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3.3.3函数的最大(小)值与导数 自主学习 新知突破 1能够区分极值与最值两个不同的概念2掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法 假设函数yf(x)，yg(x)，yh(x)在闭区间a，b的图象都是一条连续不断的曲线(如下图所示)，观察图象，你认为此类函数在a，b上一定能取得最大值与最小值吗？最大值及最小值与极值有什么关系？如何求函数的最值？ 问题1这三个函数在a，b上一定能取得最大值与最小值吗？提示1能问题2若yh(x)在开区间(a，b)上是一条连续不断的曲线，那么它在(a，b)上一定有最值和极值吗？提示2不能 如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定有_和_，函数的最值必在极值点或区间端点处取得函数的最大值与最小值最大值最小值 求函数f(x)在a，b上的最值可分两种情况进行：1当函数f(x)单调时：若函数yf(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的_，f(b)为函数的_；若函数yf(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的_，f(b)为函数的_函数最值的求法最小值最大值最大值最小值 2当函数f(x)不单调时：(1)求yf(x)在(a，b)内的_值；(2)将yf(x)的各_值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值极极 (3)函数f(x)在闭区间a，b上图象连续不断，是f(x)在闭区间a，b上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有，函数的最大值一定不小于它的最小值 1给出下列四个命题：若函数f(x)在a，b上有最大值，则这个最大值一定是a，b上的极大值；若函数f(x)在a，b上有最小值，则这个最小值一定是a，b上的极小值；若函数f(x)在a，b上有最值，则最值一定在xa或xb处取得；若函数f(x)在(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内必有最大值与最小值其中真命题共有()A0个B1个C2个D3个 解析：当函数在闭区间上的端点处取得最值时，其最值一定不是极值函数在闭区间上的最值可在端点处取得，也可以在内部取得单调函数在开区间(a，b)内无最值答案：A 2函数f(x)x33x29xk在区间4,4上的最大值为10，则其最小值为()A10 B71C15 D22 解析：f(x)3x26x93(x3)(x1)由f(x)0得x3，1.又f(4)k76，f(3)k27，f(1)k5，f(4)k20.由f(x)maxk510，得k5，f(x)mink7671.答案：B 3f(x)xln x在区间(0，e上的最小值为_答案：1 合作探究 课堂互动 求函数的最值求函数f(x)x42x23，x 3,2上的最值 方法一：f(x)4x34x，即f(x)4x(x1)(x1)，令f(x)0，得x1，x0，x1.当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表： 求解函数在闭区间上的最值在熟练掌握求解步骤的基础上，还须注意以下几点：(1)对函数进行准确求导；(2)研究函数的单调性，正确确定极值和区间端点的函数值；(3)比较极值与区间端点函数值的大小 1求函数f(x)x33x1在区间0,3上的最大值、最小值解析：f(x)3x233(x1)(x1)令f(x)0得x11，x21，x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表 已知函数的最值求参数已知函数f(x)ax36ax2b在1,2上有最大值3，最小值29，求a，b的值 思路点拨根据导数与单调性，导数与最值之间的关系求解，由于f(x)既有最大值，又有最小值，因此a0，要注意对参数的取值情况进行讨论 上表知，当x0时，f(x)取得最大值，所以f(0)b3.又f(2)16a3，f(1)7a3，故f(1)f(2)，所以当x2时，f(x)取得最小值，即16a329，a2. 由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而得出参数的值，这也是方程思想的应用 2已知函数f(x)2x36x2a在2,2上有最小值37，求a的值并求f(x)在2,2上的最大值 不等式恒成立问题已知函数f(x)ax4ln xbx4c(x0)在x1处取得极值3c，其中a，b，c为常数若对任意x0，不等式f(x)2c2恒成立，求c的取值范围 思路点拨 由不等式恒成立求参的问题，可采用分离参数法，即将参数移至不等式的一端，化成mf(x)或mf(x)的形式，然后利用导数知识求出函数f(x)的最值，则由结论mf(x)max或mf(x)min即可求出参数m的取值范围 【错因】没有求区间端点处的函数值；连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值求出极值，需要与区间端点处的函数值进行比较才能断定
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