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第 一 章 计数原理 1分类加法计数原理和分步乘法计数原理第1课时分类加法计数原理和分步乘法计数原理 课前预习学案 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？提示：由图表可知，完成这件事可分两类：第一类，从甲大学中选专业，共有5种选择方法；第二类，从乙大学中选专业，共有4种选择方法；根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有N549种 (1)内容：完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，在第n类办法中有mn种方法那么，完成这件事共有N_种方法(也称加法原理)(2)特点：完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成n类；用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；把各类的方法数_，就可以得到完成这件事的所有方法数1分类加法计数原理m1m2mn相加 分类加法计数原理的集合表述形式做一件事，完成它的办法用集合S表示，S被划分成n类办法分别用集合S1，S2，Sn表示，即SS1S2Sn，且SiSj (ij；i，j1,2，n)，S1，S2，Sn中分别有m1，m2，mn种不同的方法，即集合S1，S2，Sn中分别含有m1，m2，mn个元素，那么完成这件事共有的方法，即集合S中元素的个数为m1m2mn. 加法原理的Venn示意图 (1)内容：完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，做第n步有mn种方法，那么，完成这件事共有N_种方法(也称乘法原理)(2)特点：完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；完成每一步有若干方法；把各个步骤的方法数_，就可以得到完成这件事的所有方法数2分步乘法计数原理m1m2mn相乘 分步计数原理的图形表示图中的“”强调要依次完成各步骤才能完成要做的事件 1为了准备晚饭，小张找出了3种不同的冷冻蔬菜和4种不同的新鲜蔬菜如果晚饭时小张只吃1种蔬菜，则选择的种数为()A3B4C7 D12解析：选择1种蔬菜有2类办法：选冷冻蔬菜，有3种选法；选新鲜蔬菜，有4种选法，根据加法原理，选择的种数为347.答案：C 2用1,2,3,4,5这五个数字可组成无重复数字的三位数的个数为()A125 B60C120 D100解析：组成一个三位数，可分为三个步骤，第一步先从5个数字中取出一个排在百位上，有5种方法，第二步再从余下的4个数字中取出一个放在十位上有4种方法，第三步从余下的3个数字中取出一个排在个位上，由乘法原理知，共有N54360.答案：B 3某班有男生26人，女生24人，现从中选一位同学为数学科代表，则不同的选法有_种解析：分两类：第一类，从男生中选，有26种选法；第二类，从女生中选，有24种选法由加法原理知，共有262450种选法答案：50 4已知a 3,4,6，b 1,2,7,8，r 8,9，则方程(xa)2(yb)2r2可表示多少个不同的圆解析：按a、b、r取值顺序分步考虑：第一步：a从3、4、6中任取一个数，有3种取法；第二步：b从1、2、7、8中任取一个数，有4种取法；第三步：r从8、9中任取一个数，有2种取法；由分步乘法计数原理知，表示的不同圆有N34224个 课堂互动讲义 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？思路导引完成这件事可依据“个位数字大于十位数字”分成不同的类，故属于分类加法计数原理先分类，再求和 分类加法计数原理的应用 边听边记方法一：根据题意将十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个由分类加法计数原理，符合题意的两位数的个数共有：8765432136个方法二：根据题意将个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个由分类加法计数原理，符合题意的两位数的个数共有：1234567836个 利用分类加法计数原理要注意：(1)要准确把握题意，依据题目中所提供的条件，确定分类标准；(2)分类时要做到“不重不漏”，即类与类之间要保证相互间的独立性 1甲班有学生56人，其中男生36人；乙班有学生58人，其中女生36人；丙班有学生56人，其中男生35人(1)从这三个班中选一名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从这三个班的男生中选一人担任学生会体育部长，有多少种不同的选法？ 解析：(1)分3类：从甲班选一名，有56种不同选法；从乙班选一名，有58种不同选法；从丙班选一名，有56种不同选法每一种方法都能独立完成“选一名学生担任学生会主席”这件事，根据分类加法计数原理，共有565856170种不同的选法(2)分3类：从甲班选一名男生，有36种不同选法；从乙班选一名男生，有583622种不同选法；从丙班选一名男生，有35种不同选法根据分类加法计数原理，共有36223593种不同的选法 要安排一份5天的值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人可值多天或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，此值班表共有多少种不同的排法？思路导引完成一件事是排值班表，因而需一天一天的排，用分步乘法计数原理，分步进行 分步乘法计数原理的应用 解析：先排第一天，可排5人中任一人，有5种排法；再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有4种排法；再排第三天，此时不能排第二天已排的人，有4种排法；同理，第四、五天各有4种排法由分步乘法计数原理可得值班表不同的排法共有：N544441 280种 利用分步乘法计数原理计数的一般思路是：首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其积要注意各步之间的相互联系，都完成后，才能完成这件事 2若某人由广州出差到北京，但途中必须到武汉办一件事，而由广州到武汉的理想路线共有12条(包括坐汽车、火车、飞机，以及不同的路线的组合)，由武汉到北京共有18条理想路线，则此人由广州到北京共有多少条不同的理想路线？解析：完成这件事，分作两步：第一步，从广州到武汉，有12种走法；第二步，由武汉到北京，有18种走法，由分步乘法计数原理可知，由广州到北京共有1218216种不同的理想走法 (12分)一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡自己使用，共有多少种不同的取法？(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法？ 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的综合应用 思路导引(1)从两个袋子中任取一张卡有两类取法，是分类加法计数原理(2)从两个袋子中各取一张卡，要分两步完成，是分步乘法计数原理 规范解答(1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况：第一类：从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有10种取法；2分第二类：从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有12种取法.4分根据分类加法计数原理，共有101222种取法.6分 (2)想得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行：第一步，从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有10种取法8分第二步，从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有12种取法.10分根据分步乘法计数原理，共有1012120种取法.12分 用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要做到“不重不漏”，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性 3某文艺小组有20人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中14人会唱歌，10人会跳舞从中选出会唱歌与会跳舞的各1人，有多少种不同的选法解析：只会唱歌的有10人，只会跳舞的有6人，既会唱歌又会跳舞的有4人这样就可以分成四类完成：第一类，从只会唱歌和只会跳舞的人中各选1人，用分步乘法计数原理得10660(种)； 第二类，从只会唱歌和既会唱歌又会跳舞的人中各选1人，用分步乘法计数原理得10440(种)；第三类，从只会跳舞和既会唱歌又会跳舞的人中各选1人，用分步乘法计数原理得6424(种)；第四类，从既会唱歌又会跳舞的人中选2人，有6种方法根据分类加法计数原理，得选出会唱歌与会跳舞的各1人的选法共有6040246130(种) 3个班去旅游，每班均可从规定的5个景点中选择1处游览，共有多少种不同的旅游方案？【错解】35243(种)【错因】上述错误在于主体上的错位，因为一个班选好景点，就不可能再去别的景点游览，所以本题的事件是“班级选择景点”，而不是“景点选择班级” 【正解】要完成“班级选择景点”这件事，应分成三步，第一步，第一个班级选择景点，有5种不同的选择；第二步，第二个班级选择景点，有5种不同的选择；第三步，第三个班级选择景点，有5种不同的选择依分步计数原理共有53125种不同的旅游方案
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