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2.3.2 平 面 向 量 的 正 交 分 解 及 坐 标 表 示2.3.3 平 面 向 量 的 坐 标 运 算 平 面 向 量 基 本 定 理 的 内 容 是 什 么 ？a 1e2e 1e a12eO如 果 是 同 一 平 面 内 的 两 个 不 共 线 向 量 ， 那 么 对于 这 一 平 面 内 的 任 一 向 量 ， 有 且 只 有 一 对 实 数 ， 使 ： 2211 eea a1 2e ,e 1 2, aa1e 2e m n(2)(1)1 22 a e e 3 32a n m 画 一 画 ， 算 一 算分 别 用 给 定 的 一 组 基 底 表 示 同 一 向 量 a思 考 ： 从 这 个 问 题 中 ， 你 认 为 选 取 哪 组 基 底 对 向 量 进 行 分 解 比 较 简 单 ？ a 思 考 ： 1.平 面 内 建 立 了 直 角 坐 标 系 ,点 A可 以 用 什么 来 表 示 ?2.平 面 向 量 是 否 也 有 类 似 的 表 示 呢 ?O xy A(a,b)ab a 1.理 解 平 面 向 量 的 坐 标 的 概 念 ； 会 进 行 平 面 向 量 的正 交 分 解 .2.掌 握 平 面 向 量 的 坐 标 运 算 .（ 重 点 ） 把 一 个 向 量 分 解 为 两 个 互 相 垂 直 的 向 量 ， 叫做 把 向 量 正 交 分 解 . 由 平 面 向 量 的 基 本 定 理 知 ， 对 平 面 上 任 意 向 量 ,均 可 以 分 解 为 不 共 线 的 两 个 向 量 和 ，使 a1 1 2 2a e e . 11e 22e 如 图 ， 在 光 滑 斜 面 上 一 个 木块 受 到 重 力 的 作 用 ， 产 生 两 个效 果 ， 一 是 木 块 受 平 行 于 斜 面 的力 的 作 用 ， 沿 斜 面 下 滑 ； 一 是木 块 产 生 垂 直 于 斜 面 的 压 力 叫 做 把 重 力 分 解 .G1F 2F G ， G1 2F F 思 考 ： 如 图 ,在 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).设 填 空 ：OA i,OB j, （ 1） |i| _,| j| _,|OC| _; （ 2） 若 用 来 表 示 ，则 ： ,i j ,OC OD OC _,OD _. 3i 4 j 5i 7 j 1 15 AB C Do xy ij 3 547探 究 点 1 平 面 向 量 的 坐 标 表 示 如 图 ， 分 别 是 与 x轴 、 y轴 方 向 相 同的 单 位 向 量 ， 若 以 为 基 底 ， 则,i j ,i j 对 于 该 平 面 内 的 任 一 向 量 ，有 且 只 有 一 对 实 数 , ， 可 使 + ajyixa x y A BC Do xy ij a（ 3） 向 量 能 否 由 表 示 出 来 ？可 以 的 话 ， 如 何 表 示 ？CD ,i j CD 2i 3 j AB C Do xy ij 3 547提 示 : ( , )a x y 其 中 ， x叫 做 在 x轴 上 的 坐 标 ， y叫 做 在 y轴 上的 坐 标 ， 式 叫 做 向 量 的 坐 标 表 示 .a aA BC Do xy ij a 这 样 ， 平 面 内 的 任 一 向 量 都可 由 x， y唯 一 确 定 ， 我 们 把 有 序 数对 （ x,y） 叫 做 向 量 的 坐 标 ， 记 作a a显 然 ， i ,0 ,j 0, ,0 0,0 .1 1 O xy Aij axy a xi +yj OA xi +yj 在 直 角 坐 标 平 面 中 ， 以 原 点 O为 起 点 作 ， 则 点A的 位 置 由 向 量 唯 一 确 定 . OA a 设 ， 则 向 量 的 坐 标 （ x,y） 就 是 终 点 A的坐 标 ； 反 过 来 ， 终 点 A的 坐 标 (x,y)也 就 是 向 量 的 坐 标 .因 此 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 内 ， 每 一 个 平 面 向 量 都 可 以 用 一有 序 实 数 对 唯 一 表 示 .OA xi yj OAa OA (1)a=2i+3j (2)a=2i-3j (4)a=-5j (2) (2, 3)a (3) ( 1, 3)a (4) (0, 5)a (5)a=-4i (3)a=-i-3j (5) ( 4,0)a (1) (2,3)a 答 案 ：写 出 下 列 向 量 的 坐 标 ,其 中 是 与 x轴 ， y轴 方 向 相同 的 单 位 向 量 . i j，【 即 时 训 练 】 例 1.如 图 ， 分 别 用 基 底 ， 表 示 向 量并 求 出 它 们 的 坐 标 . i j a bcd ， ， ， ，A A1A2解 ： 如 图 可 知1 2a AA AA 2i 3j ，(2,3).a所 以同 理b 2i 3j ( 2,3);c 2i 3j ( 2, 3); d 2i 3j (2, 3). b ac dij 如 图 ， 用 基 底 分 别 表 示 向 量 ， 并 求出 它 们 的 坐 标 . i j ， a b c d ， ， ，2 3 (2,3) a i ja 2 2( 2,2) b i jb 3 2(3,2) c i jc 4 2(4, 2) d i jd 【 变 式 练 习 】 探 究 点 2 平 面 向 量 的 坐 标 运 算思 考 ： 已 知 ， 你 能 得 出 的 坐 标 吗 ？1 1 2 2( , ), ( , )a x y b x y , ,a b a b a1 1 2 2a b (x i y j) (x i y j),+ = + + +r r r r r r由 向 量 线 性 运 算 的 结 合 律 和 分 配 律 可 得1 1 2 2 1 2 1 2(x i y j) (x i y j) (x x )i (y y )j, 提 示 : 两 个 向 量 和 （ 差 ） 的 坐 标 分 别 等 于 这 两 个向 量 相 应 坐 标 的 和 （ 差 ） .1 2 1 2( , ) a b x x y y ，1 1( , ).a x y 实 数 与 向 量 的 积 的 坐 标 等 于 用 这 个 实 数 乘 原 来向 量 的 相 应 坐 标 . 1 2 1 2( , ) a b x x y y .即同 理 可 得 A【 即 时 训 练 】 例 2.如 图 ， 已 知 ， 求 的 坐 标 .1 1 2 2A(x ,y ),B(x ,y ) AB xyO B(x2,y2)A(x1,y1)【 解 析 】 AB OB OA 2 2 1 1( , ) ( , )x y x y 2 1 2 1( , ). x x y y 一 个 向 量 的 坐 标 等 于 表 示 此 向 量 的 有 向 线段 的 终 点 的 坐 标 减 去 始 点 的 坐 标 .【 方 法 规 律 】 1.a OA xi yj x,y （ ）O xy Ayx 2 1 2 1( , )AB x x y y 2.若 A ， B ， 则1 1(x ,y ) 2 2(x ,y ) 小 结 ： 平 面 向 量 的 坐 标 运 算 A (-1 -5) a= 2 3 AB=3a 已 知 ， 和 向 量 （ ， ） ， 若 ，则 点 B的 坐 标 为 _.（ 5， 4）【 变 式 练 习 】 例 3.已 知 ， 求 的 坐标 . (2,1), ( 3,4)a b , ,3 4a b a b a b 解 ： (2,1) ( 3,4) ( 1,5);a b 3a 4b 3(2,1) 4( 3,4) (6,3) ( 12,16) ( 6,19). );3,5()4,3()1,2( ba 【 变 式 练 习 】 例 4.如 图 ， 已 知 ABCD的 三 个 顶 点 A， B， C的 坐 标 分 别 是（ -2， 1） ， （ -1， 3） ， （ 3， 4） ， 试 求 顶 点 D的 坐 标 .A B CD xyO解 法 ： 如 图 ， 设 顶 点 D的 坐 标 为 （ x,y） . 因 AB=(-1,3)-(-2,1)=(1,2)， DC=(3,4)-(x,y)=(3-x,4-y)， 由 AB=DC，为得 (1,2)=(3-x,4-y)，1=3-x，所 以 2=4-y，解 得所 以 顶 点 D的 坐 标 为 （ 2， 2） .x=2,y=2. -2 -1 1 2 34 3 21 A B CD xyO解 法 2： 如 图 ， 由 平 行 四 边 形 法 则 可 得 BD=BA+BC =(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3) =(3,-1)，而 OD=OB+BD =(-1,3)+(3,-1) =(2,2)，所 以 顶 点 D的 坐 标 为 （ 2， 2） . -2 -1 1 2 34 3 21 【 解 题 关 键 】 求 向 量 起 点 坐 标 、 终 点 坐 标 用 终 点 坐 标 减 去 起 点 坐 标 向 量 的 坐 标 .【 变 式 练 习 】 C A D 4.设 平 面 向 量 a (3,5)， b ( 2,1)， 则 a 2b （ ） A (6,3) B (7,3)C (2,1) D (7,2) B 5.已 知 点 A(3,1), ， 若 向 量 ,O为 坐 标 原 点 ， 则 x=_,y=_.( 2,2 5)a x x y a OA -45 平 面 向 量 坐 标 表 示 结 构 图平 面 向 量 坐 标 表 示 定 义向 量 运 算 的 坐 标 表 示向 量 平 行 的 坐 标 表 示 加 法减 法实 数 与 向 量 的积 2.平 面 向 量 的 坐 标 运 算向 量 的加 、 减法 实 数 与向 量 的积 向 量 的坐 标 a a若 =（ x,y） ， R， 则 =（ x， y） ，即 实 数 与 向 量 的 积 的 坐 标 等 于 用 这 个 实 数 乘 原 来向 量 的 相 应 坐 标 即 两 个 向 量 和 （ 差 ）的 坐 标 分 别 等 于 这 两 个 向 量 相 应 坐 标 的 和 （ 差 ）1 1 2 2a (x y ) b (x y ) 若 ， ， ， ， a b , 则1 2 1 2a b (x x ,y y ) ， 1 2 1 2x x y y （ ， ）已 知 向 量 的 始 点 A（ x 1， y1） ， 终 点 B（ x2， y2） ， 则 （ x2-x1， y2-y1） ， 即 一 个向 量 的 坐 标 等 于 表 示 此 向 量 的 有 向 线 段 的 终 点的 坐 标 减 去 始 点 的 坐 标ABAB 要 及 时 把 握 梦 想 ， 因 为 梦 想 一 死 ， 生 命 就 如 一 只羽 翼 受 创 的 小 鸟 ， 无 法 飞 翔 . 兰 斯 顿 休 斯
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