形(2)三角形可以看做平面上一条线段外一点与这条直线段上的各点连线所形成的图形；四面体可以看做三角形外一点与这个三角形上各点连线所形成的图形 通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表： 思路点拨已知三角形和四面体的“外在”性质，合理寻找类比对象对二者的“内在”性质进行探究 解析：三角形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应四面体的面，即平面的线类比空间的面；三角形的中位线对应四面体的中位面，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球具体见下表： 类比推理的步骤运用类比推理必须寻找合适的类比对象，充分挖掘事物的本质及内在联系在应用类比推理时，其一般步骤为：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想(3)检验这个猜想 (3)四面体的六个二面角的平分面交于一点其中类比推理方法正确的有()A(1) B(1)(2)C(1)(2)(3) D都不对解析：以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确答案：C 如图，在三棱锥SABC中，平面SAB，平面SAC，平面SBC与底面ABC所成角分别为1，2，3，三条侧棱SC，SB，SA与底面ABC所成的角为1，2，3，三侧面SAB，SAC，SBC的面积分别为S1，S2，S3.类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想 【错因】平面几何中的角是由两条射线组成的，在立体几何中，与之相类比的应该是由两个平面组成的角，即二面角因此，错解中类比对象不正确平面中的线与立体图形中的面相类比，平面中的角一般与立体图形中的二面角相类比
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