大一高数课件第七章

x yzo 0M M 如 果 一 非 零 向 量 垂 直 于 一平 面 ， 这 向 量 就 叫 做 该 平 面 的法 线 向 量 法 线 向 量 的 特 征 ：一 、 平 面 的 点 法 式 方 程 n 平 面 的 法 向 量 不 唯 一 ; 平 面 的 法 向 量 垂 直 于 平 面 内 的 任 一 向 量 设 平 面 上 的 任 一 点 为 ),( zyxMnMM 0必 有 00 nMM , 0000 zzyyxxMM 0)()()( 000 zzCyyBxxA 平 面 的 点 法 式 方 程已 知 , CBAn ),( 0000 zyxM平 面 的 法 向 量 及 平 面 上 一 点 解 6,4,3 AB 1,3,2 AC取 ACABn ,1,9,14 所 求 平 面 方 程 为 ,0)4()1(9)2(14 zyx化 简 得 .015914 zyx A BC n ,1,1,11 n 12,2,32 n取 法 向 量 21 nnn ,5,15,10 ,0)1(5)1(15)1(10 zyx化 简 得 .0632 zyx所 求 平 面 方 程 为解 由 平 面 的 点 法 式 方 程 0)()()( 000 zzCyyBxxA 0)( 000 CzByAxCzByAx D0 DCzByAx二 、 平 面 的 一 般 方 程zyx,是 关于 的 三元 一次 方程 0 DCzByAx反 过 来 ， 设 有 三 元 一 次 方 程000 , zyx该 方 程 的 一 组 数 0000 DCzByAx， 则两 式 相 减 即 得该 方 程 恰 为 平 面 的 点 法 式 方 程表 示 一 个 平 面 ， 称 为 0)()()( 000 zzCyyBxxA 平 面 的 一 般 方 程 任 取 满 足0 DCzByAx由 此 可 知 ， 任 一 三 元 一 次 方 程 平 面 一 般 方 程 的 几 种 特 殊 情 况 ： 通 过 原 点 的 平 面 ;平 行 于 z 轴 的 平 面 ;,),0( iCBn 当 时 , 表 示 0D 0 CzByAx 当 时 , 的 法 向 量0A 0 DCzBy 平 面 平 行 于 轴 ;x 表 示0 DCzAx 平 行 于 轴 的 平 面 ;y 表 示0 DByAx C z + D = 0 表 示 A x + D =0 表 示 B y + D =0 表 示 平 行 于 xoy 面 的 平 面 ;平 行 于 yoz 面 的 平 面 ；平 行 于 zox 面 的 平 面 . 设 平 面 为 ,0 DCzByAx由 平 面 过 原 点 知 ,0D0236 CBA ,2,1,4 n 024 CBA,32CBA .0322 zyx所 求 平 面 方 程 为解 设 平 面 为 ,0 DCzByAx将 三 点 坐 标 代 入 得 ,0,0,0DcC DbB DaA ,aDA ,bDB .cDC 解 ,aDA ,bDB ,cDC 将代 入 所 设 方 程 得 1 czbyax 平 面 的 截 距 式 方 程 设 平 面 为 ,1 czbyax x yzo,1V ,12131 abc解由 所 求 平 面 与 已 知 平 面 平 行 得 ,611161 cba （ 向 量 平 行 的 充 要 条 件 ） ,61161 cba 化 简 得 令 tcba 61161ttt 61161611 ,61 t ,1,6,1 cba.666 zyx所 求 平 面 方 程 为,61ta ,1tb ,61tc 代 入 体 积 式 定 义 （ 通 常 取 锐 角 ） 11n 22n 两 平 面 法 向 量 之 间 的 夹 角 称为 两 平 面 的 夹 角 . ,0: 11111 DzCyBxA ,0: 22222 DzCyBxA , 1111 CBAn , 2222 CBAn 三 、 两 平 面 的 夹 角 按 照 两 向 量 夹 角 余 弦 公 式 有 222222212121 212121 |cos CBACBA CCBBAA 两 平 面 夹 角 余 弦 公 式 两 平 面 位 置 特 征 ：21)1( ;0212121 CCBBAA 21)2( / .212121 CCBBAA 21 12 2n 1n2n 1n 例 6 研 究 以 下 各 组 里 两 平 面 的 位 置 关 系 ： 013,012)1( zyzyx 01224,012)2( zyxzyx 02224,012)3( zyxzyx 解 )1( 22222 31)1(2)1( |311201|cos 601cos 两 平 面 相 交 ， 夹 角 .601arccos )2( ,1,1,21 n 2,2,42 n ,212142 两 平 面 平 行21 )0,1,1()0,1,1( MM两 平 面 平 行 但 不 重 合 01224,012)2( zyxzyx )3( ,212142 21 )0,1,1()0,1,1( MM 两 平 面 平 行两 平 面 重 合 . 02224,012)3( zyxzyx ),( 1111 zyxP 1P Nn 0P解 01Prj PPd n n nPP 01 222 101010 )()()( CBA zzCyyBxxA 222 101010 )()()( CBA zzCyyBxxA 222 000 CBA DzCyBxAd 0111 DzCyBxA (点 到 平 面 的 距 离 公 式 ) 平 面 的 方 程（ 熟 记 平 面 的 几 种 特 殊 位 置 的 方 程 ）两 平 面 的 夹 角 .点 到 平 面 的 距 离 公 式 .点 法 式 方 程 .一 般 方 程 .截 距 式 方 程 . （ 注 意 两 平 面 的 位 置 特 征 ）四 、 小 结 思 考 题 思 考 题 解 答 ,1)3(2)2(1 12)3(214cos 222222 k k,145 321 2 k k .270 k 练 习 题 6、 平 面 0522 zyx 与 xoy 面 的 夹 角 余 弦 为 _ _， 与 yoz 面 的 夹 角 余 弦 为 _， 与 zox 面 的 夹 角 的 余 弦 为 _； 5、 通 过 ),0,0()0,0()0,0,( cba 、 _； 三 点 的 平 面 方 程 二 、 指 出 下 列 各 平 面 的 特 殊 位 置 ， 并 画 出 各 平 面 ：1、 0632 yx ； 2、 1 zy ；3、 056 zyx . 三 、 求 过 点 )2,2,2(,)1,1,1( 和 )2,1,1( 三 点 的 平 面 方 程 . 四 、 点 )1,0,1( 且 平 行 于 向 量 1,1,2a 和 0,1,1 b 的 平 面 方 程 . 一 、 1、 (0,0,0)； 2、 平 行 于 ； 3、 通 过 ； 4、 04573 zyx ； 5、 1 czbyax ； 6、 32,32,31 .二 、 1、 平 行 于 轴z 的 平 面 ； 2、 平 行 于 轴x 的 平 面 ； 3、 通 过 原 点 的 平 面 .三 、 023 zyx . 四 、 43 zyx . 五 、 03 yx . 六 、 3 3222 zyx . 练 习 题 答 案