心理统计学全套课件

心 理 统 计 学 统 计 学 是 一 种 思 想 方 法 常 用 统 计 指 标 概 率 及 概 率 分 布 抽 样 分 布 参 数 估 计 参 数 假 设 检 验 平 均 数 差 异 的 显 著 性 检 验 方 差 分 析 2检 验 总 体 比 率 的 推 断 相 关 分 析 回 归 分 析 非 参 数 检 验 抽 样 设 计 第 一 章 统 计 学 是 一 种 思 想 方 法 确 定 现 象 与 随 机 现 象 回 归 现 象 数 量 规 律 性 概 率 随 机 现 象 学 生 成 绩 心 理 测 验 得 分 候 车 人 数 作 物 产 量 产 品 质 量 收 入 支 出 数 量 规 律 性 平 均 数 方 差 、 标 准 差 比 率 、 百 分 比 相 关 系 数 数 量 分 布 正 态 分 布 0 5 10 15 20 25 30 35 40 39 44 49 54 59 64 70 75 80 85 90 95 100 双 峰 分 布 0 10 20 30 40 50 60 6点 8点 10点 12点 14点 16点 18点 20点 其 他 分 布 0 50 100 150 200 250 300 赞 成 反 对 不 置 可 否 统 计 学 中 的 几 个 基 本 概 念 随 机 变 量 总 体 有 限 总 体 与 无 限 总 体 样 本 大 样 本 与 小 样 本 参 数 与 统 计 量 返 回 第 二 章 数 据 的 搜 集 与 整 理 数 据 的 水 平 次 数 分 布 表 次 数 分 布 图 数 据 的 水 平 间 断 型 随 机 变 量 连 续 型 随 机 变 量 称 名 量 表 顺 序 量 表 （ 等 级 量 表 ） 等 距 量 表 等 比 量 表 间 断 型 随 机 变 量 取 值 个 数 有 限 的 数 据 人 数 个 数 名 次 五 分 制 得 分 连 续 型 随 机 变 量 取 值 个 数 无 限 的 数 据 身 高 体 重 智 商 时 间 长 短 百 分 制 得 分 四 种 数 据 水 平 称 名 量 表学 号 、 房 间 号 、 邮 政 编 码 、 电 话 号 码 顺 序 量 表 （ 等 级 量 表 ）名 次 、 等 级 、 五 分 制 得 分 等 距 量 表温 度 计 读 数 、 百 分 制 得 分 等 比 （ 比 率 ） 量 表长 度 、 时 间 次 数 分 布 表 简 单 次 （ 频 ） 数 分 布 表 相 对 次 数 分 布 表 累 积 次 数 分 布 表 大 于 制 与 小 于 制 累 积 相 对 次 数 分 布 表 次 数 分 布 表 某 学 校 学 生 人 数 按 性 别 分 类性 别 人 数 百 分 比男 生 2000 40女 生 3000 60总 和 5000 100 次 数 分 布 表某 学 校 一 年 级 学 生 语 言 能 力 测 验 得 分 次 数 分 布 表分 数 人 数 百 分 比低 于 20分20-3940-5960-6970-7980-8990-99100 10304051705440 5 3.3310.0013.3317.0023.3318.0013.33 1.67总 和 300 100 某 班 级 语 文 测 验 结 果99 96 92 90 90 87 86 84 83 8382 82 80 79 78 78 78 78 77 7777 76 76 76 76 75 75 74 74 7372 72 72 71 71 71 70 70 69 6968 67 67 67 65 64 62 62 61 57 答 案组 别 组 中 值 次 数 (f) 相 对次 数 累 积次 数 累 积 相对 次 数 累 积 百分 比95-9990-9485-8980-8475-7970-7465-6960-6455-59 979287827772676257 23261411741 .04.06.04.12.28.22.14.08.02 5048454337231251 1.00.96.90.86.74.46.24.10.02 100969086744624102 总 和 50 1.00 次 数 分 布 图 简 单 次 （ 频 ） 数 分 布 图 相 对 次 数 分 布 图 累 积 次 数 分 布 图 累 积 相 对 次 数 分 布 图 简 单 次 数 分 布 图 直 方 图 简 单 次 数 分 布 图 次 数 多 边 图 次 数 多 边 图 的 优 点 累 积 次 数 分 布 图 累 积 相 对 次 数 分 布 图 散 点 图 轮 廓 图 雷 达 图 脸 谱 图 第 三 章 常 用 统 计 指 标 集 中 量 算 术 平 均 数 中 位 数 众 数 加 权 平 均 数 几 何 平 均 数 调 和 平 均 数 差 异 量 全 距 平 均 差 方 差 与 标 准 差 相 对 差 异 量 差 异 系 数 偏 态 量 峰 态 量 集 中 量 集 中 量 是 代 表 一 组 数 据 典 型 水 平 或集 中 趋 势 的 量 。 它 能 反 映 次 数 分 布 中 大量 数 据 向 某 一 点 集 中 的 情 况 。 集 中 量 包 括 算 术 平 均 数 、 加 权 平 均数 、 几 何 平 均 数 、 调 和 平 均 数 、 中 位 数 、众 数 等 。 算 术 平 均 数 算 术 平 均 数 是 所 有 观 察 值 的 总 和 除 以 总次 数 所 得 之 商 ， 简 称 为 平 均 数 或 均 数 。 nXX n i i 1 NXNi i 1 算 术 平 均 数 的 优 点 反 应 灵 敏 ； 严 密 确 定 ， 简 明 易 懂 ， 计 算 方 便 ； 适 合 代 数 运 算 ； 受 抽 样 变 动 的 影 响 较 小 ； 样 本 算 术 平 均 数 是 总 体 平 均 数 的 最 好 估计 值 算 术 平 均 数 的 缺 点 易 受 两 极 端 数 值 （ 极 大 或 极 小 ） 的 影 响 ； 某 村 农 户 月 收 入 状 况 120, 127, 130, 131, 132, 132, 135, 136, 137, 139, 140, 145, 146, 149, 153, 158, 160, 320, 400 平 均 数 162.63 一 组 数 据 中 某 个 数 值 的 大 小 不 够 确 切 时就 无 法 计 算 其 算 术 平 均 数 。 中 位 数 中 位 数 是 位 于 依 一 定 顺 序 排 列 的 一组 数 据 中 央 位 置 的 数 值 ， 在 这 一 数 值 上 、下 各 有 一 半 次 数 分 布 着 。 中 位 数 的 原 始 数 值 计 算 方 法 ： 12 14 15 15 17 18 20 23 24: 17 12 14 15 15 17 18 20 23 24 25: 17.5 中 位 数 的 应 用 及 其 优 缺 点 中 位 数 虽 然 也 具 备 一 个 良 好 的 集 中量 所 应 具 备 的 某 些 条 件 ， 例 如 比 较 严 格确 定 、 简 明 易 懂 ， 计 算 简 便 ， 受 抽 样 变动 影 响 较 小 ， 但 是 它 不 适 合 进 一 步 的 代数 运 算 。 它 适 用 于 以 下 几 种 情 况 ： （ 1） 一 组 数 据 中 有 特 大 或 特 小 两 极端 数 值 时 ； （ 2） 一 组 数 据 中 有 个 别 数 据 不 确 切时 ； （ 3） 资 料 属 于 等 级 性 质 时 。 地 位 量 * 百 分 位 数 次 数分 布 中 相 对 于 某 个特 定 百 分 点 的 原 始分 数 ， 它 表 明 在 分布 中 低 于 该 分 数 的个 案 占 总 次 数 的 百分 比 。 百 分 等 级 次 数分 布 中 低 于 特 定 原始 分 数 的 次 数 百 分比 。 众 数 众 数 是 集 中 量 的 一 种 指 标 。 对 众 数 有 理 论 众 数 及 粗 略 众 数 两 种 定 义方 法 理 论 众 数 是 指 与 次 数 分 布 曲 线 最 高 点 相 对 应的 横 坐 标 上 的 一 点 。 粗 略 众 数 是 指 一 组 数 据 中 次 数 出 现 最 多 的 那个 数 。 众 数 的 优 缺 点 众 数 虽 然 简 明 易 懂 ， 但 是 它 并 不 具备 一 个 良 好 的 集 中 量 的 基 本 条 件 。 它 主要 在 以 下 情 况 下 使 用 ： 当 需 要 快 速 而 粗 略 地 找 出 一 组 数 据 的 代表 值 时 ； 当 需 要 利 用 算 术 平 均 数 、 中 位 数 和 众 数三 者 关 系 来 粗 略 判 断 次 数 分 布 的 形 态 时 ； 利 用 众 数 帮 助 分 析 解 释 一 组 次 数 分 布 是否 确 实 具 有 两 个 次 数 最 多 的 集 中 点 时 。 加 权 平 均 数 加 权 平 均 数 是 不 同 比 重 数 据 （ 或 平均 数 ） 的 平 均 数 。 计 算 公 式 为 ： Ki iKi iit nXnX 11 ni ini iiw WXWX 11 几 何 平 均 数 几 何 平 均 数 是 n个 数 值 连 乘 积 的 n次方 根 。 计 算 公 式 为 当 一 个 数 列 的 后 一 个 数 据 是 以 前 一 个数 据 为 基 础 成 比 例 增 长 时 ， 要 用 几 何 平均 数 求 其 平 均 增 长 率 。n ng XXXX 21 差 异 量 差 异 量 用 于 表 示 数 据 的 变 异 程 度 或离 散 程 度 。 常 用 的 差 异 量 有 全 距 、 平 均差 、 方 差 、 标 准 差 和 差 异 系 数 等 。 全 距 全 距 指 一 组 数 据 中 最 大 值 与 最 小 值之 差 。 优 点 ： 概 念 清 楚 ， 意 义 明 确 ， 计 算简 单 ； 缺 点 ： 容 易 受 极 端 数 值 的 影 响 ， 反应 不 灵 敏 。 平 均 差 平 均 差 就 是 每一 个 数 据 与 该 组 数据 的 中 位 数 （ 或 算术 平 均 数 ） 离 差 的绝 对 值 的 算 术 平 均数 。 计 算 公 式 ： NXAD Ni i 1 n XXAD ni i 1 总 体 的 方 差 和 标 准 差 方 差 ： 指 离 差 平 方 的 算 术 平 均 数 定 义 公 式 和 计 算 公 式 ： 211 21 22 )( NXNXNX Ni iNi iNi i 标 准 差 标 准 差 是 指 离 差 平 方 和 平 均 后 的 方根 。 即 方 差 的 平 方 根 。 定 义 公 式 和 计 算 公 式 ： 211 21 2)( NXNXNX Ni iNi iNi i 样 本 的 方 差 与 标 准 差 样 本 的 方 差 样 本 的 标 准 差 )1(11 )( 211 21 22 nn Xn Xn XXS ni ini ini i )1(11 )( 211 21 2 nn Xn Xn XXS ni ini ini i 相 对 差 异 量 （ 差 异 系 数 ） 差 异 系 数 ： 标 准 差 与 其 算 术 平 均 数的 百 分 比 。 其 计 算 公 式 为 用 途 ： 两 种 单 位 不 同 单 位 相 同 而 两 个 平 均 数 相 差 较 大 的资 料 。 %100 XSCV 第 四 章 概 率 及 概 率 分 布 概 率 的 一 般 概 念 后 验 概 率 先 验 概 率 概 率 的 性 质 概 率 的 加 法 和 乘 法 二 项 分 布 正 态 分 布 概 率 的 统 计 定 义 后 验 概 率 以 随 机 事 件 A在 大 量 重 复 试 验 中 出 现 的 稳定 频 率 值 作 为 随 机 事 件 A概 率 的 估 计 值 ，这 样 获 得 的 概 率 称 为 后 验 概 率 。 计 算 公式 为 ： nmAP n lim)( 硬 币 朝 向 试 验试 验 者 抛 掷 次 数 正 面 朝 上 次 数 正 面 朝 上 比 率德 摩 根蒲 丰皮 尔 逊皮 尔 逊 204840401200024000 10612048601912012 .5181.5069.5016.5005 概 率 的 古 典 定 义 先 验 概 率 是 通 过 古 典 概 率 模 型 加 以 定 义 的 ， 该 模 型 要求 满 足 两 个 条 件 ： （ 1） 试 验 的 所 有 可 能 结 果是 有 限 的 ； （ 2） 每 一 种 可 能 结 果 出 现 的 可 能性 （ 概 率 ） 相 等 。 若 所 有 可 能 结 果 的 总 数 为 n，随 机 事 件 A包 括 m个 可 能 结 果 ， 则 事 件 A的 概率 计 算 公 式 为 ： nmAP )( 概 率 的 性 质 任 何 随 机 事 件 A的 概 率 都 是 介 于 0与 1之 间的 正 数 ； 不 可 能 事 件 的 概 率 等 于 0； 必 然 事 件 的 概 率 等 于 1。 小 概 率 事 件 P .05 P .01 概 率 的 加 法 在 一 次 试 验 中 不 可 能 同 时 出 现 的 事 件 称 为 互 不相 容 的 事 件 。 两 个 互 不 相 容 事 件 和 的 概 率 ， 等 于 这 两 个 事 件概 率 之 和 。 用 公 式 表 示 为 ：P(A + B) = P(A) + P(B) 其 推 广 形 式 是P(A1 + A2 + + An) = P(A1) + P(A2) + + P(An) 例 题 某 学 生 从 5个 试 题 中 任 意 抽 选 一 题 ， 如果 抽 到 每 一 题 的 概 率 为 1/5， 则 抽 到 试题 1或 试 题 2的 概 率 为 多 少 ？ 概 率 的 乘 法 A事 件 出 现 的 概 率 不 影 响 B事 件 出 现 的 概率 ， 这 两 个 事 件 为 独 立 事 件 。 两 个 独 立 事 件 积 的 概 率 ， 等 于 这 两 个 事件 概 率 的 乘 积 。 用 公 式 表 示 为 ：P(A B) = P(A) P(B) 其 推 广 形 式 是P(A1 A2 An) = P(A1) P(A2) P(An) 例 题 上 例 中 ， 如 果 第 一 个 学 生 把 抽 出 的 试 题还 回 后 ， 第 二 个 学 生 再 抽 ， 则 两 个 学 生都 抽 第 一 题 的 概 率 为 多 少 ？ 基 础 比 率 假 设 癌 症 患 者 占 总 人 口 的 比 例 为 1%， 癌症 患 者 在 X光 检 查 中 有 80%呈 阳 性 ， 未 患癌 症 的 人 在 X光 检 查 中 有 10%呈 阳 性 。 现在 有 一 个 人 在 X光 检 查 中 呈 阳 性 ， 问 这 个人 患 癌 症 的 概 率 是 多 大 ？ 基 础 比 率 基 础 比 率 在 一 个 城 市 中 ， 有 两 个 出 租 车 公 司 。 甲公 司 都 是 绿 色 车 ， 占 85%， 乙 公 司 都 是蓝 色 车 ， 占 15%。 一 天 晚 上 发 生 了 严 重车 祸 。 有 一 个 目 击 证 人 说 是 蓝 色 车 。 在相 同 的 条 件 下 测 得 该 目 击 证 人 辨 别 蓝 色车 和 绿 色 车 的 正 确 率 为 80%。 问 ： 肇 事车 是 蓝 色 车 的 概 率 是 多 大 ？ 基 础 比 率 二 项 试 验 与 二 项 分 布满 足 以 下 条 件 的 试 验 称 为 二 项 试 验 ： 一 次 试 验 只 有 两 种 可 能 结 果 ， 即 成 功 和失 败 ； 各 次 试 验 相 互 独 立 ， 互 不 影 响 各 次 试 验 中 成 功 的 概 率 相 等 。 问 题 一 个 学 生 全 凭 猜 测 答 2道 是 非 题 ， 则 答 对0、 1、 2题 的 概 率 是 多 大 ？ 如 果 是 3道 题 、 4道 题 呢 ？ 2道 是 非 题 的 情 况TTTF, FTFF答 对 2题 答 对 1题 答 对 0题1种 2种 1种 3道 是 非 题 的 情 况TTTTTF, TFT, FTTTFF, FTF, FFTFFF答 对 3题 答 对 2题 答 对 1题 答 对 0题1种 3种 3种 1种 4道 是 非 题 的 情 况TTTTTTTF, TTFT, TFTT,FTTTTTFF, TFFT, FFTT,TFTF, FTTF, FTFTTFFF, FTFF, FFTF, FFFTFFFF答 对 4题 答 对 3题 答 对 2题 答 对 1题 答 对 0题1种 4种 6种 4种 1种 二 项 分 布 函 数 用 n 次 方 的 二 项 展 开 式 来 表 达 在 n 次 二 项试 验 中 成 功 事 件 出 现 不 同 次 数（ X=0,1,n） 的 概 率 分 布 叫 做 二 项 分 布 。 二 项 展 开 式 的 通 式 就 是 二 项 分 布 函 数 ， 运用 这 一 函 数 式 可 以 直 接 求 出 成 功 事 件 恰 好出 现 X次 的 概 率 ： xnxxnxxn qpxnx nqpCxXP )!(! !)( 二 项 分 布 图 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0 2 4 6 8 10 二 项 分 布 图 从 二 项 分 布 图 可 以 看 出 ， 当 p = q， 不 管 n 多 大 ， 二 项 分 布 呈 对 称 形 。 当 n 很 大 时 ， 二 项 分 布 接 近 于 正 态 分 布 。当 n 趋 近 于 无 限 大 时 ， 正 态 分 布 是 二 项分 布 的 极 限 。 当 p.5时 设 某 厂 产 品 合 格 率 为 90%， 抽 取 3个 进 行检 验 ， 求 合 格 品 个 数 分 别 为 0， 1， 2， 3的 概 率 ？ 当 p = .9 , q = .1时检 验 结 果 概 率 结 果AAAAABABABAAABBBABBBABBB pppppqppqppqpqqpqqpqqqqq .729.081.081.081.009.009.009.001合 计 1.00 二 项 分 布 的 平 均 数 和 标 准 差 当 二 项 分 布 接 近 于 正 态 分 布 时 ， 在 n次 二项 实 验 中 成 功 事 件 出 现 次 数 的 平 均 数 和标 准 差 分 别 为 ： =np 和 npq 二 项 分 布 的 应 用做 对 题 数 可 能 结 果 数 概 率 累 积 概 率PXx0 1 0.001 0.0011 10 0.010 0.0112 45 0.044 0.0553 120 0.117 0.1724 210 0.205 0.3775 252 0.246 0.6236 210 0.205 0.8287 120 0.117 0.9458 45 0.044 0.9899 10 0.010 0.99910 1 0.001 1.000 总 和 1024 1.000 正 态 分 布 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 -3 -2.4 -1.8 -1.2 -0.6 0 0.6 1.2 1.8 2.5 正 态 分 布 正 态 分 布 概 率 密 度 函 数 2 22 )(21 XeY 标 准 正 态 分 布 标 准 正 态 分 布 函 数 其 中 Z = ( X )/ 2221 ZeY 正 态 分 布 表 根 据 Z分 数 查 概 率 根 据 概 率 查 Z分 数 练 习 题 设 XN(,2 )， 求 以 下 概 率 ：（ 1） P-X= +（ 2） P-3X= +3（ 3） P-1.96X= -（ 4） PX + 正 态 分 布 的 简 单 应 用 标 准 分 数 体 系 T = KZ + C 确 定 录 取 分 数 线 确 定 等 级 评 定 的 人 数 品 质 评 定 数 量 化 练 习 题 某 年 高 考 平 均 分 500， 标 准 差 100， 考 分呈 正 态 分 布 ， 某 考 生 得 到 650分 。 设 当 年高 考 录 取 率 为 10 ， 问 该 生 能 否 被 录 取 ？ 练 习 题 答 案 Z = 1.5, P = .933 录 取 分 数 线 ： 500+1.28*100=628 练 习 题 某 地 区 47000人 参 加 高 考 ， 物 理 学 平 均 分为 57.08， 标 准 差 为 18.04。 问 ：（ 1） 成 绩 在 90以 上 有 多 少 人 ？（ 2） 成 绩 在 80 90之 间 有 多 少 人 ？（ 3） 60分 以 下 有 多 少 人 ？ 练 习 题 答 案（ 1） 成 绩 在 90以 上 有 多 少 人 ？0.03438， 1615.86（ 2） 成 绩 在 80 90之 间 有 多 少 人 ？0.06766， 3180（ 3） 60分 以 下 有 多 少 人 ？0.56356， 26487 第 五 章 推 断 统 计 学 基 本 原 理 抽 样 分 布 参 数 估 计 假 设 检 验 抽 样 分 布 是 参 数 估 计 与 假 设 检 验 的理 论 基 础 三 种 不 同 性 质 的 分 布 总 体 分 布 ： 总 体 内 个 体 数 值 的 次 数 分 布 。 样 本 分 布 ： 样 本 内 个 体 数 值 的 次 数 分 布 。 抽 样 分 布 ： 根 据 样 本 （ X1， X2， ， Xn ）所 有 可 能 的 样 本 观 察 值 计 算 出 来 的 某 一 种统 计 量 的 观 察 值 的 概 率 分 布 。例 如 ： 若 （ X1， X2， ， Xn） 是 抽 自 总 体 X的 一 个 容 量 为 n 的 简 单 随 机 样 本 ， 则 依 据所 有 可 能 样 本 的 观 察 值 计 算 出 的 样 本 均 值的 分 布 ， 称 为 样 本 均 值 的 抽 样 分 布 。 抽 样 方 法 单 纯 随 机 抽 样 机 械 抽 样 分 层 抽 样 整 群 抽 样 总 体 分 布 到 抽 样 分 布 总 体 X的 概 率 分 布 这 是 一 个 均 匀 分 布 总 体住 户 第 一 户 第 二 户 第 三 户 第 四 户 第 五 户日 支 出 (X) 20 25 30 35 40户 数 1 1 1 1 1概 率 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 样 本 （ n=2） 的 所 有 可 能 结 果第 一 户 第 二 户 第 三 户 第 四 户 第 五 户第 一 户 (20, 20)M=20 (25,20)M=22.5 (30,20)M=25 (35,20)M=27.5 (40,20)M=30第 二 户 (20,25)M=22.5 (25,25)M=25 (30,25)M=27.5 (35,25)M=30 (40,25)M=32.5第 三 户 (20,30)M=25 (25,30)M=27.5 (30,30)M=30 (35,30)M=32.5 (40,30)M=35第 四 户 (20,35)M=27.5 (25,35)M=30 (30,35)M=32.5 (35,35)M=35 (40,35)M=37.5第 五 户 (20,40)M=30 (25,40)M=32.5 (30,40)M=35 (35,40)M=37.5 (40,40)M=40 样 本 （ n=2） 的 平 均 数 的 抽 样 分 布平 均 数 20 22.5 25 27.5 30 32.5 35 37.5 40次 数 1 2 3 4 5 4 3 2 1概 率 .04 .08 .12 .16 .20 .16 .12 .08 .04 样 本 (n=2)的 平 均 数 的 抽 样 分 布 图 0 0.05 0.1 0.15 0.2 20 25 30 35 40 0 0.05 0.1 0.15 0.2 20 25 30 35 40 不 同 总 体 情 况 下 的 抽 样 分 布 抽 样 分 布 的 定 理 设 总 体 X服 从 分 布 F(x)， （ X1， X2， ，Xn） 是 抽 自 该 总 体 的 一 个 简 单 随 机 样 本 ，总 体 均 值 与 样 本 均 值 、 总 体 方 差 与 样 本均 值 的 方 差 有 如 下 关 系 ： XXE )( nXD X 22)( 抽 样 分 布 的 定 理 从 总 体 中 随 机 抽 出 容 量 为 n的 一 切 可 能 样本 的 平 均 数 之 平 均 数 等 于 总 体 的 平 均 数 ； 从 总 体 中 随 机 抽 出 容 量 为 n的 一 切 可 能 样本 的 平 均 数 的 方 差 ， 等 于 总 体 方 差 除 以n 样 本 均 值 的 抽 样 分 布 （ 2已 知 ） 若 （ X1， X2， ， Xn） 是 抽 自 总 体 X的 一 个 容 量 为 n的 简 单 随 机 样 本 ， 则 依 据样 本 的 所 有 可 能 观 察 值 计 算 出 的 样 本 均值 的 分 布 ， 称 为 样 本 均 值 的 抽 样 分 布 。 样 本 均 值 的 抽 样 分 布 定 理 设 （ X1， X2， ， Xn） 是 抽 自 正 态 分布 总 体 XN(, 2)的 一 个 容 量 为 n的 简 单随 机 样 本 ， 则 其 样 本 均 值 也 是 一 个 正 态分 布 随 机 变 量 ， 且 有 样 本 均 值 的 抽 样 分 布 XXE )( nXD X 22)( ),( 2nNX )1,0(/ 2NnXZ 例 题 某 类 产 品 的 强 度 服 从 正 态 分 布 ， 总 体 平均 数 为 100， 总 体 标 准 差 为 5。 从 该 总 体中 抽 取 一 个 容 量 为 25的 简 单 随 机 样 本 ，求 这 一 样 本 的 样 本 均 值 介 于 99101的 概率 。 如 果 容 量 为 100呢 ？ 样 本 均 值 的 抽 样 分 布 （ 2已 知 ） 非 正 态 总 体 、 已 知 时 设 总 体 X的 均 值 和 2， 当 样 本 容 量 趋向 无 穷 大 时 ， 样 本 均 值 的 抽 样 分 布 趋 于正 态 分 布 ， 且 样 本 均 值 的 数 学 期 望 和 方差 分 别 为 XXE )( nXD X 22)( 例 题 某 类 产 品 的 强 度 不 服 从 正 态 分 布 ，总 体 平 均 数 为 100， 总 体 标 准 差 为 5。从 该 总 体 中 抽 取 一 个 容 量 分 别 为 25的 简 单 随 机 样 本 ， 求 这 一 样 本 的 样本 均 值 介 于 99101的 概 率 。 如 果 容量 为 100呢 ？ 参 数 估 计 用 样 本 统 计 量 的 来 估 计 相 应 总 体 参 数 ， 称为 参 数 估 计 判 断 估 计 量 优 劣 的 标 准 无 偏 性 有 效 性 一 致 性 充 分 性 参 数 估 计 的 基 本 方 式 点 估 计 用 某 一 样 本 统 计 量 的 值 来 估 计 相 应 总 体 参 数的 值 叫 总 体 参 数 的 点 估 计 。 区 间 估 计 以 样 本 统 计 量 的 抽 样 分 布 （ 概 率 分 布 ） 为 理论 依 据 ， 按 一 定 概 率 要 求 ， 由 样 本 统 计 量 的值 估 计 总 体 参 数 值 的 所 在 范 围 ， 称 为 总 体 参数 的 区 间 估 计 。 区 间 估 计示 意 图 区 间 估 计 的 基 础 抽 样 分 布 根 据 抽 样 分 布 的 原 理 ， 可 得 到 不 同 条 件下 总 体 参 数 的 区 间 估 计 的 计 算 方 法 区 间 估 计 涉 及 置 信 水 平 和 置 信 区 间 。 例 题 某 种 零 件 的 长 度 服 从 正 态 分 布 。 已 知 总体 标 准 差 =1.5厘 米 。 从 总 体 中 抽 取 100个 零 件 组 成 样 本 ， 测 得 它 们 的 平 均 长 度为 10.00厘 米 。 试 估 计 在 95%置 信 水 平 下 ，全 部 零 件 平 均 长 度 的 置 信 区 间 。 假 设 检 验 假 设 检 验 回 答 的 问 题某 总 体 平 均 水 平 有 无 显 著 变 化 ？两 总 体 平 均 水 平 有 无 显 著 差 异 ？多 个 总 体 平 均 水 平 有 无 显 著 差 异 ？两 个 或 多 个 总 体 方 差 有 无 显 著 差 异 ？ 以 上 ： 参 数 假 设 检 验某 总 体 是 否 服 从 正 态 分 布 （ 或 其 他 分 布 ） ？某 串 数 据 是 否 随 机 ？ 以 上 ： 非 参 数 假 设 检 验 非 参 数 假 设 检 验 举 例 单 样 本 游 程 检 验 某 食 堂 窗 口 前 排 队 性 别 规 律 性 ： F M F M F F F F F M M M F F M M F M F M F M F M F M F M F M F M F F F F F F F F M M M M M M M M M M M M M M M M F F F F F F F F F M F M F F F F F M M M F F M M F M F M F M F M F M F M F M F M F F F F F F F F M M M M M M M M M M M M M M M M F F F F F F F F 假 设 检 验 利 用 样 本 信 息 根 据 一 定 概 率 对 总 体 参 数 或 分 布 的 某 一 假 设 作 出 拒 绝 或 保 留 的 决 断 称 为 假 设 检 验 假 设 有 两 个 相 互 对 立 的 假 设 即 零 假 设 （ 或 称 原 假 设 、 虚 无 假 设 、 解 消 假设 ） 备 择 假 设 （ 或 称 研 究 假 设 、 对 立 假 设 ）假 设 检 验 是 从 零 假 设 出 发 ， 视 其 被 拒 绝 的 机会 ， 从 而 得 出 决 断 。 假 设 检 验示 意 图 显 著 性 水 平 拒 绝 零 假 设 的 概 率 称 为 显 著 性 水 平 。 显 著 性 水 平 和 可 靠 性 程 度 （ 置 信 水 平 ）之 间 的 关 系 是 ： 两 者 之 和 为 1。 双 侧 检 验 与 单 侧 检 验 双 侧 检 验 ： 零 假 设 为 无 显 著 差 异 的 情 况 ； 左 侧 检 验 ： 零 假 设 为 大 于 等 于 的 情 况 ； 右 侧 检 验 ： 零 假 设 为 小 于 等 于 的 情 况 。 例 题 某 小 学 历 届 毕 业 生 汉 语 拼 音 测 验 平 均 分数 为 66分 ， 标 准 差 为 10分 。 现 以 同 样 的试 题 测 验 应 届 毕 业 生 （ 假 定 应 届 与 历 届毕 业 生 条 件 基 本 相 同 ） ， 并 从 中 随 机 抽取 25份 试 卷 ， 算 得 平 均 分 为 69分 ， 问 该校 应 届 与 历 届 毕 业 生 汉 语 拼 音 测 验 成 绩是 否 一 样 ？ 统 计 决 断 的 两 类 错 误 第 一 类 型 的 错 误 错 误 拒 绝 了 属 于 真 实 的 零 假 设 。 这 种 错 误 的 可 能性 大 小 正 是 显 著 性 水 平 的 大 小 水 平 未 变 而 认 为 有 显 著 差 异 第 二 类 型 的 错 误 错 误 保 留 了 属 于 不 真 实 的 零 假 设 水 平 显 著 差 异 而 认 为 无 显 著 差 异 第 六 章 相 关 相 关 的 意 义 积 差 相 关 等 级 相 关 质 与 量 的 相 关 相 关 的 意 义 相 关 的 概 念 两 个 变 量 之 间 不 精 确 、 不 稳 定 的 变 化 关 系 称为 相 关 关 系 。 相 关 系 数 用 来 描 述 两 个 变 量 相 互 之 间 变 化 方 向 及 密 切程 度 的 数 字 特 征 量 称 为 相 关 系 数 。 一 般 用 r 表 示 。 正 相 关 负 相 关 零 相 关 相 关 系 数 相 关 系 数 的 值 ， 仅 仅 是 一 个 比 值 ， 不 等距 ） ， 也 不 是 百 分 比 ， 因 此 ， 不 能 直 接作 加 、 减 、 乘 、 除 。 相 关 不 等 于 因 果 ： 相 关 系 数 只 能 描 述 两个 变 量 之 间 的 变 化 方 向 及 密 切 程 度 ， 并不 能 揭 示 二 者 之 间 的 内 在 本 质 联 系 。 积 差 相 关 积 差 相 关 的 概 念 当 两 个 变 量 都 是 正 态 连 续 变 量 ， 而 且 两 者 之间 呈 线 性 关 系 ， 表 示 这 两 个 变 量 之 间 的 相 关称 为 积 差 相 关 。 积 差 相 关 系 数 的 定 义 和 计 算 协 方 差 是 积 差 相 关 系 数 的 基 础 ， 它 是 两个 变 量 离 差 乘 积 之 和 除 以 n所 得 之 商 。 其公 式 为 ： n YYXXn i ii 1 )(cov 积 差 相 关 系 数 的 定 义 和 计 算 积 差 相 关 系 数 是 协 方 差 除 以 两 个 变 量 的标 准 差 。 其 公 式 为 ： 用 原 始 数 据 直 接 计 算 ， 则 YXni ii SnS YYXXr 1 )( 211 2211 2 11 1 )()( )()( ni ini ini ini i ni ini ni iii YYnXXn YXYXnr 例 题 为 研 究 某 测 验 的 预 测 效 度 ， 在 被 录 取 的高 考 考 生 中 随 机 抽 取 10人 ， 测 得 他 们 的能 力 测 验 得 分 （ X） ,对 他 们 进 行 跟 踪 研究 ， 求 得 他 们 大 学 一 、 二 年 级 有 关 科 目平 均 分 数 （ Y） ,求 该 测 验 的 效 度 。X 74 71 80 85 76 77 77 68 74 74 756Y 82 75 81 89 82 89 88 84 80 87 837 等 级 相 关 等 级 相 关 是 指 以 等 级 次 序 排 列 或 以 等 级次 序 表 示 的 变 量 之 间 的 相 关 。 斯 皮 尔 曼 等 级 相 关 肯 德 尔 和 谐 系 数 斯 皮 尔 曼 等 级 相 关 概 念 及 其 适 用 范 围 当 两 个 变 量 值 以 等 级 次 序 排 列 或 以 等 级 次 序表 示 时 ， 两 个 相 应 总 体 并 不 一 定 呈 正 态 分 布 ，样 本 容 量 也 不 一 定 大 于 30， 表 示 这 两 个 变 量之 间 的 相 关 ， 称 为 斯 皮 尔 曼 等 级 相 关 。 斯 皮 尔 曼 等 级 相 关 系 数 的 计 算)1(61 21 2 nn Dr ni iR 例 题 为 了 研 究 儿 童 问 题 行 为 与 母 亲 耐 心 程 度的 关 系 ， 抽 取 10个 家 庭 ， 让 儿 童 与 其 母亲 一 起 完 成 一 件 需 要 相 互 配 合 才 能 完 成的 工 作 ， 观 测 并 纪 录 他 们 的 表 现 。 下 表为 儿 童 问 题 程 度 分 数 （ X） 与 母 亲 的 不 耐心 程 度 分 数 （ Y） ， 分 数 值 越 大 表 明 问 题或 不 耐 心 程 度 越 大 。 请 计 算 两 者 之 间 相关 系 数 ？X 72 40 52 87 39 95 12 64 49 46Y 79 62 53 89 81 90 10 82 78 70 例 题 相 关 系 数 ： 0.72 肯 德 尔 和 谐 系 数 当 多 个 （ 两 个 以 上 ） 变 量 值 以 等 级 次 序排 列 或 以 等 级 次 序 表 示 ， 这 几 个 变 量 之间 的 一 致 性 程 度 （ 即 相 关 ） ， 称 为 肯 德尔 和 谐 系 数 。 例 题学 生n=6 评 定 者1 2 3 4123456 342615 431526 213645 134526 肯 德 尔 和 谐 系 数 的 计 算 无 相 同 等 级 的 情 况 )(121 /)( 32 211 2 nnK nRRr ni ini iw 肯 德 尔 和 谐 系 数 的 计 算 有 相 同 等 级 的 情 况 Kj jni ini iw CKnnK nRRr 132 211 2 )(121 /)( li ll mmC 1 3 12/)( 质 与 量 的 相 关 质 与 量 的 相 关 是 指 一 个 变 量 为 质 ， 另 一个 变 量 为 量 ， 这 两 个 变 量 之 间 的 相 关 。 双 列 相 关 概 念 及 其 适 用 范 围 当 两 个 变 量 都 是 正 态 连 续 变 量 ， 其 中 一 个 变量 被 人 为 地 划 分 成 二 分 变 量 ， 表 示 这 两 个 变量 之 间 的 相 关 ， 称 为 双 列 相 关 。 双 列 相 关 的 使 用 条 件 是 ： （ 1） 两 个 变 量 都 是 连 续 变 量 ， 且 总 体 呈 正 态 分布 ， 或 接 近 正 态 分 布 ， 至 少 是 单 峰 对 称 分 布 。 （ 2） 两 个 变 量 之 间 是 线 性 关 系 （ 3） 二 分 变 量 是 人 为 划 分 的 ， 其 分 界 点 应 尽 量靠 近 中 值 。 （ 4） 样 本 容 量 应 大 于 80。 双 列 相 关 相 关 系 数 的 计 算YpqS XXr X qpb 点 双 列 相 关 概 念 及 其 适 用 范 围 当 两 个 变 量 其 中 一 个 是 正 态 连 续 性 变 量 ， 另一 个 是 真 正 的 二 分 名 义 变 量 ， 这 时 ， 表 示 这两 个 变 量 之 间 的 相 关 ， 称 为 点 双 列 相 关 。 有时 一 个 变 量 虽 然 并 非 真 正 的 二 分 变 量 ， 而 是双 峰 分 布 的 变 量 ， 也 可 以 用 点 双 列 相 关 来 表示 。 点 双 列 相 关 系 数 的 计 算pqS XXr X qppb 例 题 根 据 下 表 求 问 答 题 的 区 分 度考 生 A B C D E F G H I J问 答 题 得 分 7 6 7 4 7 4 4 4 7 6卷 面 总 分 75 57 73 65 67 56 63 61 65 67 例 题 根 据 下 表 求 选 择 题 的 区 分 度考 生 A B C D E F G H I J选 择 题 得 分 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1卷 面 总 分 75 57 73 65 67 56 63 61 65 67 例 题 答 案 问 答 题 的 区 分 度 ： 0.640 选 择 题 的 区 分 度 ： 0.372 多 系 列 相 关 概 念 及 其 适 用 范 围 当 两 个 变 量 都 是 正 态 连 续 变 量 ， 其 中 一 个 变量 按 不 同 质 被 人 为 地 分 成 多 种 类 别 （ 两 类 以上 ） 的 正 态 名 义 变 量 。 表 示 正 态 连 续 变 量 与多 类 正 态 名 义 变 量 之 间 的 相 关 ， 称 为 多 系 列相 关 。