中央电大《经济数学基础》课件

导数的计算经济数学基础 x1.4.1 函 数 连 续 性 的 概 念xxxxxx 00相 应 的 函 数 的 改 变 量 （ 增 量 ） :函 数 的 终 值 与 初 值 之 差 称 为 自 变 量 的 改 变 量 ， 记 为 )()()()( 0000 xfxxfxfxfyyy 1.改 变 量 （ 增 量 ） ：函 数 的 连 续 性y x0 x xx 0 )(xfy)( 0 xf x y0当 自 变 量 由 初 值 变 化 到 终 值 时 ， 终 值 与 初 值 之 差 称 为 自 变 量 的 改 变 量 ， 记 为0 x 0 xx)(xf )( 0 xf )()( 0 xfxf 定 义 1： 设 函 数 在 点 的 某 邻 域 内 有 定 义 ，当 自 变 量 在 点 处 有 增 量 时 ， 相 应 的 函 数 有 增 量 ,如 果 当 自 变 量 的 增 量 趋 于零 时 ， 函 数 的 增 量 也 趋 于 零 ， 即则 称 函 数 在 点 处 连 续 ， 点 称 为 函 数 的 连续 点 0 x)(xfy )()( 00 xfxxfy )(xfy lim lim ( ) ( )x xy f x x f x 0 00 0D DD D0 x 0 x0 x 2.连 续 x xy若 记 ， 则 ， 且 当 时 ， xxx 0 )()( 0 xfxfy 0 xx 故 定 义 1又 可 叙 述 为 注 ： )()(lim0lim 00 0 xfxfy xxx 定 义 2： 设 函 数 y = f (x)在 点 的 某 邻 域 内 有 定 义 ， 若有 ,则 称 函 数 y = f (x) 在 点 处 连 续 . lim ( ) ( )x x f x f x 0 0 x0（ 1） 定 义 1与 定 义 2是 等 价 的 , 即由 左 右 极 限 定 义 可 定 义 左 右 连 续 定 义（ 2） 由 定 义 2可 知 若 函 数 在 点 处 连 续 ， 则 函数 在 点 处 的 极 限 一 定 存 在 ， 反 之 不 一 定 连 续x0)(xf)(xf x0（ 3） 当 函 数 在 点 处 连 续 时 ， 求 时 ，只 需 求 出 即 可)(xf 0 x lim ( )x x f x 0)( 0 xf ( )y f x 定 义 3： 若 函 数 满 足 ， 则 称 函 数 在 点 处 左 连 续 。 同 理 可 以 定 义 右 连 续3、 左 右 连 续 )()(lim 00 xfxfxx 4、 区 间 连 续定 义 4： 若 函 数 在 （ a , b） 内 每 一 点 都 连 续 ， 则 称函 数 在 （ a , b） 内 连 续 。 )()()()()( 00 limlimlim 000 xfxfxfxfxf xxxxxx 由 定 理 3可 知 ： 函 数 在 点 处 连 续 既 左 连 续 又 右连 续 即 )(xf)(xf )(xf )(xf )(xf 0 x 证 明 y = sin x在 内 连 续例 1 2)2cos(2 0 xx证 ），（ 对 任 意 ),(0 x有 2sin)2cos(2 sin)sin( 0 00 xxx xxxy 因 为所 以 0lim 0 yx故 在 内 连 续),( xy sin 定 义 5 若 函 数 y = f(x)在 （ a , b） 内 每 一 点 都 连 续 ，且 在 左 端 点 a 处 右 连 续 ， 在 右 端 点 b处 左 连 续 ， 则 称 函数 y = f (x)在 a , b上 连 续 。 1.4.2 函 数 的 间 断 点 及 其 分 类连 续在 0)( xxf 处 有 意 义 。在 0)()1( xxf 则 一 定 满 足 以 下 条 件存 在)(lim)2( 0 xfxx )()(lim)3( 00 xfxfxx 如 果 f(x)在 点 不 能 满 足 以 上 任 何 一 个 条 件 ， 则 点 是 函 数 的 间 断 点 。)(xf1.可 去 间 断 点 ： )()(lim 00 xfAxfxx 如 果 函 数 在 点 的 极 限 存 在 ， 但 不 等 于 ， 即0 x )( 0 xf则 称 为 的 可 去 间 断 点 。0 x )(xf 0 x )1( )1()( 112 xk xxf xx例 2 )1(2 )1()()( xxxfx解 )1(2lim)(lim 1111 2 fxf xxxx 所 以 x =1为 可 去 间 断 点重 新 定 义 新 的 函 数 ：则 x=1成 为 函 数 的 连 续 点 2.1. 1.2. 0 )0( )0()(.1 211DC BA kx xk xxf x x （ ）处 连 续 ， 则在 已 知 函 数 2.1. 1.2. 0 )0(1 )0(1sin)(.2 DC BA kx xxkxxxf （ ）处 连 续 ， 则在 已 知 2.1. 1.2. 0 )0(1 )0(2sin)(.3 DC BA kx xxkxxxf （ ）处 连 续 ， 则在 已 知 2.1. 1.2. 0 )0(1 )0(3sin)(.4 DC BA kx xxkx xxf （ ）处 连 续 ， 则在 已 知 )(lim)(lim 00 xfxf xxxx 2.跳 跃 间 断 点 ：例 3 )21(1 )10()( xx xxxf所 以 x =1为 跳 跃 间 断 点1 1lim 1 lim( 1) 1x xx x 左 右 极 限 存 在 不 相 等 当 时 ， 函 数 值 不 断 地 在 两 点 之 间 跳动 ， 左 右 极 限 均 不 存 在3.无 穷 间 断 点 0 xx f(x)在 点 的 左 、 右 极 限 至 少 有 一 个 是 无 穷大 ， 则 称 为 f(x)的 无 穷 间 断 点 0 x 0 x例 4 x=0为 无 穷 间 断 点1y x4.振 荡 间 断 点例 5 1( ) sinf x xx=0是 其 振 荡 间 断 点 间 断 点 的 类 型 ：第 一 类 间 断 点 : 我 们 把 左 右 极 限 都 存 在 的 间 断 点 称 为 第 一 类 间 断 点 .第 二 类 间 断 点 : 除 第 一 类 以 外 的 间 断 点 ,即 左 右 极 限 至 少 有 一 个 不 存 在 的 间 断 点 称 为 第 二 类 间 断 点 . 例 6 )1()( 22 xx xxxf解 函 数 在 x= -1 , x = 0 , x = 1处 没 有 定 义所 以 x= -1 , x = 0 , x = 1是 函 数 的 间 断 点2 21lim ( 1)x x xx x 所 以 x = -1是 函 数 的 无 穷 间 断 点 2 22 2 1( 1)( 1)0 0 0 1( 1)( 1)0 0 0lim ( ) lim lim 1lim ( ) lim lim 1x x xx xx x xx x xx xx x xf xf x 所 以 x= 0是 函 数 的 跳 跃 间 断 点( )( ) 2 2 1 1( 1) 2( 1)1 1 1lim ( ) lim limx x xx xx x xf x 所 以 x= 1是 函 数 的 可 去 间 断 点20( 1)2 1(1 2 )1 ( 2 )xy x xx x 解 分 界 点 为 x =1,x =2 ,00lim)(lim 11 xx xf（ i） 当 x=1时 所 以 x= 1 是 函 数 的 跳 跃 间 断 点1 1lim ( ) lim(2 1) 3x xf x x ( )例 7 5)1(lim)(lim 5)12(lim)(lim 222 22 xxf xxf xx xx（ ii） 讨 论 x=2 而 f(2)=5 所 以 x= 2是 函 数 的 连 续 的 点因 此 ,分 段 函 数 的 分 界 点 是 可 能 间 断 点 设 函 数 y = f(u)在 点 处 连 续 ,u= f (x)在 点 处 连续 ,且 ,则 复 合 函 数 在 点 处 连 续 . 1.4.3 初 等 函 数 的 连 续 性 定 理 1 单 调 连 续 函 数 的 反 函 数 在 其 对 应 区 间 上 也 是 单 调连 续 函 数 。设 f(x),g(x)均 在 点 处 连 续 ,则 也 在 处 连 续0 x0( )( ) ( ), ,( ( ) 0)( )f xf x g x g xg x )()( xgxf 因 此 ,基 本 初 等 函 数 在 其 定 义 域 内 连 续 . 定 理 2定 理 3 )()(lim 00 xfxfxx 0 x0 0( )u x 0u 0 x ( )y f x即 ：因 此 ,一 切 初 等 函 数 在 其 定 义 区 间 内 连 续 . 2.1.1 引 出 导 数 概 念 的 实 例例 1 平 面 曲 线 的 切 线 斜 率 曲 线 的 图 像 如 图 所 示 ,在 曲 线 上 任 取 两 点 和 ， 作 割 线 ， 割 线 的 斜 率 为)(xfy 0 0( )M x ,y),( 00 yyxxN x xfxxfxykMN )()(tan 00MN 2.1 导 数 的 概 念 y xO ( )y f x M NTx 0 x xx 0 yP 这 里 为 割 线 MN的 倾 角 ， 设 是 切 线 MT的倾 角 ，当 时 ， 点 N沿 曲 线 趋 于 点 M。 若 上 式的极 限 存 在 ， 记 为 k， 则 此 极 限 值 k就 是 所 求 切线MT的 斜 率 ， 即 x xfxxfxyk xx x )()(limlim tanlimtan 0000 0 0 x y xO ( )y f x M NTx0 x xx 0 yP 当 趋 向 于 0时 ， 如 果 极 限设 某 产 品 的 总 成 本 C是 产 量 Q的 函 数 ， 即 C=C(Q )， 当 产量 Q 从 变 到 时 ， 总 成 本 相 应 地 改 变 量 为 当 产 量 从 变 到 时 ， 总 成 本 的 平 均 变 化 率0Q 0Q Q 0 0( ) ( )C C Q Q C Q Q0 0Q Q0 0( ) ( )C Q Q C QCQ Q 0 00 0 ( ) ( )lim limQ Q C Q Q C QCQ Q 存 在 ， 则 称 此 极 限 是 产 量 为 时 总 成 本 的 变 化 率 。0Q0Q 例 2 产 品 总 成 本 的 变 化 率 定 义 设 y=f(x)在 点 x0的 某 邻 域 内 有 定 义 ， 属 于 该 邻 域 ， 记 若存 在 ， 则 称 其 极 限 值 为 y = f (x)在 点 x0 处 的 导 数 ， 记 为xx 0),()( 00 xfxxfy xyx 0lim x xfxxfx )()(lim 000 .|dd,|dd,|)( 0000 xxxxxx xfxyyxf 或或或 .)()(limlim)( 00000 x xfxxfxyxf xx 或 2.1.2 导 数 的 概 念 三 、 导 数 的 几 何 意 义 当 自 变 量 从 变 化 到 时 ， 曲 线 y=f(x)上 的 点 由 变 到 ).(,( 00 xxfxxM 此 时 为 割 线 两 端 点 M0， M的 横 坐 标 之 差 ， 而 则 为 M0， M 的 纵 坐 标 之 差 ，所 以 即 为 过 M 0， M两 点的 割 线 的 斜 率 .0 x ).(,( 000 xfxMx yxy xx 0 M0 M0 x xx 0 曲 线 y = f (x)在 点 M0处 的 切 线 即 为 割 线 M0M当 M沿 曲线 y=f(x)无 限 接 近 时 的 极 限 位 置 M0P， 因 而 当 时 ， 割 线 斜 率 的 极 限 值 就 是 切 线 的 斜 率 .即 ： 0 xD 0 0( ) lim limtan tanx yf x kx 所 以 ， 导 数 的 几 何 意 义是 曲 线 y = f (x) 在 点 M0(x0,f(x0)处 的 切 线 斜 率 . )( 0 xf M0 M0 x xx 0 P0M 设 函 数 y=f(x)在 点 处 可 导 ， 则 曲 线 y=f(x)在点 处 的 切 线 方 程 为 ： 而当 时 ,曲 线 在 的 切 线 方 程 为 0 001( ) ( ).( )y f x x xf x 0 x x (即 法 线 平 行 y轴 ).0 x x 0 0 0( ) ( )( ).y f x f x x x 当 时 ,曲 线 在 的 法 线 方 程 为0( ) 0f x ( )f x 0M而 当 时 ,曲 线 在 的 法 线 方 程 为0( ) 0f x ( )f x 0M0( )f x ( )f x 0M 例 3 求 函 数 的 导 数解 : (1)求 增 量 : (2)算 比 值 : (3)取 极 限 : 同 理 可 得 :特 别 地 , . 2xy ( ) ( )y f x x f x 2 2 2( ) 2 ( )x x x x x x xxxy 2 xxx xyy xx 2)2(limlim 00 为 正 整 数 ）nnxx nn ()( 11 1( ) ( )x n 例 4 求 曲 线 在 点 处 的 切 线 与 法 线 方 程 .解 :因 为 ,由 导 数 几 何 意 义 ,曲 线 在 点 的 切 线 与 法 线 的 斜 率 分 别 为 : 于 是 所 求 的 切 线 方 程 为 :即法 线 方 程 为 : 3xy )8,2(23 3)( xx 3xy )8,2( 1211,12)3( 122221 kkxyk xx )2(128 xy01612 yx )2(1218 xy即 09812 yx 设 函 数 u(x)与 v(x) 在 点 x处 均 可 导 ， 则 :定 理 一 );()()()()1( xvxuxvxu ),()()()()()()2( xvxuxvxuxvxu uCCuCCxv ) (,()(, 则为 常 数 ）特 别 地 2)( )()()()()( )()3( xv xvxuxvxuxv xu ( ) 1,u x 2.2.1 函 数 的 和 、 差 、 积 、 商 的 求 导 法 则2.2 导 数 的 运 算特 别 地 ,如 果可 得 公 式 21 ( ) ( ( ) 0)( ) ( )v x v xv x v x wvuwvu )(注 ： 法 则 （ 1） （ 2） 均 可 推 广 到 有 限多 个 可 导 函 数 的 情 形 wuvwvuvwuuvw )(例 ： 设 u=u(x),v=v(x),w=w(x)在 点 x处 均可 导 ， 则 )3lnsin( 3 xexy x解 ： )3(ln)(sin)()( 3 xex x xex x cos3 2 例 2 设 5 2 ,xy x y 求 )(52)(5 xx 2xx解 ： )25( xxy 2ln252 25 xx xx yxexy x ， 求设 3lnsin3例 1 )(tan xy )cossin( xx解 ： x xxxx 2cos )(cossincos)(sin x xx 2 22cos sincos xx 22 seccos1 即 2(tan ) secx x 2(cot ) cscx x 类 似 可 得 例 3 求 y = tanx 的 导 数 )cos1( xxx2cossin )(sec xy解 ： xx tancos1 xx tansec 即 (sec ) sec tanx x x (csc ) csc cotx x x 类 似 可 得例 4 求 y = secx 的 导 数 基 本 导 数 公 式 表为 常 数 ）CC (0).(1 为 常 数 ） ().(2 1 xx axxa ln1).(log3 14.(ln )x x xx ee ).(6xx cos).(sin7 xx sin).(cos8 2.2.2 基 本 初 等 函 数 的 导 数aaa xx ln)(5 . xxx 22 cos1sec).(tan9 xxx 22 sin1csc).(cot10 xxxxxx xxxxxx xxxx xxxxxy x xx x xx x xxx sincos65)110( 10ln10)1()110(10 )sin(cos65()110( 10ln10)1()110(10 )cos()110( )110)(1()110()1( cos110 1 65612109 65612109 6521010 3 210 xyxy xyxy xyx xexey eyxyey xx xx 22 222 sinsin sinsinsin lnln ln)1( cossin sin2 1ln2sin 2 xyey x 22 )12(6 )sin2()sin2(3 222 xxxx )cos4()sin2(3 22 xxxx 22 )cos4()sin2(3 22 xx xxxxy 2,)sin2( 32 xyxxy 求设例 5 )sin2( 32 xxy xu xuy )1()(sin 2 xu 2cos )1cos(2 2xx 例 7 yxy 求,2lnsin 22 2lncos 2 2 x xx xxxxy 222 1212lncos 222 解 ： 解 ： 复 合 而 成可 看 作 22 1,sin)1sin( xuuyxy yxy 求),1sin( 2例 6 )1ln( 2)1( xxx exyy 2可 以 写 成函 数解 一 )1ln( 2 xxey )1ln( 2)1ln( 2 xxe xx )1(1)1ln( 222)1ln( 2 xxxxe xx 2222 12)1ln()1( xxxx x yxy x 求设 ,)1( 2例 11 )1ln(ln 2xxy 两 边 对 x求 导 ， 由 链 导 法 有 xxxxyy 21)1ln(1 22 222 12)1ln( xxx 2222 12)1ln()1( xxxxy x 解 二 称 为 对 数 求 导 法 ， 可 用 来 求 幂 指 函 数 和 多 个 因子 连 乘 积 函 数 、 开 方 及 其 它 适 用 于 对 数 化 简 的 函 数 的 求 导注 ： 两 边 取 自 然 对 数将 函 数 xxy )1( 2解 二 dxdydxddxyd 22即 ,)( yy )()( xfxf 或,y记 作 ),(xf 22dxyd或二 阶 导 数 ： )(xfy 如 果 函 数 f(x)的 导 函 数 仍 是 x的 可 导函 数 ， 就 称)(xfy 的 导 数 为 f(x)的 二 阶 导 数 ，n阶 导 数 ： ( ) ( )( ) ( )n n nnd d d d yf x f x ydxdx dx dx 二 阶 及 二 阶 以 上 的 导 数 统 称 为 高 阶 导 数高 阶 导 数 的 计 算 ： 运 用 导 数 运 算 法 则 与 基 本 公 式 将 函数 逐 次 求 导2.2.6 高 阶 导 数 2 2)(dxx f d ,lnaay x解 ： nxn aay )(ln)( ,)(ln 2aay x ,特 别 地 ,)( xx ee xnx ee )()(,)( xx ee ,例 15 )(,sin nyxy 求设 )2sin( xy )2cos( x )22sin( x解 ： )(sin xy xcos )2sin( x )22sin( xy )23sin( x )2sin()( nxy n 即 ( )(sin ) sin( )2nx x n 同 理 ( )(cos ) cos( )2nx x n )(, nx yay 求设 例 14 解 如 图 ， 正 方 形 金 属 片 的 面积 A 与 边 长 x 的 函 数 关 系为 A = x2 , 受 热 后 当 边 长 由x0伸 长 到 x0+ 时 , 面 积 A相 应 的 增 量 为 x2.3.1 微 分 的 概 念例 1 设 有 一 个 边 长 为 x0的 正 方 形 金 属 片 ， 受 热 后 它 的边 长 伸 长 了 ， 问 其 面 积 增 加 了 多 少 ？x 2 0 x A 0 x x x 0 x x 0 x 2 x 202020 )(2)( xxxxxxA 2.3 微 分 的 线 性 函 数 同 阶 的 无 穷 小 ；时 与是 当 xxxx 0,2 0从 上 式 可 以 看 出 ，xA 是分 成 两 部 分 ： 第 一 部 分 xA 是分 成 两 部 分 ： 第 一 部 分高 阶 的 无 穷 小 。时 比是 当第 二 部 分 xxx 0,)( 2这 表 明 的 近 似 值 ：数 作 为很 小 时 ， 可 用 其 线 性 函 Ax 02 .A x x 这 部 分 就 是 面 积 A 的 增 量 的 主 要 部 分 （ 线 性 主 部 ）,2)()( 020 0 xxx xx A因 为所 以 上 式 可 写 成 0( ) .A A x x )()( 00 xfxxfy 可 以 表 示 为定 义 设 函 数 )(xfy 在 点 0 x 的 某 邻 域 内 有 定 义 ，处 的 增 量0 x在 点)(xf如 果 函 数 ),( xoxAy 0 0 d | d | .x x x xy y A x， 即 于 是 ,（ 2.3.1)式 可 写 成 0 xxdAA 处 的 微 分 ，0 x)(xfxA 可 微 ， 称 为 在 点 0 x 处在 点)(xf高 阶 的 无 穷 小 ， 则 称 函 数 时0 x)( xo x其 中 A是 与 无 关 的 常 数 ， 是 当比 x记 为 由 微 分 定 义 ， 函 数 f (x)在 点 x0处 可 微 与 可 导 等 价 ，且 0( )A f x ,因 而 )(xf 在 点 x0 处 的 微 分 可 写 成0 0d ( )x xy f x x 0 0d ( )dx xy f x x 于 是 函 数通 常 把 x 记 为 ， 称 自 变 量 的 微 分 ，上 式 两 端 同 除 以 自 变 量 的 微 分 ， 得 d ( )dy f xx 因 此 导 数 也 称 为 微 商 可 微 函 数 ： 如 果 函 数 在 区 间 (a , b)内 每 一 点 都 可 微 ， 则 称 该 函 数 在 (a , b)内 可 微 。d ( )dy f x xf (x)在 点 x0 处 的 微 分 又 可 写 成dxf(x) 在 (a,b)内 任 一 点 x处 的 微 分 记 为 解 ： 0201.0101.1)( 2222 xxxy例 2 求 函 数 y=x2 在 x=1, 01.0 x 时 的 改 变 量 和 微 分 。于 是 1 10.01 0.01d 2 0.02x xx xy x x 面 积 的 微 分 为 d 2 .rs s r r r .)(2)( 222 rrrrrrs 解 ： 面 积 的 增 量面 积 的 增 量 与 微 分 r当 半 径 增 大2rs 例 3 半 径 为 r的 圆 的 面 积 时 ， 求 2d ( ) 2y x x x x 在 点 1x 处 ， 2.3.2 微 分 的 几 何 意 义 x当 自 变 量 x有 增 量 时 ，切 线 MT 的 纵 坐 标 相 应 地 有 增 量tan ( ) dP x f x x y Q ( , )M x y因 此 ， 微 分 d ( )y f x x 几 何 上 表 示 当 x有 增 量 x 时 ， 曲 线 ( )y f x 在 对 应 点处 的 切 线 的 纵 坐 标 的 增 量 y用 d y近 似 代 替dy y PN 就 是 用 QP近 似 代 替 QN， 并 且tan ( )f x 设 函 数 y = f (x)的 图 形 如 下 图 所 示 .过 曲 线 y = f (x)上 一 点M(x,y)处 作 切 线 MT,设 MT的 倾 角 为 则, y( )y f x M NO xy dyx x x QP 2.3.3 微 分 的 运 算 法 则1. 微 分 的 基 本 公 式 ：(1) d 0 ( )C C为 常 数1(2) d d ( ) a ax ax x a 为 常 数(4) de e dx x x 1(6) dln dx xx(8) dcos sin dx x x (3) d ln d ( 0 1)x xa a a x a ,a 1 1(5) dlog d ( 0 1)lna x x a ,ax a (7) dsin cos d x x x 2(10) dcot csc dx x x2(9) d tan sec dx x x续 前 表 解 ： )32(322 1)32( 222 xxxxydd 2326 xx26d d .2 3xy xx 解 ： 对 方 程 两 边 求 导 ， 得 04222 yyyxyx )(xfy d y的 导 数 dd yx 与 微 分例 5 求 由 方 程 122 22 yxyx 所 确 定 的 隐 函 数即 导 数 为 xy yxy 微 分 为 d dx yy xy x 例 4 .,32 2 yxyxy ddd 与求设 2.3.4 微 分 在 近 似 计 算 中 的 应 用0 0 0( ) ( ) d ( )y f x x f x y f x x 或 写 成 0 0 0( ) ( ) ( ) .f x x f x f x x （ 1）上 式 中 令 0 0 xx （ 2）0 0 0( ) ( ) ( ) ( ).f x f x f x x x ， 则特 别 地 ,当 x0=0， x 很 小 时 ,有( ) (0) (0)f x f f x （ 3）公 式 (1) (2) (3)可 用 来 求 函 数 f(x)的 近 似 值 。0( ) 0f x ， 且 x 很 小 时 ， 我 们 有 近 似 公 式 在 x0 点 的 导 数( )y f x由 微 分 的 定 义 可 知 ， 当 函 数 注 ： 在 求 )(xf 的 近 似 值 时 ， 要 选 择 适 当 的 0 x ， 使)( 0 xf ， )( 0 xf 容 易 求 得 ， 且 0 xx 较 小 应 用 （ 3） 式 可 以 推 得 一 些 常 用 的 近 似 公 式 ,当x 很 小 时 ,有(1) xx sin （ 用 弧 度 作 单 位 ）(3) xex 1(4) xx )1ln( (5) xnxn 111 (2) xx tan ( 用 弧 度 作 单 位 ） 例 6 .46sin 的 近 似 值计 算 则 18010 xx解 : 设 ,sin)( xxf 取 46x ， 4450 x于 是 由 （ 2） 式 得 ).(cossinsin 000 xxxxx 719.01802222 1804cos4sin46sin 即 求下列函数的导数1xx10 y,y5ln2x5y.1 求 )5(ln2x5 )5ln2x5(y x10 x10 解 2ln2x50 02ln2x5 x9 x10 2ln250 2ln2x50y 1xx91x xsinxy.2 3 xsinxxsinxy 33解 xcosxxsinx3 32 dy1xxy.3 2 求解 ： 222 )1x( )1x(x)1x()x(y 22)1x( x21.x)1x(x2 2 2)1x(x2 x)1x(xx4 22 )1x(x2 xx4x3 22 )1x(x2 xx4x3 dxydy dx)1x(x2 xx4x3 22 yey.4 xsin 求 xsinuey u )x(sin)e(uyy uxu xcosexcose xsinu ee xcosexsin)e(y xsinxsin ee cossin yey xsin 求 2 1 1ln alnaa 解 ： yxxey.5 x1 求 )xx()e(y x1 )x()e( 23x1 21x1 x23)x1.(e 21x12 x23ex1 0 x1x2x yey.6 2 求 )1x2x.(ey 21x2x2 解 ： 1x2x2e)x1(2 )2x2.(e 1x2x2 e2e2e)01(2y 1100 x y,bxsiney.7 ax 求 )bx.(bxcos.ebxsin)ax.(ey axax b.bxcos.ebxsina.e axax 解 ： )bxcosbbxsina(e ax 0y)ecos(lny.8 x 求 )e(cos)ecos(1y xx解 xx etan.e )e).(esin()ecos(1 xxx 1tane0y 0y1xey.9 y 求解 ： 方 程 两 端 同 时 对 x求 导 。1)xe(y y yy e)xe1(y 0y.xeey yy yyxe1 ey 又 x=0时 ， 代 入 原 方 程 y=1ee01 ey 0 x dy0 x3xyyx.10 22 求解 ： 方 程 两 端 同 时 对 x求 导 。 03)yxy1(y.y2x2 03yxyyy2x2 3x2y)xy2(y xy2 3x2yy dx3y2 3x2ydxydy