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2 .3 .2平面向量的正交分解及坐标表示 2 .3 .3 平面向量的坐标运算 读 教 材 填 要 点 1平面向量的正交分解 把一个向量分解成两个 的向量，叫做把向量正交分解 2平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示： 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个 i,j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得a ，则把有序数对 叫做向量a的坐标记作 ，此式叫做向量的坐标表示 (2)在直角坐标平面中，i ，j ，0 互相垂直向量(x，y) xiyja(x，y)(1,0) (0,1) (0,0)单位 3平面向量的坐标运算向量的加、减法若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab ，ab 即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量 的和(差)实数与向量的积若a(x，y)，R，则a ，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的向量的坐标已知向量 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则 ，即向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标(x1x2，y1y2) (x1x2，y1y2)相应坐标(x，y)相应坐标(x 2x1，y2y1)ABAB 小 问 题 大 思 维 1与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？ 提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a(x,0)；与y轴平行的向量的横坐标为0，即b(0，y) 2已知向量 (1，2)，M点的坐标与 的坐标有什么关系？ 提示：坐标相同但写法不同； (1，2)，而M(1，2) OM OMOM 3在基底确定的条件下，给定一个向量它的坐标是唯一的一对实数，给定一对实数，它表示的向量是否唯一？ 提示：不唯一，以这对实数为坐标的向量有无穷多个，这些向量都是相等向量 4向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？ 提示：不发生变化.向量确定以后，它的坐标就被唯一确定，所以向量在平移前后，其坐标不变 研 一 题 悟 一 法 向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系因此，求向量a的坐标，关键是正确求出其起点和终点的坐标 通 一 类 研 一 题 悟 一 法 1向量的几种运算体系： (1)向量有三种运算体系，即几何表示下的图形上的几何运算，字母表示下的运算和坐标表示下的代数运算 (2)几何表示下的几何运算应注意三角形法则、平行四边形法则；字母表示时，注意运算律的应用；坐标运算时要牢记公式，细心计算 2向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则 通 一 类 答案：B 研 一 题 保持例题条件不变，问t为何值时，B为线段AP的中点？ 悟 一 法 1如果两个向量是相等向量，那么它们的坐标一定对应相等当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与表示向量的有向线段终点的坐标相同 2证明一个四边形为平行四边形，可证明该四边形的一组对边所对应的向量相等 通 一 类 3已知向量u(x，y)和向量v(y,2yx)的对应关系用vf(u)表示(1)若a(1,1)，b(1,0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标(2)求使f(c)(4,5)的向量c的坐标解：(1)由vf(u)可得当u(x，y)时，有v(y,2yx)f(u)，从而f(a)(1,211)(1,1)，f(b)(0,201)(0，1) 若向量|a|b|1，且ab(1,0)，求a与b的坐标 点评法一利用模的概念和向量的坐标运算，通过解方程组来求解，思路自然严谨；法二利用了“三角换元”，借助三角公式简化了运算；法三利用了数形结合，解法直观，简洁明了
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