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第 三 讲 分 类 讨 论 思 想 【 思 想 解 读 】分 类 讨 论 的 思 想 是 当 问 题 的 对 象 不 能 进 行 统 一 研 究 时 ,就 需 要 对 研 究 的 对 象 按 某 个 标 准 进 行 分 类 ,然 后 对 每 一类 分 别 研 究 ,给 出 每 一 类 的 结 论 ,最 终 综 合 各 类 结 果 得到 整 个 问 题 的 解 答 .实 质 上 分 类 讨 论 就 是 “ 化 整 为 零 ,各 个 击 破 ,再 集 零 为 整 ” 的 数 学 思 想 . 热 点 1 由 数 学 概 念 、 性 质 、 运 算 引 起 的 分 类 讨 论【 典 例 1】 函 数 f(x)= 若 f(1)+f(a)=2，则 a的 所 有 可 能 值 为 _.【 解 析 】 f(1)=e0=1， 即 f(1)=1.由 f(1)+f(a)=2， 得 f(a)=1.当 a 0时 ， f(a)=1=ea-1， 所 以 a=1.2x 1sin( x ) 1 x 0e x 0. ， ， 当 -1a0时 ， f(a)=sin( a2)=1，所 以 a2=2k + (k Z).所 以 a2=2k+ (k Z)， k只 能 取 0， 此 时 a2= ，因 为 -1a|PF2|,则 的 值 为 _.2 2x y9 412PFPF 【 解 析 】 若 PF2F1=90 .则 |PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,又 因 为 |PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2 ,解 得 |PF1|= ,|PF2|= ,所 以 54314312PF 7.PF 2 若 F1PF2=90 ,则 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,所 以 |PF1|2+(6-|PF1|)2=20,所 以 |PF1|=4,|PF2|=2,所 以 =2.12PFPF 综 上 知 , 或 2.答 案 : 或 212PF 7PF 272 【 规 律 方 法 】 图 形 位 置 或 形 状 的 变 化 中 常 见 的 分 类圆 锥 曲 线 形 状 不 确 定 时 ,常 按 椭 圆 、 双 曲 线 来 分 类 讨 论 ,求 圆 锥 曲 线 的 方 程 时 ,常 按 焦 点 的 位 置 不 同 来 分 类 讨 论 ;相 关 计 算 中 ,涉 及 图 形 问 题 时 ,也 常 按 图 形 的 位 置 不 同 、大 小 差 异 等 来 分 类 讨 论 . 【 变 式 训 练 】1.若 函 数 f(x)=-x(x-a)在 x -1,1上 的 最 大 值 为 4,则a的 值 为 _. 【 解 析 】 函 数 f(x)= 的 图 象 的 对 称 轴 为 x= ,应 分 1,即 a2三 种 情 形 讨 论 .22a ax )2 4 ( a2a2 a2 a2 当 a2时 ,由 图 (3)可 知 f(x)在 -1,1上 的 最 大 值 为f(1)=a-1,由 a-1=4,得 a=5,满 足 题 意 .综 上 可 知 ,a=5或 -5.答 案 :5或 -5 2.设 圆 锥 曲 线 T的 两 个 焦 点 分 别 为 F1,F2,若 曲 线 T上 存在 点 P满 足 |PF1| |F1F2| |PF2|=4 3 2,则 曲 线 T的离 心 率 为 _. 【 解 析 】 不 妨 设 |PF1|=4t,|F1F2|=3t,|PF2|=2t,若 该 圆 锥 曲 线 为 椭 圆 ,则 有 |PF1|+|PF2|=6t=2a3t,|F1F2|=3t=2c,e= 若 该 圆 锥 曲 线 是 双 曲 线 ,则 有 |PF1|-|PF2|=2t=2a0时 ,令 g (x)0时 ,g(x)的 单 调 递 减 区 间 是 ( 2m)( 2m ) ， ， ， 【 规 律 方 法 】1.几 种 常 见 的 由 参 数 变 化 引 起 的 分 类 讨 论(1)含 有 参 数 的 不 等 式 的 求 解 .(2)含 有 参 数 的 方 程 的 求 解 .(3)对 于 解 析 式 系 数 是 参 数 的 函 数 ,求 最 值 与 单 调 性 问题 .(4)二 元 二 次 方 程 表 示 曲 线 类 型 的 判 定 等 . 2.利 用 分 类 讨 论 思 想 的 注 意 点(1)分 类 讨 论 要 标 准 统 一 ,层 次 分 明 ,分 类 要 做 到 “ 不 重不 漏 ” .(2)分 类 讨 论 时 要 根 据 题 设 条 件 确 定 讨 论 的 级 别 ,再 确定 每 级 讨 论 的 对 象 与 标 准 ,每 级 讨 论 中 所 分 类 别 应 做 到与 前 面 所 述 不 重 不 漏 . (3)讨 论 结 果 归 类 合 并 ,最 后 整 合 时 要 注 意 是 取 交 集 、并 集 ,还 是 既 不 取 交 集 也 不 取 并 集 只 是 分 条 列 出 . 【 变 式 训 练 】 设 函 数 f(x)=x2-ax+b， 讨 论 函 数 f(sinx)在 内 的 单 调 性 并 判 断 有 无 极 值 ， 有 极 值 时 求 出极 值 .【 解 析 】 f(sinx)=sin2x-asinx+b=sinx(sinx-a)+b，- x .f(sinx) =(2sinx-a)cosx， - x .因 为 - x0， -22sinx2.( )2 2 ，2 2 2 22 2 a -2， b R时 ， 函 数 f(sinx)单 调 递 增 ， 无 极 值 . a 2， b R时 ， 函 数 f(sinx)单 调 递 减 ， 无 极 值 . 对 于 -2a2， 在 内 存 在 唯 一 的 x0， 使 得2sin x0=a.- x x0时 ， 函 数 f(sinx)单 调 递 减 ；x0 x 时 ， 函 数 f(sinx)单 调 递 增 .( )2 2 ，22 因 此 ， -2a2， b R时 ， 函 数 f(sinx)在 x0处 有 极 小 值 .f(sinx0)= 综 上 ， a -2， b R时 ， f(sinx)单 调 递 增 ， 无 极 值 ；a 2， b R时 ， f(sinx)单 调 递 减 ， 无 极 值 ；-2a2， b R时 ， f(sinx)在 (其 中 2sinx0=a)上 单 调 递 减 ， 在 上 单 调 递 增 .在 x0处 有 极 小 值 ，f(sinx 0) 2a af( b .2 4) 0( x )2 ，2a=b .4 0(x )2，
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