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9.1.1 常 数 项 级 数 的 概 念1. 常 数 项 级 数 的 定 义 : nn n uuuuu 3211 一 般 项 ni inn uuuus 121 级 数 的 前 n项 的 和 称 为 级 数 的 部 分 和 ：部 分 和 数 列 ， 记 作 . ns 2. 级 数 的 收 敛 与 发 散 : 如 果 级 数 1n nu 的 部 分 和 数 列 ns 有 极 限 s, 即 ssnn lim 则 称 无 穷 级 数 1n nu 收 敛 . 反 之 ， 则 称 无 穷 级 数 1n nu 发 散 . 即 常 数 项 级 数 收 敛 (发 散 ) nn slim 存 在 (不 存 在 )余 项 nn ssr 21 nn uu 1i inu 即 ssn 误 差 为 nr )0lim( nn r 例 1 讨 论 等 比 级 数 (几 何 级 数 ) nn n aqaqaqaaq 20 )0( a 的 收 敛 性 . 等 比 级 数 是 一 个 常 用 的 级 数 发散时当收敛时当,1 ,10 qqaqn n 结 论 ： ,1时当q 0lim nn q qasnn 1lim,1时当q nn qlim nn slim 收 敛 发 散时如果1q ,1时当q,1时当q nasn 发 散 aaaa级数变为不存在nn slim 发 散 综 上 发散时当收敛时当,1 ,10 qqaqn n解时如果1q 12 nn aqaqaqas qaqa n 1 ,11 qaqqa n 1 )1( 1)1( n nn、 1 )12)(12( 1)2( n nn、 .2 的 敛 散 性判 别 下 列 级 数例 )11ln()3( 1 n n、 在 用 级 数 收 敛 的 定 义 来 判 定 级 数 的 敛 散 性 时 ，“ 拆 项 求 和 ” 是 常 用 的 方 法 之 一 。 二 、 收 敛 级 数 的 基 本 性 质性 质 1 如 果 级 数 1n nu 收 敛 于 和 s,则 1n nku 也 收 敛 ，且 其 和 为 ks. 性 质 2 设 两 收 敛 级 数 1n nus , 1n nv , 则 级 数 1 )(n nn vu 收 敛 ,其 和 为 s . 注 意 ：1.由 性 质 2可 知 ， 两 收 敛 级 数 的 和 或 差 是 收 敛 级 数2.两 发 散 级 数 的 和 或 差 可 能 收 敛 也 可 能 发 散 ， 如 1 1 1 11 1 11,)1(1,)1(,1 n n n nn n 发 散收 敛而发 散发 散3.一 收 敛 级 数 和 一 发 散 级 数 的 和 或 差 必 发 散 1 1 1 1:,n n n n nnnn vuvu 发 散求 证发 散收 敛设用 反 证 法 ： 1 1 1 1 ,n n n n nnnn wvuw 那 末收 敛如 果记 1 11 ,2 n n nnn n uwv 证 毕也 收 敛 与 原 假 设 矛 盾可 知由 性 质 性 质 3 在 级 数 中 去 掉 、 加 上 或 改 变 有 限 项 ， 不 会 改变 级 数 的 收 敛 性 . 性 质 4 如 果 级 数 1n nu 收 敛 ， 则 对 这 级 数 的 项 任 意 加 括 弧 后 所 成 的 级 数 仍 收 敛 ， 且 其 和 不 变 . 推 论 如 果 加 括 弧 后 所 成 的 级 数 发 散 ,则 原 来 级 数 也 发 散 . 级 数 收 敛 .0lim nn u 性 质 5(级 数 收 敛 的 必 要 条 件 ) 如 果 级 数 1n nu 收 敛 ， 则 即趋 于 零它 的 一 般 项 ,nu .0lim ， 则 级 数 必 发 散若 nn u 这 是 判 别 积 数 发 散的 一 个 有 效 方 法 .1)1(3 1 1 的 敛 散 性判 别 级 数例 n n nn的 敛 散 性判 定 调 和 级 数例 n1312114 例 ： 判 别 下 列 级 数 的 敛 散 性221 1(1) 1n nn 1 ( 1)(2) 5 1nn nn 1(3) (ln3)nn 1 1 1(4) ( )2 3n nn 1 1(5) (3 ( 1) )n nn 1 1 1(6) ( ln )2nn n 1 2 )()7( n nnn 1 )122()8( n nnn
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