高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 1 数学归纳法课件 新人教A版选修4-5 (2)

第 四 讲 数学归纳法证明不等式 一数学归纳法 1.了解数学归纳法的原理2.了解数学归纳法的使用范围3.会用数学归纳法证明一些简单问题. 1.数学归纳法的原理(重点)2.数学归纳法的应用(难点) 预习学案 2ab 比较法 分析法 综合法 1数学归纳法的概念一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当_时命题成立；(2)假设当_时命题成立，证明_时命题也成立在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法nn0nk(k N，且kn0)nk1 2数学归纳法的基本过程 3设凸k边形内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)_.解释：由凸多边形性质知多加了一条边内角和比原来多了.答案： 课堂学案 用数学归纳法证等式 求证：二项式x2ny2n(n N)能被xy整除思路点拨由假设以x2k2为主进行拼凑，即减去x2y2k加上x2y2k，然后重新组合，目的是拼凑出nk的归纳假设，剩余部分仍能被xy整除证整除问题 解题过程(1)当n1时，x2y2(xy)(xy)，能被xy整除(2)假设nk(k1)时，x2ky2k能被xy整除，那么当nk1时，即x2k2y2k2x2x2kx2y2kx2y2ky2y2kx2(x2ky2k)y2k(x2y2)x2ky2k与x2y2都能被xy整除，x 2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被xy整除即nk1时，x2k2y2k2能被xy整除由(1)(2)可知，对任意的正整数n命题均成立 2已知f(n)(2n7)3n9，是否存在自然数m，使得对任意n N都能使m整除f(n)，如果存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，说明理由思路点拨利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式，这就往往要涉及“添项”与“减项”等变形技巧 解析：f(1)36，f(2)108，f(3)360，f(4)1 224，猜想能整除f(n)的最大整数是36.下面用数学归纳法证明f(n)能被36整除(1)当n1时，f(1)36能被36整除；(2)假设当nk(k1)时，f(k)能被36整除，则当nk1时，f(k1)2(k1)73k193(2k7)3 k918(3k11)， 由归纳假设3(2k7)3k9能被36整除，而3k11是偶数18(3k11)能被36整除，f(k1)能被36整除由(1)(2)得f(n)能被36整除由于f(1)36，故整除f(n)的最大整数是36. 用数学归纳法证明几何问题 3在本例中，探究这n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明思路点拨利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由nk到nk1时几何图形的变化规律 解析：n的最小值应该为2，当n2时，有4条射线，当n3时，如图有3条线段6条射线，共9条线段或射线 当n4时，不妨取出一条直线l1，则剩余3条直线l2，l3，l4相互分割成9条线段或射线而l1与l2，l3，l4有3个交点，这3个交点将l1分割为2条线段，2条射线而l2，l3，l4上又各多出1个交点，因此l2，l3，l4又被这一交点多分割出一条线段或射线，多出437条n4时，有16条由此推测，n条直线相互分割成n2条射线或线段，设(n)n 2(n2，且nN) 证明如下：(1)当n2时，显然成立(2)假设当nk(k2，且kN)时，结论成立，(k)k2，则当nk1时，设有l1，l2，lk，lk1共k1条直线，满足题设条件不妨取出直线l1. 余下的k条直线l2，l3，lk，lk1互相分割成(k)k2条射线或线段直线l1与这k条直线恰有k个交点，则直线l1被这k个交点分成k1条射线或线段k条直线l2，l3，lk1中的每一条都与l1恰有一个交点，因此每条直线又被这一个交点多分割出一条射线或线段，共有k条故(k1)(k)k1kk22k1(k1)2.当nk1时，结论正确由(1)(2)可知，上述结论对一切n2，且nN 都成立 1数学归纳法的概念先证明当n取第一值n0(例如可取n01)时命题成立，然后假设当nk(k N，kn0)时命题成立，证明当nk1时命题也成立这种证明方法叫做数学归纳法2数学归纳法适用范围数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明数学归纳法 在用数学归纳法证明不等式问题中，从“nk”到“nk1”的过渡中，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从“nk”到“nk1”，只用拼凑的方法，有时也行不通，因为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”、“综合法”、“分析法”等来分析从“nk”到“nk1”的变化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构用数学归纳法证明不等式