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第 二 讲 数 形 结 合 思 想 【 思 想 解 读 】数 形 结 合 思 想 就 是 通 过 数 与 形 的 相 互 转 化 来 解 决 数 学问 题 的 思 想 .其 应 用 包 括 以 下 两 个 方 面 :(1)“ 以 形 助 数 ” ,把 某 些 抽 象 的 数 学 问 题 直 观 化 、 生动 化 ,能 够 变 抽 象 思 维 为 形 象 思 维 .(2)“ 以 数 定 形 ” ,把 直 观 图 形 数 量 化 ,使 形 更 加 精 确 . 热 点 1 利 用 数 形 结 合 思 想 研 究 零 点 、 方 程 的 根【 典 例 1】 (2016 大 连 一 模 )函 数 f(x)= -2sinx-|ln(x+1)|的 零 点 个 数 为 ( )A.1 B.2 C.3 D.4 2 x4cos cos( x)2 2 【 解 析 】 选 B.因 为 f(x)= -2sinx-|ln(x+1)|=2(1+cosx) sinx-2sinx-|ln(x+1)|=sin2x-|ln(x+1)|，所 以 函 数 f(x)的 零 点 个 数 为 函 数 y=sin2x与 y=|ln(x+1)|图 象 的 交 点 的 个 数 . 2 x4cos cos( x)2 2 函 数 y=sin2x与 y=|ln(x+1)|的 图 象 如 图 所 示 ，由 图 知 ， 两 函 数 图 象 有 2个 交 点 ，所 以 函 数 f(x)有 2个 零 点 . 【 规 律 方 法 】 利 用 数 形 结 合 探 究 方 程 解 的 问 题 的 关 注点(1)讨 论 方 程 的 解 (或 函 数 的 零 点 )一 般 可 构 造 两 个 函 数 ,使 问 题 转 化 为 讨 论 两 曲 线 的 交 点 问 题 ,但 用 此 法 讨 论 方程 的 解 一 定 要 注 意 图 象 的 准 确 性 、 全 面 性 ,否 则 会 得 到错 解 . (2)正 确 作 出 两 个 函 数 的 图 象 是 解 决 此 类 问 题 的 关 键 ,数 形 结 合 应 以 快 和 准 为 原 则 ,不 要 刻 意 去 用 数 形 结 合 . 【 变 式 训 练 】 (2016 洛 阳 一 模 )已 知 函 数 f(x)满 足f(x)=2f ,当 x 1,3时 ,f(x)=lnx,若 在 区 间 内 ,函 数 g(x)=f(x)-ax与 x轴 有 三 个 不 同 的 交 点 ,则 实 数a的 取 值 范 围 为 _.1( )x 1 33， 【 解 析 】 由 题 意 知 ,f(x)= 因 为 在 区 间 内 ,函 数 g(x)=f(x)-ax与 x轴 有 三 个 不同 的 交 点 ,所 以 函 数 f(x)= 与 y=ax在 区 间 内 有三 个 不 同 的 交 点 , ln x,x 1,3 ,12ln x,x ,1)3 ，1 33， 1 33，ln x,x 1,3 ,12ln x,x ,1)3 ， 作 函 数 f(x)= 与 y=ax在 区 间 内 的图 象 如 图 , ln x,x 1,3 ,12ln x,x ,1)3 ， 1 33， 结 合 图 象 可 知 ,当 直 线 y=ax与 f(x)=lnx相 切 时 , 解 得 ,x=e;此 时 a= 当 直 线 y=ax过 点 (3,ln3)时 , 答 案 : ln x 1 ,x x1;e ln 3 ln 3 1a ; a .3 3 e 故ln 3 1 , )3 e 热 点 2 利 用 数 形 结 合 思 想 解 决 最 值 问 题【 典 例 2】 (2016 重 庆 一 模 )过 点 ( ,0)引 直 线 l与曲 线 y= 相 交 于 A,B两 点 ,O为 坐 标 原 点 ,当 AOB的面 积 取 最 大 值 时 ,直 线 l的 斜 率 等 于 ( )221 x3 3 3A. B C D 33 3 3 【 解 析 】 选 B.由 于 y= ,即 x2+y2=1(y 0),直 线 l与 x2+y2=1(y 0)交 于 A,B两 点 ,如 图 所 示21 x S AOB= sin AOB ,且 当 AOB=90 时 ,S AOB取 得最 大 值 ,此 时 AB= ,点 O到 直 线 l的 距 离 为 ,则 OCB=30 ,所 以 直 线 l的 倾 斜 角 为 150 ,则 斜 率为 - .12 12233 22 【 规 律 方 法 】 利 用 数 形 结 合 思 想 解 决 最 值 问 题 的 一 般思 路(1)对 于 几 何 图 形 中 的 动 态 问 题 ,应 分 析 各 个 变 量 的 变化 过 程 ,找 出 其 中 的 相 互 关 系 求 解 .(2)对 于 求 最 大 值 、 最 小 值 问 题 ,先 分 析 所 涉 及 知 识 ,然后 画 出 相 应 的 图 象 数 形 结 合 求 解 . 【 变 式 训 练 】1.记 实 数 x1,x2, ,xn中 最 小 数 为 minx1,x2, ,xn,则定 义 在 区 间 0,+ )上 的 函 数 f(x)=minx2+1,x+3,13-x的 最 大 值 为 ( )A.5 B.6 C.8 D.10 【 解 析 】 选 C.在 同 一 坐 标 系 中 作 出 三 个 函 数 y=x2+1, y=x+3,y=13-x的 图 象 如 图 : 由 图 可 知 ,minx2+1,x+3,13-x为 y=x+3上 A点 下 方 的 射线 ,抛 物 线 AB之 间 的 部 分 ,线 段 BC,与 直 线 y=13-x点 C下方 的 部 分 的 组 合 体 ,显 然 ,在 C点 时 ,y=minx2+1,x+3, 13-x取 得 最 大 值 .解 方 程 组 得 :C(5,8).所 以maxminx2+1,x+3,13-x=8.y x 3,y 13 x 2.若 实 数 x,y满 足 等 式 x2+y2=1,那 么 的 最 大 值 为 ( )yx 21 3 3A. B. C. D. 32 3 2 【 解 析 】 选 B.设 k= ,如 图 所 示 ,kPB=tan OPB= kPA=-tan OPA=- ,且 kPA k kPB,所 以 kmax= .yx 22 21 332 1 ， 3333 热 点 3 利 用 数 形 结 合 思 想 解 决 不 等 式 、 参 数 问 题【 典 例 3】 实 系 数 一 元 二 次 方 程 x2+ax+2b=0的 一 个 根 在(0,1)上 ,另 一 个 根 在 (1,2)上 ,则 的 取 值 范 围 是 ( )A.1,4 B.(1,4) b 2a 11 1C. ,1 D.( ,1)4 4 【 解 析 】 选 D.设 f(x)=x2+ax+2b,因 为 方 程 x2+ax+2b=0的 一 个 根 在 区 间 (0,1)内 ,另 一 个根 在 区 间 (1,2)内 ,所 以 可 得 f 0 0, b 0,f 1 0, a 2b 1 0,a b 2 0,f 2 0, 即 作 出 满 足 上 述 不 等 式 组 对 应 的 点 (a,b)所 在 的 平 面 区 域 ,得 到 ABC及 其 内 部 ,即 如 图 所 示 的 阴 影 部 分 (不 含 边界 ). 其 中 A(-3,1),B(-2,0),C(-1,0),设 点 E(a,b)为 区 域 内 的 任 意 一 点 ,则 k= ,表 示 点 E(a,b)与 点 D(1,2)连 线 的 斜 率 .因 为 结 合 图 形 可 知 :kADkkCD,所 以 的 取 值 范 围 是 .b 2a 1b 2a 1AD CD2 1 1 2 0k ,k 1,1 3 4 1 1 1( ,1)4 【 规 律 方 法 】1.数 形 结 合 思 想 解 决 参 数 问 题 的 思 路(1)分 析 条 件 所 给 曲 线 .(2)画 出 图 象 .(3)根 据 图 象 求 解 . 2.常 见 的 数 与 形 的 转 化(1)集 合 的 运 算 及 韦 恩 图 .(2)函 数 及 其 图 象 .(3)数 列 通 项 及 求 和 公 式 的 函 数 特 征 及 函 数 图 象 .(4)方 程 (多 指 二 元 方 程 )及 方 程 的 曲 线 . 【 变 式 训 练 】 当 x (1,2)时 ,(x-1)21,在 同 一 坐 标 系 内 作 出 y=(x-1)2,x (1,2)及 y=logax的图 象 , 若 y=logax过 点 (2,1),得 loga2=1,所 以 a=2.根 据 题 意 ,函 数 y=logax,x (1,2)的 图 象 恒 在 y=(x-1)2,x (1,2)的 上 方 ,所 以 1a 2.答 案 :1a 2
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