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三 排 序 不 等 式 2 2 2 2 2 21 2 n 1 2 n21 1 2 2( . ) ( . )( . )n na a a b b ba b a b a b 定 理 设 nn bbbbaaaa ,.,., 321321 是 实 数 ， 则当 且 仅 当 (i=1,2,n) 或 存 在 一 个 数 k使 得 (i=1,2,n) 时 等 号 成 立 。 以 上 不 等 式 称 为 一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式 。0ib ii kba 知 识 回 顾 ： 一 般 形 式 的 三 角 不 等 式2 2 2 2 2 21 2 1 22 2 21 1 2 2. .( ) ( ) . ( )( , , 1,2,., ).n nn n i ix x x y y yx y x y x yx y R i n 1 21 1 2 1 2 1 2 1 211 2 1 1 1 1 21 222 2, . , . . . . . . . .n nn n n n n n n nnna b c c c b ba b aa b a ba a b ba c aa b a b cba a a b b ba c n 定 理 （ 排 序 不 等 式 ， 又 称 排 序 原 理 ）设 为 两 组实 数 是 的 任 一 排 列 ，那 么 ：当 且 仅 当 或 时 , 反 序 和 等 ， b于 顺 序 和 。反 序 和 乱 序 和 顺 序 和 例 1 ： 有 10人 各 拿 一 只 水 桶 去 接 水 ， 设 水龙 头 注 满 第 i(i=1,2,10)个 人 的 水 桶 需 要ti分 ， 假 定 这 些 ti各 不 相 同 。问 ： 只 有 一 个 水 龙 头 时 ， 应 该 如 何 安 排 10人 的 顺 序 ， 使 他 们 等 候 的 总 时 间 最 少 ？这 个 最 少 的 总 时 间 等 于 多 少 ？ 解 ： 总 时 间 (分 ） 是 10t1+9t2+2t9+t10根 据 排 序 不 等 式 ， 当 t1t2t9t10时 ，总 时 间 取 最 小 值 。即 ： 按 水 桶 的 大 小 由 小 到 大 依 次 接 水 ，则 10人 等 候 的 总 时 间 最 少 。最 少 的 总 时 间 是 : 10t1+9t2+2t9+t10 例 2 设 a1,a2,an是 n个 互 不 相 等 的 正 整 数 ，求 证 ： 321 2 2 21 1 11 . .2 3 2 3 na aaan n 证 明 ： 设 b1,b2,bn是 a1,a2,an的 一 个 排 列 ， 且 有 b1b2bn因 为 b1,b2,bn是 互 不 相 等 的 正 整 数 ，所 以 b11,b22,bnn. 2 2 21 1 11 .2 3 n 3 32 21 12 2 2 2 2 2. .2 3 2 3n na a b ba ba bn n 又 因由 排 序 不 等 式 ， 得 ：2 2 21 1 1 1 1 11 1 2 3 . 1 .2 3 2 3n n n 1 2 2 2 21 1 2 2 1 21 2 1 2, ,.,. . , ,., , ,.,1 .n n n nn na a aac a c a c a a ac c c a a a 为 实 数 ， 证 明 ：其 中 是 的.设 任 一 排 列 。练 习 3 3 3 2 2 22. , ,2( ) ( ) ( ) ( ).a b ca b c a b c b a c c a b 已 知 为 正 数 ， 用 排 序 不 等 式 证 明练 习 1 21 1 21 21 2 1 211 2 11 1 1 21 222 2, . , . . . . . . .n nn n n nn n nnnna b c c c b ba b aa b a ba a b ba c aa b a b cba a a b b ba c n定 理 （ 排 序 不 等 式 ， 又 称 排 序 定 理 ）设 为 两 组实 数 是 的 任 一 排 列 ， 那 么 ：当 且 仅 当 或 时 ,反 序 和 等 ， b于 顺 序 和 。反 序 和 乱 序 和 顺 序 和小 结 作 业 P45 第 3， 4题 1 2 1 2 3, ,., .na a aa a a a a a a a aa a a 1 2 2 3 3 13 1 2为 正 数 ， 求3 证.设 练 习 1 2 2 22 2 11 2 1 22 3 14. , ,.,. . .n n n nna a aa aa a a a aa a a a 设 为 正 数 ， 试 分 别 用 柯 西不 等 式 与 排 序 不 等 式 证 明 练 习
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