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27.1.3 圆 周 角 一 、 旧 知 回 放 :1.圆 心 角 的 定 义 ? .OB C答 ： 相 等 .答 :顶 点 在 圆 心 的 角 叫 圆 心 角 .2.圆 心 角 的 度 数 和 它 所 对 的 弧 的度 数 的 关 系 ? B3、 下 列 命 题 是 真 命 题 的 是 ( )1)垂 直 弦 的 直 径 平 分 这 条 弦2)相 等 的 圆 心 角 所 对 的 弧 相 等3)圆 既 是 轴 对 称 图 形 ,还 是 中 心 对称 图 形A 1) 2) B 1) 3) C 2) 3) D 1) 2) 3) 课 前 热 身4、 如 图 ， O 中 ， AO B=100， 则 AB弧 的 度 数为 _， AnB弧 的 度 数 为 _。 A O B n100 260 5、 判 断 题 ： (1)相 等 的 圆 心 角 所 对 的 弧 相 等 。 (2)等 弦 对 等 弧 。 (3)等 弧 对 等 弦 。 (4)长 度 相 等 的 两 条 弧 是 等 弧 。 (5)平 分 弦 的 直 径 垂 直 于 弦 。 圆 心 角 顶 点 发 生 变 化 时 ,我 们 得 到 几 种 情 况 ?探 索 1: 二 、 探 索 新 知 ：A.OB C.思 考 ： 三 个 图 中 的 BAC的 顶 点 A各 在 圆 的 什 么 位置 ？ 角 的 两 边 和 圆 是 什 么 关 系 ？.AOB C .OB CA. 探 索 :你 能 仿 照 圆 心 角 的 定 义 给 圆 周 角 下 个 定 义 吗 ?.OB CA特 征 ： 角 的 顶 点 在 圆 上 . 角 的 两 边 都 与 圆 相 交 .圆 周 角 定 义 : 顶 点 在 圆上 ,并 且 两 边 都 和 圆 相交 的 角 叫 圆 周 角 . 练 习 ：1 、 判 别 下 列 各 图 形 中 的 角 是 不 是 圆 周 角 ， 并 说 明 理由 。 不是 不是 是不是 不是图 图 图 图 图 2、 指 出 图 中 的 圆 周 角 。 A O B C ACO ACB BCO OAB BAC OAC ABO CBO ABC 思 考 ： 问 题 ： 画 一 个 圆 ， 以 A、 C为 弧 的 端 点能 画 多 少 个 圆 周 角 ？ 它 们 有 什 么 关 系 ？ n 为 了 解 决 这 个 问 题 ,我 们 先 探 究 一 条 弧 所 对 的 圆 周 角 和 圆 心 角 之 间 有 的 关 系 .类 比 圆 心 角 探 知 圆 周 角 在 同 圆 或 等 圆 中 ,相 等 的 弧 所 对 的 圆 心 角 相 等 . 在 同 圆 或 等 圆 中 ,相 等 的 弧 所 对 的 圆 周 角 有 什 么 关 系 ？ O O OAB C AB C AB Cn提 示 :注 意 圆 心 与 圆 周 角 的 位 置 关 系 . 如 图 ,观 察 弧 AC所 对 的 圆 周 角 ABC与 圆 心 角 AOC,它 们 的 大 小 有 什 么 关 系 ? 说 说 你 的 想 法 ,并 与 同 伴 交 流 . n提 示 :注 意 圆 心 与 圆 周 角 的 位 置 关 系 .AB C O AB C O OAB C圆 周 角 和 圆 心 角 的 关 系 圆 周 角 和 圆 心 角 的 关 系 1.首 先 考 虑 一 种 特 殊 情 况 ： 当 圆 心 (O)在 圆 周 角 ( ABC)的 一 边 (BC)上 时 ,圆周 角 ABC与 圆 心 角 AOC的 大 小 关 系 .解 : AOC是 ABO的 外 角 ， AOC= B+ A. OA=OB， OAB C A= B. AOC=2 B.即 ABC = AOC.21 你 能 写 出 这 个 命 题 吗 ?一 条 弧 所 对 的 圆 周 角 等 于 它 所对 的 圆 心 角 的 一 半 .理 解 并 掌握 这 个 模型 . 如 果 圆 心 不 在 圆 周 角 的 一 边 上 ,结 果 会 怎 样 ? 2.当 圆 心 (O)在 圆 周 角 ( ABC)的 内 部 时 ,圆周 角 ABC与 圆 心 角 AOC的 大 小 关 系 会 怎样 ?n提 示 :能 否 转 化 为 1的 情 况 ?n过 点 B作 直 径 BD.由 1可 得 :你 能 写 出 这 个 命 题 吗 ?一 条 弧 所 对 的 圆 周 角 等 于 它 所 对 的圆 心 角 的 一 半 . OAB CD圆 周 角 和 圆 心 角 的 关 系 ABC = AOC.21 21n ABD = AOD, CBD = COD,21 如 果 圆 心 不 在 圆 周 角 的 一 边 上 ,结 果 会 怎 样 ? 3.当 圆 心 (O)在 圆 周 角 ( ABC)的 外 部 时 ,圆周 角 ABC与 圆 心 角 AOC的 大 小 关 系 会 怎 样 ?n提 示 :能 否 也 转 化 为 1的 情 况 ?n过 点 B作 直 径 BD.由 1可 得 : ABC = AOC.21 你 能 写 出 这 个 命 题 吗 ?一 条 弧 所 对 的 圆 周 角 等 于 它 所 对的 圆 心 角 的 一 半 . D OAB C圆 周 角 和 圆 心 角 的 关 系n ABD = AOD, CBD = COD,21 21 圆 周 角 定 理 综 上 所 述 ,圆 周 角 ABC与 圆 心 角 AOC的 大 小 关 系 是 : 圆 周 角 定 理 :一 条 弧 所 对 的 圆 周 角 等 于 它 所 对 的 圆 心 角 的 一 半 . n 提 示 :圆 周 角 定 理 是 承 上 启 下 的 知 识 点 ,要 予 以 重 视 . OAB COAB C OAB C即 ABC = AOC.21 D D 2、 如 图 ， 在 O中 ， 若 弧 AB等 于 弧EF， 能 否 得 到 C = G呢 ？ O FB A C E G可 以 得 到 C= G 例 1.如 图 ： OA、 OB、 OC都 是 O的 半 径 AOB=2 BOC. 求 证 ： ACB=2 BAC. AO B=2 BO C A O B C ACB=2 BAC证 明 ： 规 律 :解 决 圆 周 角 和 圆 心 角 的 计 算 和 证 明 问 题 ,要 准 确 找 出 同 弧 所 对 的 圆 周 角 和 圆 心 角 ,然 后再 灵 活 运 用 圆 周 角 定 理 分 析 :AB所 对 圆 周 角 是 ACB, 圆 心 角 是 AO B.则 ACB= AO B. BC所 对 圆 周 角 是 BAC , 圆 心角 是 BO C, 则 BAC= BO C 2121 ACB= AO B21 BAC= BO C21 练 习 ：2.如 图 ， 圆 心 角 AO B=100 ， 则 ACB=_。OA BCBA O.70 x1.求 圆 中 角 X的 度 数 130A O.X 120 C C D B3、 如 图 ， 在 直 径 为 AB的 半 圆中 ， O 为 圆 心 ， C、 D为 半 圆 上的 两 点 ， CO D=50 0， 则 CAD=_25 做 做 看 ， 收 获 知 多 少 ？一 、 判 断1、 顶 点 在 圆 上 的 角 叫 圆 周 角 。2、 圆 周 角 的 度 数 等 于 所 对 弧 的 度 数 的 一 半 。 .O36或 1442 、 如 图 ， 已 知 圆 心 角 AOB=100 ， 求 圆 周 角 ACB=_、 ADB=_。 D A OC B1、 半 径 为 R的 圆 中 ， 有 一 弦 分 圆周 成 1： 4两 部 分 ， 则 弦 所 对 的 圆周 角 的 度 数 是 。 二 、 计 算 130 50 A BC1 OC2 C3圆 周 角 定 理 及 推 论 在 同 圆 或 等 圆 中 ， 同 弧 或 等 弧 所 对 的 圆 周角 相 等 ， 都 等 于 这 条 弧 所 对 的 圆 心 角 的 一 半 定 理 半 圆 （ 或 直 径 ） 所 对 的 圆 周角 是 直 角 ; 90 的 圆 周 角 所 对 的 弦 是 直 径 推 论 一 、 这 节 课 主 要 学 习 了 两 个 知 识 点 ：1、 圆 周 角 定 义 。2、 圆 周 角 定 理 及 其 定 理 应 用 。二 、 方 法 上 主 要 学 习 了 圆 周 角 定 理 的证 明 渗 透 了 “ 特 殊 到 一 般 ” 的 思 想 方 法 和 分类 讨 论 的 思 想 方 法 。三 、 圆 周 角 及 圆 周 角 定 理 的 应 用 极 其广 泛 ， 也 是 中 考 的 一 个 重 要 考 点 ， 望 同 学们 灵 活 运 用 。 1、 判 断 ：（ 1） 等 弧 所 对 的 圆 周 角 相 等 . （ ）（ 2） 相 等 的 圆 周 角 所 对 的 弧 也 相 等 .（ ）（ 3） 90。 的 角 所 对 的 弦 是 直 径 。 （ ）（ 4） 同 弦 所 对 的 圆 周 角 相 等 。 （ ） XXX O BA C E OAB C 5、 如 图 ， 在 O 中 ， BC=2DE， BO C=84 ， 求 A的 度 数 。 4、 AB、 AC为 O的 两 条 弦 ， 延 长 CA到 D， 使 AD=AB， 如 果 ADB=35，求 BOC的 度 数 。 解 AB=AC ABD= ADB=35 BAC= ABD+ ADB=70 BOC=2 BAC=140解 :连 接 CD BOC=84 BAD= BOC=42 BC=2DE DE为 42的 弧 DCE=42 =21 A= BDC- DCE=42-21=21 2121 2.如 图 (2),在 O中 , B, D, E的 大 小 有 什 么 关 系 ? 为 什 么 ?3.如 图 (3),AB是 直 径 ,你 能 确 定 C的 度 数 吗 ?拓 展 化 心 动 为 行 动 1.如 图 (1),在 O中 , BAD =50 ,求 C的 大 小 . OCAB D(1) OBA CD E(2) OA BC (3) B= D= E C=130 C=90 如 图 , O的 直 径 AB为 10cm,弦 AC为 6cm, ACB的 平 分 线 交 O于 D,求 BC、 BD的 长 D A O B C 2、 如 图 ， AD是 ABC的 高 ， AE是 ABC的 外 接 圆 直 径 。 求 证 ：AB AC = AE AD AOB CDEAB AC = AE ADABADAEAC 小 结 ： 结 束 寄 语盛 年 不 重 来 ,一 日 难 再 晨 ,及 时 宜 自 勉 ,岁 月 不 待 人 .下 课 了 ! 一 个 圆 形 人 工 湖 ,弦 AB是 湖 上 的 一 座 桥 ,已知 桥 AB长 100m.测 得 圆 周 角 C=45 求这 个 人 工 湖 的 直 径 .A BC 一 个 圆 形 人 工 湖 ,弦 AB是 湖 上 的 一 座 桥 ,已知 桥 AB长 100m.测 得 圆 周 角 C=45 求这 个 人 工 湖 的 直 径 . A BC D 圆 周 角 在 射 门 游 戏 中 (如 图 ),球 员 射 中 球 门的 难 易 程 度 与 他 所 处 的 位 置 B对 球 门AC的 张 角 ( ABC)有 关 . O BA CB A C 思 考 ： 图 中 的 ABC的顶 点 B在 圆 的 什 么 位 置 ？ ABC的 两 边 和 圆 是 什么 关 系 ？圆 周 角 n圆 周 角 : ABC, ADC, AEC.n这 三 个 角 的 大 小 有 什么 关 系 ?. 圆 周 角 当 球 员 在 B,D,E处 射门 时 ,他 所 处 的 位 置对 球 门 AC分 别 形 成三 个 张 角 ABC, ADC, AEC.这 三个 角 的 大 小 有 什 么关 系 ?. OB A CBA CDEDE
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