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2.2 对 数 函 数2.2.1 对 数 与 对 数 运 算第 1课 时 对 数 【 自 主 预 习 】主 题 1： 对 数 的 概 念 及 指 数 式 与 对 数 式 的 互 化某 种 细 胞 分 裂 时 ， 由 1个 分 裂 成 2个 ， 2个 分 裂 成 4个 以 此 类 推 .回 答 下 列 问 题 ： (1)1个 这 样 的 细 胞 分 裂 2次 得 到 多 少 个 细 胞 ？ 分 裂 x次得 到 多 少 个 细 胞 ？提 示 ： 分 裂 2次 得 到 4个 细 胞 ， 分 裂 x次 得 到 2x个 细 胞 . (2)分 裂 多 少 次 可 得 到 8个 ， 16个 呢 ？ 如 何 求 解 ？提 示 ： 设 分 裂 x次 可 得 到 8个 ， 即 2x=8=23， 故 x=3， 所以 分 裂 3次 可 得 到 8个 ， 同 理 由 2x=16可 得 x=4 (3)若 ax=N， 如 何 表 示 x呢 ？文 字 语 言 描 述 ： x等 于 以 _. 符 号 语 言 描 述 ： _.a为 底 N的 对 数x=logaN 对 数 的 定 义 ： _.其 中 ： a叫 做 _；N叫 做 _.以 10为 底 的 对 数 叫 做 _， 并 把 log10N记 为 _，以 e为 底 的 对 数 叫 做 _， 并 把 log eN记 为 _.如 果 ax=N(a0， a 1)， 那 么 数 x叫 做 以a为 底 N的 对 数 ， 记 作 x=logaN对 数 的 底 数真 数 常 用 对 数 lgN自 然 对 数 lnN 主 题 2： 对 数 的 性 质 及 对 数 恒 等 式1.是 不 是 所 有 的 实 数 都 有 对 数 ？ 为 什 么 ？提 示 ： 零 和 负 数 没 有 对 数 ， 因 为 ax=N(a0且 a 1)中 无论 x取 什 么 值 ， N总 大 于 0， 故 零 和 负 数 无 对 数 . 2.根 据 对 数 的 定 义 以 及 对 数 与 指 数 的 关 系 ， 你 能 求 出loga1及 logaa的 值 吗 ？提 示 ： 设 loga1=x， 则 ax=1=a0， 故 x=0， 即 loga1=0， 同理 logaa=1. 3.根 据 对 数 的 定 义 ， 你 能 推 出 对 数 恒 等 式吗 ？提 示 ： 因 为 ax=N,x=logaN,所 以 alog Na Nalog Na N. 根 据 以 上 探 究 ， 试 着 写 出 对 数 的 性 质 及 对 数 恒 等 式 ：零 负 数 0 loga1=01 logaa=1N 【 深 度 思 考 】结 合 教 材 P63例 1， 你 认 为 指 数 式 与 对 数 式 的 互 化 应 分哪 几 步 ？第 一 步 ： _.第 二 步 ： _. 将 指 (对 )数 式 写 成 规 范 形 式依 对 数 的 定 义 实 现 互 化 【 预 习 小 测 】1.将 化 为 对 数 式 正 确 的 是 ( )【 解 析 】 选 B.由 对 数 的 定 义 知 ， 若 则31 1( )2 81 12 21 38 1 1A.log 3 B.log 38 81 1 1C.log 3 D.log2 2 8 31 1( ) ,2 8 12 1log 3.8 2.loge1= ( )A.1 B.0 C.2 D.-1【 解 析 】 选 B.设 loge1=x， 则 ex=1=e0， 故 x=0. 3.已 知 logx16=2， 则 x= ( )A.4 B. 4 C.256 D.2【 解 析 】 选 A.因 为 logx16=2， 所 以 x2=16(x0)， 故 x=4. 4. =_.【 解 析 】 由 对 数 恒 等 式 知 ，答 案 ： 24log 24 4log 24 2. 5.将 下 列 指 数 式 化 为 对 数 式 ， 对 数 式 化 为 指 数 式 .(1)102=100. (2)ln a=b.(3)73=343. (4)【 解 析 】 (1)102=100lg 100=2.(2)ln a=beb=a.(3)73=343log7343=3.(4)6 1log 2.36 26 1 1log 2 6 .36 36 6.先 将 下 列 式 子 改 写 成 指 数 式 ， 再 求 各 式 中 x的 值 ：(1)log2x= (2)logx3= (仿 照 教 材 P63例 2的 解 析过 程 )【 解 析 】 (1)因 为 log2x= 所 以(2)因 为 所 以所 以 2.5 1.32,5 25 51x 2 .4 x 1log 3 ,3 13x 3, 3 1x 3 .27 【 互 动 探 究 】1.任 何 一 个 指 数 式 都 可 以 化 成 对 数 式 吗 ？提 示 ： 不 是 ， 如 (-2)3=-8， 不 能 写 为 log(-2)(-8)=3. 2.在 对 数 的 定 义 中 为 什 么 不 能 取 a 0及 a=1呢 ？提 示 ： a 0， N取 某 些 值 时 ， logaN不 存 在 ， 如 根 据指 数 的 运 算 性 质 可 知 ， 不 存 在 实 数 x使 成 立 ，所 以 不 存 在 ， 所 以 a不 能 小 于 0. x1( ) 22 1( )2log 2 a=0， N 0时 ， 不 存 在 实 数 x使 ax=N,无 法 定 义 logaN；N=0时 ， 任 意 非 零 实 数 x,有 ax=N成 立 ， logaN不 确定 . a=1， N 1时 ,logaN不 存 在 ;N=1,loga1有 无 数 个值 ， 不 能 确 定 . 3.用 (a 0,且 a 1,N 0)化 简 求 值 的 关 键 是 什么 ？提 示 ： 用 (a 0,且 a 1,N 0)化 简 求 值 的 关 键是 凑 准 公 式 的 结 构 ， 尤 其 是 对 数 的 底 数 和 幂 底 数 要一 致 ， 为 此 要 灵 活 应 用 幂 的 运 算 性 质 .alog Na alog Na 【 探 究 总 结 】知 识 归 纳 ： 方 法 总 结 ：(1)根 据 对 数 的 概 念 进 行 指 数 式 与 对 数 式 的 互 化 .(2)利 用 对 数 的 性 质 及 对 数 恒 等 式 进 行 对 数 式 的 化 简 与求 值 . 【 题 型 探 究 】类 型 一 ： 指 数 式 与 对 数 式 的 互 化【 典 例 1】 将 下 列 指 数 式 化 为 对 数 式 ， 对 数 式 化 为指 数 式 ：(1)2-7= (2)3a=27.(3)(4)lg 0.001=-3.【 解 题 指 南 】 利 用 ax=Nx=logaN进 行 互 化 .1 .128 12log 32 5. 【 解 析 】 (1)因 为 2-7= 所 以(2)因 为 3a=27， 所 以 log327=a.(3)因 为 所 以(4)因 为 lg 0.001=-3， 所 以 10-3=0.001.1128， 2 1log 7.12812log 32 5， 51( ) 32.2 【 规 律 总 结 】 指 数 式 与 对 数 式 互 化 的 方 法 及 应 注 意 的问 题(1)方 法 ： 若 是 指 数 式 化 为 对 数 式 ， 只 要 将 幂 作 为 真 数 ，指 数 当 成 对 数 值 ， 而 底 数 不 变 即 可 ； 若 是 对 数 式 化 为指 数 式 ， 则 正 好 相 反 . (2)注 意 问 题 ： 利 用 对 数 式 与 指 数 式 间 的 互 化 公 式 互 化 时 ， 要 注 意字 母 的 位 置 改 变 ； 对 数 式 的 书 写 要 规 范 ： 底 数 a要 写 在 符 号 “ log” 的右 下 角 ， 真 数 正 常 表 示 . 【 巩 固 训 练 】 将 下 列 各 等 式 化 为 相 应 的 对 数 式 或 者 指数 式 .(1) (2)ln 2=x.【 解 析 】 (1)10-3=(2)ln 2=xex=2.3 110 .1 000 1 1lg 3.1 000 1 000 【 巩 固 训 练 】 把 下 列 各 等 式 化 为 相 应 的 指 数 式 或 对数 式 .(1)lg 0.01=-2.(2)3-4=【 解 析 】 (1)lg 0.01=-210-2=0.01.(2)3-4= 1 .8131 1log 4.81 81 类 型 二 :对 数 的 计 算【 典 例 2】 求 下 列 各 式 中 的 x值 .(1)logx27= (2)log2x=(3)x= (4)x=【 解 题 指 南 】 将 所 给 的 对 数 式 化 为 指 数 式 ， 然 后 借 助指 数 的 运 算 性 质 求 解 .3.2 2.327 1log .9 12log 16. 【 解 析 】 (1)因 为 logx27= 所 以 即=32=9.(2)因 为 log2x= 所 以 即(3)因 为 所 以 即 33x=3-2， 所 以(4)因 为 所 以 所 以 2-x=24， 所 以 x=-4.3,2 32x 27 ， 23x 2723 ， 232 x ， 2 331 1x .42 27 1x log 9 ， x 127 9 ， 2x .312x log 16 ， x1( ) 162 ， 【 规 律 总 结 】 求 对 数 值 的 三 个 步 骤(1)设 ： 设 出 所 求 对 数 值 .(2)化 ： 把 对 数 式 转 化 为 指 数 式 .(3)解 ： 解 有 关 方 程 ， 求 得 结 果 . 【 巩 固 训 练 】 1.求 下 列 各 式 中 x的 值 .(1) =x.(2)-ln e2=x.【 解 析 】 (1)因 为 =x,所 以 所 以x=4.(2)因 为 -ln e2=x,所 以 ln e2=-x,即 e-x=e2,所 以 -x=2,即 x=-2.3log 9 3log 9 x 4( 3) 9 ( 3) , 2.若 =x， 求 x的 值 .【 解 析 】 因 为 =x,所 以即 所 以 x=16. 43log 81 43log 81 x4( 3) 81 ，x 443 81 3 ， 类 型 三 :对 数 的 性 质 及 对 数 恒 等 式【 典 例 3】 (2016 广 州 高 一 检 测 )已 知 log5(log3(log2a)=0,计 算 的 值 .【 解 题 指 南 】 利 用 已 知 条 件 及 对 数 的 性 质 ， 先 求 出 a的值 ， 然 后 借 助 对 数 恒 等 式 即 可 求 出 原 式 的 值 .6log a36 【 解 析 】 因 为 log5(log3(log2a)=0,所 以 log3(log2a)=1,即 log2a=3.所 以 a=23=8.所 以 原 式=a2=64. 26 6log a log a2(6 ) 6 【 延 伸 探 究 】1.(改 变 问 法 )本 例 条 件 不 变 ， 试 求 的 值 .【 解 析 】 由 条 件 知 a=8,原 式 =8 36=288. a1 log 36a8 81 log 36 log 368 8 8 2.(变 换 条 件 )已 知 试 求 的 值 .【 解 析 】 因 为 所 以所 以 原 式 = 12log a 3, 36log a3612log a 3, 31 1a ( ) ,2 8 1a .8 3.(改 变 问 法 )本 例 条 件 不 变 ， 试 求 的 值 .【 解 析 】 由 例 可 知 a=8,所 以 原 式 a blog b log aa a b blog b log a log a(a ) b a 8. 【 规 律 总 结 】1.利 用 对 数 性 质 求 解 的 两 类 问 题 的 解 题 方 法(1)求 多 重 对 数 式 的 值 解 题 方 法 是 由 内 到 外 ， 如 求loga(logbc)的 值 ， 先 求 logbc的 值 ， 再 求 loga(logbc)的 值 .(2)已 知 多 重 对 数 式 的 值 ， 求 变 量 值 ， 应 从 外 到 内 求 ，逐 步 脱 去 “ log” 后 再 求 解 . 2.性 质 与 logaab=b的 作 用(1) 的 作 用 在 于 能 把 任 意 一 个 正 实 数 转 化 为 以a为 底 的 指 数 形 式 .(2)性 质 logaab=b的 作 用 在 于 把 任 意 一 个 实 数 转 化 为 以a为 底 的 对 数 形 式 .alog Na Nalog Na N 【 巩 固 训 练 】 计 算【 解 析 】 原 式 = 3log 5 2 21( ) log log 2 .3 3 3log 5 log 5 1 12 13 log 1 (3 ) 0 5 .5
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