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本章整合 专题专题数学归纳法证题的常用技巧在 使 用 数 学 归 纳 法 证 明 时 ,一 般 说 来 ,第 一 步 ,验 证 比 较 简 明 ,而 第二 步 归 纳 步 骤 情 况 较 复 杂 .因 此 ,熟 悉 归 纳 步 骤 的 证 明 方 法 是 十 分重 要 的 ,其 实 归 纳 步 骤 可 以 看 作 是 一 个 独 立 的 证 明 问 题 ,归 纳 假 设“P(k)”是 问 题 的 条 件 ,而 命 题 P(k+1)成 立 就 是 所 要 证 明 的 结 论 ,因 此 ,合 理 运 用 归 纳 假 设 这 一 条 件 就 成 了 归 纳 步 骤 中 的 关 键 ,下 面 简 要 分析 一 些 常 用 技 巧 .1.分析综合法用 数 学 归 纳 假 设 证 明 关 于 自 然 数 n的 不 等 式 ,从 “P(k)”到 “P(k+1)”,常 常 可 用 分 析 综 合 法 . 专题 专题 专题 专题2(ak+1+bk+1) (a+b)(ak+bk)2(ak+1+bk+1)-(ak+1+abk+bak+bk+1) 0ak+1-abk-bak+bk+1 0(a-b)(ak-bk) 0.因为a-b与(a k-bk)同正负(或同时为0),所以最后一个不等式显然成立,即当n=k+1时,不等式成立. 专题2.放缩法涉 及 关 于 正 整 数 n的 不 等 式 ,从 “k”过 渡 到 “k+1”,有 时 也 考 虑 用 放缩 法 . 专题 专题3.递推法用 数 学 归 纳 法 证 明 与 数 列 有 关 的 问 题 时 ,有 时 要 利 用 an与 an+1的关 系 ,实 现 从 “k”到 “k+1”的 过 渡 . 专题即当n=k+1时,原不等式也成立.根据(1)(2)可知,当n N *时,原不等式都成立. 专题4.构造配凑法用 数 学 归 纳 法 证 明 关 于 正 整 数 的 命 题 (尤 其 是 整 除 )时 ,从 “k”过 渡到 “k+1”常 常 用 构 造 配 凑 法 .应用5求 证 :62n+3n+2+3n是 11的 倍 数 (n N*).证明:(1)当n=1时,62 1+31+2+31=66,是11的倍数.(2)假设当n=k(k N*,且k 1)时,命题成立,即62k+3k+2+3k是11的倍数.则当n=k+1时,6 2(k+1)+3k+3+3k+1=62k+2+3k+3+3k+1=3662k+33k+2+33k=3362k+362k+33k+2+33k=3362k+3(62k+3k+2+3k).由假设可知3(62k+3k+2+3k)是11的倍数,而3362k也是11的倍数,故n=k+1时,原命题也成立.根据(1)(2)可知,对任意n N*原命题成立. 专题5.几何法“几 何 类 ”命 题 的 证 题 关 键 是 先 要 从 证 明 当 n=k+1时 命 题 成 立 的结 论 中 ,分 解 出 当 n=k时 命 题 成 立 的 部 分 ,然 后 去 证 余 下 的 部 分 .应用6在 同 一 平 面 内 有 n条 直 线 ,每 两 条 不 平 行 ,任 意 三 条 不 共 点 ,求 证 :它 们 将 此 平 面 分 专题 (湖北高考)(1)已 知 函 数 f(x)=rx-xr+(1-r)(x0),其 中 r为 有 理 数 ,且0r1,求 f(x)的 最 小 值 ;(2)试 用 (1)的 结 果 证 明 如 下 命 题 :设 a1 0,a2 0,b1,b2为 正 有 理 数 ,若 b1+b2=1,则 a1b1+a2b2;(3)请 将 (2)中 的 命 题 推 广 到 一 般 形 式 ,并 用 数 学 归 纳 法 证 明 你 所推 广 的 命 题 .注 :当 为 正 有 理 数 时 ,有 求 导 公 式 (x)=x-1.解:(1)f(x)=r-rx r-1=r(1-xr-1),令f(x)=0,解得x=1.当0 x1时,f(x)1时,f(x)0,所以f(x)在(1,+)内是增函数.故函数f(x)在x=1处取得最小值f(1)=0. ( )假设当n=k时,成立,即若a1,a2,ak为非负实数,b1,b2,bk为正有理数, 又(1-bk+1)+bk+1=1,由得 bk+1)+ak+1bk+1=a1b1+a2b2+akbk+ak+1bk+1,故当n=k+1时,成立.根据( )( )可知,对一切正整数n,所推广的命题成立.说明:(3)中如果推广形式中指出式对n 2成立,则后续证明中不需讨论n=1的情况.
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