电磁场与电磁波第8章平面电磁波

第 八 章 平 面 电 磁 波 主 要 内 容 理 想 介 质 中 的 平 面 波 、 平 面 波 极 化 特 性 、 平 面 边 界上 的 正 投 射 、 任 意 方 向 传 播 的 平 面 波 的 表 示 、 平 面 边 界上 的 斜 投 射 、 各 向 异 性 介 质 中 的 平 面 波1. 波 动 方 程2. 理 想 介 质 中 平 面 波3. 导 电 介 质 中 平 面 波4. 平 面 波 极 化 特 性5. 平 面 波 对 平 面 边 界 正 投 射 6. 平 面 波 对 多 层 边 界 上 正 投 射7. 任 意 方 向 传 播 的 平 面 波8. 平 面 波 对 理 想 介 质 边 界 斜 投 射9. 无 反 射 与 全 反 射10. 平 面 波 对 导 电 介 质 表 面 斜 投 射11. 平 面 波 对 理 想 导 电 表 面 斜 投 射12. 等 离 子 体 中 的 平 面 波13. 铁 氧 体 中 的 平 面 波 1. 波 动 方 程 在 无 限 大 的 各 向 同 性 均 匀 线 性 介 质 中 ， 时 变电 磁 场 的 方 程 为 ),(),(),( ),(1),(),(),( 222 222 tt tt tt tt tt rJrHrH rrJrErE 上 式 称 为 非 齐 次 波 动 方 程 。 式 中 ),(),(),( ttt rErJrJ 电 荷 体 密 度 (r, t)与 传 导 电 流 (E ) 的 关 系 为t )( E 0),(),( 0),(),( 222 222 t tt t tt rHrH rErE 此 式 称 为 齐 次 波 动 方 程 。 对 于 研 究 平 面 波 的 传 播 特 性 ， 仅 需 求 解 齐 次 波动 方 程 。 若 无 外 源 ( )， 且 为 理 想 介 质 ( )， 此 时 传导 电 流 为 零 ， 自 然 也 无 体 分 布 的 时 变 电 荷 ( )， 则上 述 波 动 方 程 变 为 0J 0 0 对 于 正 弦 电 磁 场 ， 则 上 式 变 为 0)()( 0)()( 22 22 rHrH rErE kk此 式 称 为 齐 次 矢 量 亥 姆 霍 兹 方 程 ， 式 中 ， 。 k在 直 角 坐 标 系 中 ， 各 个 分 量 分 别 满 足 下 列 方 程 ： 0)()( 0)()( 0)()( 22 22 22 rr rr rr zz yy xx EkE EkE EkE 0)()( 0)()( 0)()( 22 22 22 rr rr rr zz yy xx HkH HkH HkH这 些 方 程 称 为 齐 次 标 量 亥 姆 霍 兹 方 程 。 由 于 各 个 分 量 方 程 结 构 相 同 ， 其 解 具 有 同 一 形 式 。 若 场 量 仅 与 z 变 量 有 关 ， 则 可 证 明 。0 zz HE0 ,0 HE因 ， 得 0 zHzE zz代 入 标 量 亥 姆 霍 兹 方 程 ， 即 知 0 zz HE考 虑 到 0222222222 zHzHyHxHH zzzzz 0222222222 zEzEyExEE zzzzz zHzHyHxH zEzEyExE zzyx zzyxHE若 场 量 与 变 量 x 及 y 无 关 ， 则 2. 理 想 介 质 中 平 面 波 正 弦 电 磁 场 在 无 外 源 的 理 想 介 质 中 满 足 下 列 方 程 0)()( 0)()( 22 22 rHrH rErE kk若 电 场 强 度 E 仅 与 z 有 关 ， 则 不 可 能 存 在 z 分 量 。 令 电 场 强 度 方 向 为 x 方 向 ， 即 ， 则磁 场 强 度 H 为 xxEeE j j ( )x xE H E ej j( ) ( )x x x x x xE E E e e e x x x xx x y z zE E E EE x y z z e e e e因 zEH xy jyyxy HzE eeH j得 已 知 Ex 满 足 齐 次 标 量 亥 姆 霍 兹 方 程 ， 考 虑 到0 yExE xx这 是 一 个 二 阶 常 微 分 方 程 ， 其 通 解 为 kzxkzxx EEE j0j0 ee 上 式 第 一 项 代 表 向 正 z 轴 方 向 传 播 的 波 ， 第 二 项 反 之 。0dd 222 xx EkzE j ( )x xE H e 首 先 仅 考 虑 向 正 z 轴 方 向 传 播 的 波 ， 即 kzxx EzE j0e)( 式 中 ， Ex0 为 z = 0 处 电 场 强 度 的 有 效 值 。瞬 时 值 为 0( , ) 2 cos( )x xE z t E t kz 电 场 强 度 随 着 时 间 t 及 空 间 z 的 变 化 波 形 如 图所 示 。 42 Tt 可 见 ， 电 磁 波 向 正 z 方 向 传 播 。t1 = 0Ex(z, t) zO 232 23 Tt 上 式 中 t 称 为 时 间 相 位 。 kz 称 为 空 间 相 位 。) sin(2),( 0 kztEtzE xx 空 间 相 位 相 等 的 点 组 成 的 曲 面 称 为 波 面 。 由 上 式 可 见 ， Z = 常 数 的 平 面 为 波 面 。 因 此 ，这 种 电 磁 波 称 为 平 面 波 。 因 Ex(z)与 x, y 无 关 ， 在Z = 常 数 的 波 面 上 ， 各 点 场 强振 幅 相 等 。 因 此 ， 这 种 平 面波 又 称 为 均 匀 平 面 波 。 时 间 相 位 t 变 化 2 所 经 历 的 时 间 称 为 周 期 ( T )。2 T空 间 相 位 kz 变 化 2 所 经 过 的 距 离 称 为 波 长 ( ) 。2k频 率 描 述 电 磁 波 的 相 位 随 时 间 的 变 化 特 性 。k 表 示 单 位 长 度 内 的 相 位 变 化 ， 因 此 称 为 相 位 常 数 。波 长 描 述 电 磁 波 的 相 位 随 空 间 的 变 化 特 性 。一 秒 内 相 位 变 化 2 的 次 数 称 为 频 率 ( f )。fT 12 k22k 2k 空 间 相 位 变 化 2 相 当 于 一 个 全 波 ， k 的 大 小又 可 衡 量 单 位 长 度 内 具 有 的 全 波 数 目 ， 所 以 k 又 称为 波 数 ， 还 可 称 为 空 间 频 率 。 根 据 相 位 不 变 点 的 轨 迹 变 化 可 以 计 算 电 磁 波 的相 位 变 化 速 度 ， 这 种 相 位 速 度 以 vp 表 示 。 令 ， 得 ， 则 相 位 速 度 为 t kz 常 数 0 dd zkt ktzv dd p相 位 速 度 又 简 称 为 相 速 。 考 虑 到 ， 得 k cc rrrr00 11 1p kv 理 想 介 质 中 相 速 通 常 小 于 真 空 中 的 光 速 。在 理 想 介 质 中 ， 相 速 与 介 质 特 性 有 关 。 有 时 。 因 此 ， 相 速 不 一 定 代 表 能 量 传 播速 度 。 cv p p 1v fv p 由 上 可 得 平 面 波 的 频 率 是 由 波 源 决 定 的 ， 但 是 平 面 波 的相 速 与 介 质 特 性 有 关 。 因 此 ， 平 面 波 的 波 长 与 介 质特 性 有 关 。 rr0rr00p 1 ffv由 上 求 得式 中 000 1 f0 为 平 面 波 在 真 空 中 传 播 时 的 波 长 。 的 现 象 称 为 波 长 缩 短 效 应 ， 或 简 称 为 缩 波效 应 。 0 0由 可 得zEH xy j kzykzxy HEH j0j0 ee 00 xy EH 可 见 ， 在 理 想 介 质 中 ， 电 场 与 磁 场 相 位 相 同 ，且 两 者 空 间 相 位 均 与 变 量 z有 关 ， 但 振 幅 不 会 改 变 。 上 图 表 示 时 刻 ， 电 场 及 磁 场 的 空 间 变 化 特 性 。0t 电 场 强 度 与 磁 场 强 度 之 比 称 为 电 磁 波 的 波 阻 抗 ，以 Z 表 示 , 实 数当 平 面 波 在 真 空 中 传 播 时 ， 波 阻 抗 以 Z0表 示 ， 则 00 0 377 120 Z yxHEZ即 Ex HyO z 均 匀 平 面 波 的 磁 场 强 度 与 电 场 强 度 之 间 的 关 系又 可 用 矢 量 形 式 表 示 为 xzy Z EeH 1 zyx Z eHE 或 ExH y z 对 于 传 播 方 向 而 言 ， 电 场 及 磁 场 仅 具 有 横 向分 量 ， 因 此 称 为 横 电 磁 波 ， 或 称 为 TEM波 。 以 后将 会 遇 到 在 传 播 方 向 上 具 有 电 场 或 磁 场 分 量 的 非TEM波 。 均 匀 平 面 波 是 TEM波 ， 只 有 非 均 匀 平 面 波 才 可形 成 非 TEM波 ， 但 是 TEM波 也 可 以 是 非 均 匀 平 面 波 。T Transverse 复 能 流 密 度 矢 量 Sc 2020*c yzxzyx ZHZE eeHES 复 能 流 密 度 矢 量 为 实 数 ， 虚 部 为 零 。 这 就 表 明 ，电 磁 波 能 量 仅 向 正 z 方 向 单 向 流 动 。若 沿 能 流 方 向 取 出 一 个 圆 柱 体 ， 如 图 所 示 。 l S A 设 圆 柱 体 中 能 量 密 度 为wav， 能 流 密 度 的 平 均 值 为 Sav，则 柱 中 总 储 能 为 (w av Al)， 单 位时 间 内 穿 过 端 面 A 的 总 能 量为 (Sav A)。 l S A式 中 比 值 代 表 单 位 时 间 内 的 能 量 位 移 ， 因 此 该比 值 称 为 能 量 速 度 ， 或 简 称 能 速 ， 以 ve 表 示 。tl 若 圆 柱 体 中 全 部 储 能 在 t 时 间 内 全 部 穿 过 端 面 A ， 则lAwAtS avav tlAwtlAwAS avavav avave wSv 求 得又 知 ， ， 代 入 上 式 得 ZES x20av 20eavav 2 xEww pe 1 vv 在 理 想 介 质 中 均 匀 平 面 波 的 波 面 是 无 限 大 的 平 面 ， 波 面 上 各 点的 场 强 振 幅 又 均 匀 分 布 ， 因 而 波 面 上 各 点 的 能 流 密 度相 同 ， 可 见 这 种 均 匀 平 面 波 具 有 无 限 大 的 能 量 。 因 此 ，实 际 中 不 可 能 存 在 这 种 均 匀 平 面 波 。 当 观 察 者 离 开 波 源 很 远 时 ， 因 波 面 很 大 ， 若 观 察者 仅 限 于 局 部 区 域 ， 则 可 以 近 似 作 为 均 匀 平 面 波 。 利 用 空 间 傅 里 叶 变 换 ， 可 将 非 平 面 波 展 开 为 很 多平 面 波 之 和 。 例 已 知 均 匀 平 面 波 电 场 强 度 的 瞬 时 值 为 V/m ) 2106sin(220) ,( 8 zttz x eE试 求 ： 频 率 及 波 长 ； 电 场 强 度 及 磁 场 强 度 的复 矢 量 ； 复 能 流 密 度 矢 量 ； 相 速 及 能 速 。 解 V/m e20)( 2j zxz eE ； A/me611)( 2j0 zyzZz eEeH 2*c W/m310zeHES m/s 103 8ep kvv ；8 86 10 Hz 3 10 Hz2 2f 2 2m 1 m2k 电 磁 波 的 波 段 划 分 及 其 应 用 名 称 频 率 范 围 波 长 范 围 典 型 业 务甚 低 频 VLF超 长 波 330kHz 10010km 导 航 ， 声 呐低 频 LF长 波 ， LW 30300kHz 101km 导 航 ， 频 标中 频 MF中 波 , MW 3003000kHz 1km100m AM, 海 上 通 信高 频 HF短 波 , SW 330MHz 100m10m AM, 通 信甚 高 频 VHF超 短 波 30300MHz 101m TV, FM, MC特 高 频 UHF微 波 3003000MHz 10010cm TV, MC, GPS超 高 频 SHF微 波 330GHz 101cm SDTV, 通 信 ,雷 达极 高 频 EHF微 波 30300GHz 101mm 通 信 , 雷 达 光 频 光 波 150THz 3000.006m 光 纤 通 信 中 波 调 幅 广 播 （ AM） ： 5501650kHz短 波 调 幅 广 播 （ AM） ： 230MHz调 频 广 播 （ FM） ： 88108MHz电 视 频 道 （ TV） ： 50100MHz ; 170220MHz 470870MHz无 绳 电 话 (Cordless Phone): 50MHz; 900MHz; 2.4GHz ; 5.8GHz蜂 窝 电 话 (Cellular Phone): 900MHz; 1.8GHz; 1.9GHz卫 星 直 播 : SDTV: 46GHz; 1214GHz. SDB: 1214GHz全 球 卫 星 定 位 系 统 （ GPS） ： L 1 =1575.42MHz L2 =1227.60MHz, L3 =1176.45MHz光 纤 通 信 ： 1.55m ， 1.33m ， 0.85m ISM波 段 ： 902928MHz， 2.42.4835GHz， 5.7255.850GHz 3. 导 电 介 质 中 平 面 波 若 0 ， 则 在 无 外 源 (J = 0 ) 区 域 中EEH j 令 je 式 中 e 称 为 等 效 介 电 常 数 。 由 此 推 知 导 电 媒 质 中 正 弦 电 磁 场 应 满 足 下 列 齐 次矢 量 亥 姆 霍 兹 方 程 0 0e22 e22 HH EE E)j(j EH ej )j(ec k令 若 仍 然 令 ， 且 ， 则 只 要以 kc 代 替 k 即 可 求 得 其 解 为 xxE eE 0 yExE xx zkxx EE cj0e因 常 数 kc 为 复 数 ， 令 kkk jc求 得 112 2 k 112 2 k则 0 0e22 e22 HH EE 0 02c2 2c2 HH EE kk zkzkxzkxx EEE j0j0 eee c电 场 强 度 可 表 示 为上 式 表 明 电 场 强 度 的 振 幅 随 z 增 加 不 断 衰 减 ， 相 位逐 渐 滞 后 。相 速 为 112 1 2p kv可 见 ， 相 速 不 仅 与 介 质 参 数 有 关 ， 还 与 频 率 有 关 。 k 称 为 相 位 常 数 ， 单 位 为 rad/m； k 称 为 衰 减常 数 ， 单 位 为 Np/m， 而 kc 称 为 传 播 常 数 。 波 长 为 112 22 2 k 波 长 不 仅 与 介 质 参 数 有 关 ， 而 且 与 频 率 的 关 系 是非 线 性 的 。 各 个 频 率 分 量 以 不 同 的 相 速 传 播 ， 经 过 一 段 距 离后 ， 各 个 频 率 分 量 之 间 的 相 位 关 系 将 发 生 变 化 ， 导 致信 号 失 真 ， 这 种 现 象 称 为 色 散 。 所 以 导 电 介 质 又 称 为色 散 介 质 。 112 1 2p kv 波 阻 抗 为 j1ecZ 复 数复 数 波 阻 抗 表 明 电 场 强 度 与 磁 场 强 度 不 同 相 。磁 场 强 度 为 zEH xy j zkxEk cj0c e zkzkxE j0 ee)j1( 可 见 ， 磁 场 的 振 幅 也 不 断 衰 减 ， 且 与 电 场 强 度 的相 位 不 同 。 因 为 电 场 强 度 与 磁 场 强 度 的 相 位 不 同 ， 复 能 流密 度 的 实 部 及 虚 部 均 不 会 为 零 ， 这 就 表 明 平 面 波 在导 电 介 质 中 传 播 时 ， 既 有 单 向 流 动 的 传 播 能 量 ， 又有 来 回 流 动 的 交 换 能 量 。 HyExO z 第 一 ， 若 ， 如 低 电 导 率 的 介 质 ， 可 以 近似 认 为 22 2111 k 2k c Z那 么 可 见 ， 电 场 强 度 与 磁 场 强 度 同 相 ， 但 两 者 振 幅仍 不 断 衰 减 。 电 导 率 愈 大 ， 则 振 幅 衰 减 愈 大 。 第 二 ， 若 ， 如 良 导 体 ， 可 以 近 似 认 为 21 2 fkk fZ )j1(jc 那 么可 见 ， 电 场 强 度 与 磁 场 强 度 不 同 相 ， 且 因 很 大 ，振 幅 发 生 急 剧 衰 减 ， 以 致 于 电 磁 波 无 法 进 入 良 导 体深 处 ， 这 种 现 象 称 为 集 肤 效 应 。 fk 11 集 肤 深 度1ee k令 4103f /MHz 0.05 1 /mm 29.8 0.066 0.000 38 一 定 厚 度 的 金 属 板 即 可 屏蔽 高 频 时 变 电 磁 场 。 对 应 于 比 值 的 频 率 称 为 界限 频 率 ， 它 是 划 分 介 质 属 于 低 耗 介 质或 导 体 的 界 限 。 1 31015 41011 16109.16 16104.104 介 质 频 率 / MHz干 土 2.6 (短 波 )湿 土 6.0 (短 波 )淡 水 0.22 (中 波 )海 水 890 (超 短 波 )硅 (微 波 ) 锗 (微 波 )铂 (光 波 )铜 (光 波 ) 可 见 ， 非 理 想 介 质 中 以 位 移 电 流 为 主 ，良 导 体 中 以 传 导 电 流 为 主 。考 虑 到 EJEJ j , d 电 导 率 引 起 热 损 耗 ， 所 以 导 电 介 质 又 称 为有 耗 介 质 ， 而 理 想 介 质 又 称 为 无 耗 介 质 。 考 虑 到 极 化 损 耗 和 磁 化 损 耗 时 ， 介 电 常 数 及磁 导 率 皆 为 复 数 ，复 介 电 常 数 和 复 磁 导 率 的 虚 部 代 表 损 耗 。非 铁 磁 性 物 质 可 以 不 计 磁 化 损 耗 。 对 于 频 率 低 于 微 波 的 电 磁 波 ， 介 质 的 极 化 损耗 也 可 不 计 。损 耗 正 切 tan ,tan me j j即 解 10 Hz105 76 f 1180801036110 4 97 良 导 体rad/m 89.8 fk Np/m 89.8 fk求 得 例 已 知 向 正 z 方 向 传 播 的 均 匀 平 面 波 的 频 率 为 5 MHz ， 处 电 场 强 度 为 x方 向 ， 其 有 效 值 为 100V/m。若 区 域 为 海 水 ， 其 电 磁 特 性 参 数 为试 求 : 该 平 面 波 在 海 水 中 的 。 在 处 的 。 S/m 4 ,1 ,80 rr p, , , , ,k k v Z c( , ), ( , ),t tE r H r S0z0z 0.8mz m 707.02 kj4c (1 j) (1 j) e 2fZ m/s 1053.3 6p kv 1 0.112 mf V/m ee100)( j zkzkxz eE 海 水 中 z = 0.8m 处 的 场 强 的 复 振 幅 为)(1)( c zZz z EeH A/mee100 jc zkzky Z e 7(0.8, ) 0.115sin(10 7.11)V/mxt t E e 7(0.8, ) 0.0366sin(10 7.70)A/myt t H e瞬 时 值 为复 能 流 密 度 为 24j62*c2*c W/me106644e100 zzzkZ eeHES 电 场 强 度 的 方 向 随 时 间 变 化 的 规 律 称 为 电 磁 波的 极 化 特 性 。 4. 平 面 波 极 化 特 性设 电 场 强 度 的 瞬 时 值 为 ) sin() ,( m kztEtz xx xeE 在 空 间 任 一 固 定 点 ， 电 场 强 度 矢 量 的 端 点 随 时间 的 变 化 轨 迹 为 与 x 轴 平 行 的 直 线 。 因 此 ， 这 种 极化 特 性 称 为 线 极 化 ， 其 极 化 方 向 为 x 方 向 。 设 另 一 同 频 率 的 y 方 向 极 化 的 线 极 化 平 面 波 的瞬 时 值 为 ) sin() ,( m kztEtz yyy eE 上 述 两 个 相 互 正 交 的 线 极 化 平 面 波 Ex 及 Ey 合成 后 ， 其 瞬 时 值 的 大 小 为 ) ,() ,(),( 22 tzEtzEtzE yx ) ( sin2m2m kztEE yx 合 成 波 的 大 小 随 时 间 的 变 化 仍 为 正 弦 函 数 ， 合成 波 的 方 向 与 x 轴 的 夹 角 为 mm),( ),(tan xyxy EEtzE tzE 可 见 ， 合 成 波 电 场 强 度 矢 量端 点 的 变 化 轨 迹 是 与 x 轴 夹 角 为 的 一 条 直 线 。 因 此 ， 合 成 波 仍然 是 线 极 化 波 。 Ey ExEy xOEy ExEEyExE O 两 个 相 位 相 同 或 相 反 、 空 间 相 互 正 交 的 线 极 化平 面 波 ， 合 成 后 仍 然 形 成 一 个 线 极 化 平 面 波 。 反 之 ，任 一 线 极 化 波 可 以 分 解 为 两 个 相 位 相 同 或 相 反 的 空间 相 互 正 交 的 线 极 化 波 。 若 两 个 线 极 化 波 Ex 及 Ey 的 相 位 差 为 ， 但 振幅 皆 为 Em , 2若 Ex 与 Ey 的 相 位 相 反 ， 结 果 如 何 ？若 Ex 与 Ey 的 振 幅 相 等 ， 结 果 如 何 ？) sin(),( m kztEtzx xeE )2 sin(),( m kztEtz yy eE ) cos(m kztEy e即 则 合 成 波 瞬 时 值 的 大 小 为 m22 ),(),() ,( EtzEtzEtzE yx 合 成 波 矢 量 与 x 轴 的 夹 角 为 ) (cot),( ),(tan kzttzE tzExy ) (2tan kzt ) (2 kzta 即 电 场 强 度 矢 量 的 方 向 随 时 间 不 断 地 旋 转 ， 但 其 大小 不 变 。 因 此 ， 合 成 波 的 电 场 强 度 矢 量 的 端 点 轨 迹 为一 个 圆 ， 这 种 变 化 规 律 称 为 圆 极 化 。可 见 ， 对 于 某 一 固 定 的 z 点 ， 夹 角 为 时 间 t 的 函 数 。 上 式 表 明 ， 当 t 增 加 时 ， 夹 角 不 断 地 减 小 ， 合 成 波矢 量 随 着 时 间 的 旋 转 方 向 与 传 播 方 向 ez 构 成 左 旋 关系 ， 这 种 圆 极 化 波 称 为 左 旋 圆 极 化 波 。Ey ExEy xO 左 旋右 旋 zy x O ) (2 kzta 若 Ey比 Ex滞 后 ， 则 合 成 波 矢 量 与 x轴 的 夹角 。 可 见 ， 对 于 空 间 任 一 固 定 点 ， 夹 角 随 时 间 增 加 而 增 加 ， 合 成 波 矢 量 随 着 时 间 的 旋 转 方向 与 传 播 方 向 ez 构 成 右 旋 关 系 ， 因 此 ， 这 种 极 化 波 称为 右 旋 圆 极 化 波 。 2)2( kzt 2 两 个 振 幅 相 等 ， 相 位 相 差 的 空 间 相 互 正 交 的 线极 化 波 ， 合 成 后 形 成 一 个 圆 极 化 波 。 反 之 ， 一 个 圆 极化 波 也 可 以 分 解 为 两 个 振 幅 相 等 ， 相 位 相 差 的 空 间相 互 正 交 的 线 极 化 波 。 2 一 个 线 极 化 波 可 以 分 解 为 两 个 旋 转 方 向 相 反 的 圆极 化 波 。 反 之 亦 然 。 若 上 述 两 个 相 互 正 交 的 线 极 化 波 Ex 和 Ey 具 有不 同 振 幅 及 不 同 相 位 ， 即 ) sin(),( ) sin(),( mm kztEtz kztEtz yyy xx eE eE x则 合 成 波 的 Ex 分 量 及 Ey 分 量 满 足 下 列 方 程 2 mm2m2m sincos2)()( yx yxyyxx EE EEEEEE 这 是 一 个 椭 圆 方 程 ， 它 表示 合 成 波 矢 量 的 端 点 轨 迹 是 一个 椭 圆 ， 因 此 ， 这 种 平 面 波 称为 椭 圆 极 化 波 。 y xE xy Ey m Ex m y xE xy Ey m Ex m 当 时 ， Ey 分 量 比 Ex 滞后 ， 与 传 播 方 向 ez 形 成 右 旋 椭 圆极 化 波 ； 当 时 ， Ey 分 量 比 Ex 导 前 ， 与 传 播 方 向 ez 形 成 左 旋椭 圆 极 化 波 。 0 0 线 极 化 波 、 圆 极 化 波 均 可 看 作 为 椭 圆 极 化 波 的 特殊 情 况 。 各 种 极 化 波 均 可 分 解 为 线 极 化 波 的 合 成 ， 因 此 ，仅 讨 论 线 极 化 平 面 波 的 传 播 特 性 。长 轴 与 短 轴 之 比 称 为 椭 圆 极 化 波 的 轴 比 。 5. 平 面 波 对 平 面 边 界 正 投 射 平 面 波 在 边 界 上 的 反 射及 透 射 规 律 与 介 质 特 性 及 边界 形 状 有 关 。 我 们 仅 讨 论 平面 波 在 无 限 大 的 平 面 边 界 上的 反 射 及 透 射 特 性 。边 界 透 射 波反 射 波入 射 波正 投 射边 界 斜 投 射 首 先 讨 论 平 面 波 向 平 面 边界 垂 直 入 射 的 正 投 射 。 再 讨 论 平 面 波 以 任 意 角 度向 平 面 边 界 的 斜 投 射 。 111 222 zxy 一 个 x 方 向 极 化 的 平面 波 向 两 种 介 质 形 成 一 个无 限 大 的 平 面 边 界 正 投 射的 情 况 如 图 所 示 。S ttxE tyHS r rxEryH S iixE iyH 发 生 反 射 与 透 射 时 ， 平 面 波 的 极 化 特 性 不 会 发生 改 变 。 反 射 波 及 透 射 波 仅 可 具 有 与 入 射 波 相 同 的分 量 。 111 222 zxyS r rxEryH 反 射 波 zkxx EE 1cjr0r eS iixE iyH zkxx EE c1ji0i e入 射 波S ttxE tyH zkxx EE 2cjt0t e透 射 波式 中 ， ， 分 别 为z = 0 边 界 处 各 波 的 振 幅 。 i0 xE r0 xE t0 xE磁 场 强 度 分 量 为 zkxy ZEH 1cj1ci0i e入 射 波 zkxy ZEH 1cj1cr0r e反 射 波zkxy ZEH c2j2ct0t e透 射 波 ? 电 场 强 度 的 切 向 分 量 在 任 何 边 界 上 均 是 连 续 的 ，考 虑 到 所 讨 论 的 有 限 电 导 率 边 界 上 不 可 能 存 在 表 面 电流 ， 因 而 磁 场 强 度 的 切 向 分 量 也 是 连 续 的 。 c12c 1c2ci0r0 ZZ ZZEE xx 1c2c 2ci0t0 2 ZZ ZEE xx 求 得 2ct01cr01ci0 ZEZEZE xxx t0r0i0 xxx EEE 即 在 z = 0 的 边 界 上 边 界 上 反 射 波 电 场 分 量 与 入 射 波 电 场 分 量 之 比称 为 边 界 上 的 反 射 系 数 ， 以 R 表 示 ， 边 界 上 透 射 波 电 场 分 量 与 入 射 波 电 场 分 量 之 比称 为 边 界 上 的 透 射 系 数 ， 以 T 表 示 ,1c2c 1c2ci0r0 ZZ ZZEER xx 即 c1c2 2ci0t0 2 ZZ ZEET xx 即 介 质 中 任 一 点 的 合 成 电 场 强 度 与 磁 场 强 度可 以 分 别 表 示 为 )e e()( 1c1c jji0 zkzkxx REzE )e e()( c1c1 jj1ci0 zkzkxy RZEzH 第 一 ， 若 介 质 为 理 想 介 质 ， 介 质 为 理 想 导 体 ， 则 两 种 介 质 的 波 阻 抗 分 别 为)0( 1 )( 2 全 部 电 磁 能 量 被 边 界 反 射 ， 这 种 情 况 称 为 全 反 射 。111c1 ZZ 0jc2 Z1c2c 1c2c ZZ ZZR c1c2 2c2 ZZ ZT 1R 0T 因 ， 介 质 中 任 一 点 合 成 电 场 为 11c kk )ee()( 11 jji0 zkzkxx EzE zkEx 1i0sin2j 2j1i0 esin2 zkEx对 应 的 瞬 时 值 为 )2 sin(sin22),( 1i0 tzkEtzE xx tzkEx cossin22 1i0 此 式 表 明 ， 介 质 中 合 成 电 场 的 相 位 仅 与 时 间 有 关 ，而 振 幅 随 z 的 变 化 为 正 弦 函 数 。在 处 ， 任 何 时 刻 的 电 场 为 零 。2 1nz ( 0, 1, 2, )n 空 间 各 点 合 成 波 的 相 位 相 同 ， 同 时 达 到 最 大 或最 小 。 平 面 波 在 空 间 没 有 移 动 ， 因 此 称 为 驻 波 。4)12( 1 nz在 处 ， 任 何 时 刻 的 电 场 振 幅 最 大 。 Ex 00 121 z1 = 0 2 = O 驻 波 与 行 波 的 特 性 截然 不 同 ， 行 波 的 相 位 沿 传播 方 向 不 断 变 化 ， 而 驻 波的 相 位 与 空 间 无 关 。Ex 00 z1 O1 = 0 2 = 42 Tt 4 34t T Tt 833 t1 = 021 42 Tt t1 = 0Ex(z, t) zO 232 23 Tt Tt 833 1 0t 2 4Tt 4 34t T 波节波腹 zkZEZEzH xzkzkxy 11i0jj1i0 cos2)ee()( 11 介 质 中 的 合 成 磁 场 为 tzkZEtzH xy sincos22),( 11 i0 对 应 的 瞬 时 值 为Hy 0 z 1 O1 = 0 2 = y01 t 3 12t T 42 Tt 电 场 的 瞬 时 值 为 tzkEtzE xx cossin22),( 1i0 磁 场 也 形 成 驻 波 ，但 其 零 值 及 峰 值 位 置 与电 场 驻 波 的 分 布 恰 好 相反 ， 时 间 相 位 相 差 。2 由 于 电 场 与 磁 场 的 相 位 差 为 。 因 此 ， 复 能流 密 度 的 实 部 为 零 ， 只 存 在 虚 部 。 这 就 表 明 介 质 中 没 有 能 量 单 向 流 动 ， 能 量 仅 在 电 场 与 磁 场 之间 进 行 交 换 。 2 i0n 12( ) xS y z y x EH Z J e e H ezkZEzH xy 11i0 cos2)( 已 知 介 质 中 的 合 成 磁 场 为 在 边 界 上 ， 介 质 中 的 合 成 磁 场 分 量为 ， 但 介 质 中 ， 边 界 上 磁 场强 度 的 切 向 分 量 不 连 续 ， 因 此 边 界 上 存 在 表 面 电流 JS 。 1i02)0( ZEH xy 0)0(t yH0z 第 二 ， 若 介 质 为 理 想 介 质 = 0 ， 介 质 为 一 般 导 电 介 质 ， 则 介 质 的 波 阻 抗 及 传 播 常 数分 别 为 1111c ZZ 1111c kk 反 射 系 数 为 j12c 12c e|RZZ ZZR 式 中 ， 为 R 的 振 幅 ； 为 R 的 相 位 。|R在 处 ， 电 场 振 幅 取 得 最 大 值 ， 1)42( nz )e|e()( )(jji0 11 zkzkxx REzE zkzkx RE 11 j)2(ji0 e)e|1( 电 场 强 度 可 用 R表 示 为 |)|1(| i0max REE xx 得 在 处 ， 电 场 振 幅 取 得 最 小 值 。1)4412( nz 01 z21 maxE minE 电 场 振 幅 的 最 大 值 与 最 小 值 之 比 称 为 驻 波 比 ，以 S 表 示 。 |1 |1| | minmax RREES SWR|)|1(| i0min REE xx 得 两 个 相 邻 振 幅 最 大 值 或 最小 值 之 间 的 距 离 为 半 波 长 。 1|0 R反 射 系 数 i02|0 xx EE 电 场 振 幅 若 两 种 介 质 均 是 理 想 介 质 ， 当 时 ， 边 界处 为 电 场 驻 波 的 最 大 点 ； 当 时 ， 边 界 处 为 电场 驻 波 的 最 小 点 。 12 ZZ 12 ZZ 上 述 情 况 不 同 于 前 述 的 完 全 驻 波 。 此 时 介 质 中既 有 向 前 传 播 的 行 波 ， 又 包 含 能 量 交 换 的 驻 波 。|1 |1| | minmax RREES S1当 发 生 全 反 射 时 ， 。 SR ,1| 当 时 ， 。 这 种 无 反 射 的 边 界称 为 匹 配 边 界 。12c ZZ 1 ,0| SR 例 已 知 形 成 无 限 大 平 面 边 界 的 两 种 介 质 的参 数 为 ， ； ， 。 当 一 右 旋圆 极 化 平 面 波 由 介 质 向 介 质 垂 直 入 射 时 ， 试求 反 射 波 和 透 射 波 及 其 极 化 特 性 。 01 4 01 02 9 02 解 建 立 直 角 坐 标系 ， 令 边 界 平 面 位 于 平面 。 入 射 波 、 反 射 波 和透 射 波 可 以 分 别 表 示 为 111 222 zxy S ttxE tyES r rxEryES iixE iyE zkyxE 1j0i e)j( eeE zkyxRE 1j0r e)j( eeE zkyxTE 3j0t e)j( eeE 反 射 系 数 和 透 射 系数 分 别 为 5112 12 ZZ ZZR 542 12 2 ZZ ZT 由 于 反 射 波 及 透 射 波 的 y 分 量 仍 然 滞 后 于 x 分 量 ， 但 反 射 波 的 传 播 方 向 为 负 z 方 向 ， 因 此 变为 左 旋 圆 极 化 波 。 透 射 波 的 传 播 方 向 仍 沿 正 z 方向 ， 因 此 还 是 右 旋 圆 极 化 波 。 111 222 zxy S ttxE tyES r rxEryES iixE iyE 6. 平 面 波 对 多 层 边 界 正 投 射 以 三 种 介 质 形 成 的 多 层 介 质 为 例 ， 说 明 平 面波 在 多 层 介 质 中 的 传 播 过 程 及 其 求 解 方 法 。 Zc1 Zc2 Zc3l O z 1xE 3xE2xE2xE1xE在 两 条 边 界 上 发 生 多 次 反 射 与 透 射 现 象 。 介 质 和 中 仅 存 在 两 种 平 面 波 ， 其 一 是 向 正 z 方 向 传 播 的 波 ， 以 及 表 示 ； 另 一 是 向 负 z 方 向 传 播 的 波 ， 以 及 表 示 。 在 介 质 中 仅 存在 一 种 向 正 z 方 向 传 播 的 波 。1xE 3xE2xE 2xE1xE lzEzE lzkxx c e)( )(j101 1 lzEzE lzkxx c e)( )(j101 1 0 e)( 2j202 zlEzE zkxx c zEzE zkxx c 0 e)( 3j303 0 e)( 2j202 zlEzE zkxx cZc1 Zc2 Zc3-l O z 1xE 3xE2xE2xE1xE 各 层 介 质 中 的 电 场 强 度 可 以 分 别 表 示 为 lzZEzH lzkxy e)( )(j1c101 1c lzZEzH lzkxy c e)( )(j1c101 1 0 e)( 2cj2c202 zlZEzH zkxy 0 e)( 2cj2c202 zlZEzH zkxy zZEzH zkxy 0 e)( c3j3c303 相 应 的 磁 场 强 度 分 别 为Zc1 Zc2 Zc3-l O z 1xE 3xE2xE2xE1xE )0( )( ee302020 j20 j201010 2c2c zEEE lzEEEE xxx lkxlkxxx 根 据 两 条 边 界 上 电 场 切 向 分 量 必 须 连 续 的 边 界条 件 ， 得 根 据 两 条 边 界 上 磁 场 切 向 分 量 必 须 连 续 的 边 界条 件 ， 得 )0( )( ee 3302c202c20 j2c20 j2c201c101c10 2c2c zZEZEZE lzZEZEZEZE cxxx lkxlkxxx 是 给 定 的 ， 4 个 方 程 中 只 有 ， ， 及 等 4个 未 知 数 ， 因 此 完 全 可 以 求 解 。1xE3xE 2xE2xE1xE 对 于 n 层 介 质 ， 总 共 只 有 (2n2) 个 待 求 的未 知 数 。 但 根 据 n 层 介 质 形 成 的 (n1) 条 边 界 可以 建 立 2(n1) 个 方 程 ， 可 见 这 个 方 程 组 足 以 求 解全 部 的 未 知 数 。 如 果 仅 需 计 算 第 一 条 边 界 上 的 总 反 射 系 数 ，引 入 输 入 波 阻 抗 概 念 可 以 简 化 求 解 过 程 。Z c1 Zc2 Zc3 n-2 n-1 3 2 1 Zc(n-2) Zc(n-1) Zc n 以 三 种 3 层 介 质 为 例 ， 定义 介 质 中 任 一 点 的 合 成 电 场与 合 成 磁 场 之 比 称 为 该 点 的 输入 波 阻 抗 ， 以 Zin 表 示 ，已 知 介 质 中 合 成 电 场 为 zkxzkxx EEzE 2c2c j20j202 ee)( )ee( 2c2c j23j20 zkzkx RE Zc1 Zc2 Zc3-l O z 1xE 3xE2xE2xE1xE式 中 ， R 23 为 介 质 和 之 间 的 边 界 上 (z = 0)的 反 射系 数 ， 即 2c3c 2c3c202023 ZZ ZZEER xx )( )()( 22in zH zEzZ yx 即 介 质 中 的 合 成 磁 场 可 以 表 示 为 )ee()( c2c2 j23j2c202 zkzkxy RZEzH zkZZ zkZZZzZ 2cc3c2 2cc2c32cin tanj tanj)( 求 得 )( )( )(in21c101c10 21010 lZ lEZEZE lEEE xxx xxx 在 边 界 上 合 成 电 场 及 合 成 磁 场 应 该 连 续 ，得 z l 1010 xxEER第 一 条 边 界 上 总 反 射 系 数 定 义 为lkZZ lkZZZlZ c23c2c 2c2c3c2cin tanj tanj)( 式 中 对 于 第 1层 介 质 ， 第 2层 及 第 3层 介 质 可 以 看作 为 波 阻 抗 为 Zin(l) 的 一 种 介 质 。 上 述 方 法 的 理 念 是 ， 仅 考 虑 后 置 介 质 的 总 体影 响 ， 不 关 心 其 内 部 结 构 。 1cin 1cin )( )( ZlZ ZlZR 已 知 第 2层 介 质 的 厚 度 和 电 磁 参 数 以 及 第 3介质 的 电 磁 参 数 即 可 求 出 输 入 波 阻 抗 Zin(l) 。 首 先 求 出 第 (n2) 条 边 界 处 向 右 看 的 输 入 波 阻 抗 ， 则 对 于 第 (n2) 层 介 质 ， 可 用 波 阻 抗 为 的介 质 代 替 第 (n1) 层 及 第 n 层 介 质 。 )2(in nZ)2(in nZ Zc1 Zc2 Zc3 n-2 n-1 3 2 1 Zc(n-2) Zc(n-1) Zc n)2(in nZ(2)inZ)1(inZ 依 次 类 推 ， 自 后 向 前 逐 一 计 算 各 条 边 界 上 向 后 看的 输 入 波 阻 抗 ， 直 至 求 得 第 一 条 边 界 上 向 后 看 的 输 入波 阻 抗 后 ， 即 可 计 算 总 反 射 系 数 。 1)1(in 1)1(in ZZ ZZR (1)inZZ1)2(inZZ1 Z2 )3(inZZ3Z1 Z2 Z1 ZnZ3Z2 Zn-1Zn-2 )2(in nZZ1 Z3Z2 Zn-2 例 设 两 种 理 想 介 质 的 波 阻 抗 分 别 为 Z1 与 Z2 ， 为了 消 除 边 界 反 射 ， 在 两 种 理 想 介 质 中 间 插 入 厚 度 为 四分 之 一 波 长 的 理 想 介 质 夹 层 ， 试 求 夹 层 的 波 阻 抗 Z 。 解 首 先 求 出 第 一 条 边 界 上向 右 看 的 输 入 波 阻 抗 。Z1 Z Z2 4 22 lk 222in ZZZZZZ 求 得 第 一 条 边 界 上 输 入 波 阻 抗 为为 了 消 除 反 射 ， 必 须 要 求 ， 得1in ZZ 221 ZZZ 21ZZZ 4l考 虑 到 输 入 波 阻 抗 的 方 法 是 一 种 阻 抗 变 换 方 法 。 这 种 变 换 仅 在 给 定 的 单 一 频 率 点 完 全 匹 配 ， 因此 频 带 较 窄 。 利 用 四 分 之 一 波 长 的 传 输 线 可 以 实 现 阻 抗 变 换 ，此 时 既 可 变 更 传 输 线 的 长 度 又 能 保 证 匹 配 。lkZZ lkZZZlZ 2c3c2c 2c2c3c2cin tanj tanj)( 可 见 ， 如 果 为 实 数 ， 输 入 波 阻 抗 的 变 化 与 正 切函 数 的 变 化 规 律 一 致 ， 那 么 厚 度 为 半 波 长 或 半 波长 整 数 倍 的 介 质 夹 层 没 有 阻 抗 变 换 作 用 。c2k 这 种 介 质 制 成 的 天 线 罩 ， 其 电 磁 性 能 十 分 优 越 。 当 这 种 夹 层 置 于 空 气 中 ， 平 面 波 向 其 表 面 正 投 射时 ， 无 论 夹 层 的 厚 度 如 何 ， 反 射 现 象 均 不 可 能 发 生 。换 言 之 ， 这 种 介 质 对 于 电 磁 波 似 乎 是 完 全 “ 透 明 ” 的。 如 果 该 例 中 夹 层 介 质 的 ， 那 么 ， 夹 层 的 波 阻抗 等 于 真 空 的 波 阻 抗 。 r r 普 通 介 质 的 磁 导 率 很 难 与 介 电 常 数 达 到 同 一 数 量级 。 近 来 研 发 的 新 型 磁 性 材 料 可 以 接 近 这 种 需 求 。 7. 任 意 方 向 传 播 的 平 面 波 设 传 播 方 向 为 eS， 则 与 eS 垂 直 的 平 面 称 为 波 面 。 令 坐 标 原 点 的 电 场 强度 为 E0， 则 波 面 上 P0 点的 场 强 应 为 kdP j00 e)( EE z yx d eSP0E 0 波 面 P(x, y, z)r 令 P点 为 波 面 上 任 一 点 ，则 该 点 的 位 置 矢 量 r 为zyx zyx eeer 令 r 与 eS的 夹 角 为 ， 则 距 离 d 可 以 表 示 为cos Sd r e r 那 么 ， P0 点 的 电 场 强 度 可 表 示 为 j 0e Sk e rE E k 称 为 传 播 矢 量 ， 其 大 小 等 于 传 播 常 数 k， 方 向 为传 播 方 向 eS 。 若 令 ,Sk e k rkEE j0e则 传 播 方 向 eS 的 方 向 角 分别 为 、 、 ， 则cos cos cos S x y z e e e e coscoscos kkk zyx eeek z yx d eSP0E0 波 面 P(x, y, z)r 上 式 为 沿 任 意 方 向 传 播 的 平 面 波 表 达 式 。 coskkx coskky coskkz 若 令 zzyyxx kkk eeek 则那 么 ， 电 场 强 度 又 可 表 示 为 )(j0e zkykxk zyx EE )coscoscos(j0e zyxk EE或 者 考 虑 到 ， 求 得1coscoscos 222 2222 kkkk zyx 可 见 ， 三 个 分 量 中 只 有 两 个 是 独 立 的 。 x y zk k k、 、 S理 想 介 质 中 的 均 匀 平 面 波 满 足 下 列 方 程 EHk HEk 0Ek 0Hk 电 场 与 磁 场 相 互 垂 直 ， 两 者 又 垂 直 于 传 播 方 向 ，这 些 特 点 反 映 了 均 匀 平 面 波 具 有 TEM波 的 性 质 。 H E 复 能 流 密 度 矢 量 Sc 的 实 部 为 *cRe Re S E H *1 Re E k E )()Re(1 * *EkEkEE 2 2c 0 01Re SkE E S k e 20 SE e考 虑 到 ， 得 0,20* kEEE E 试 求 ： 是 否 是 均 匀 平 面 波 ？ 平 面 波 的 频 率 及 波长 ； 电 场 强 度 的 y 分 量 ； 平 面 波 的 极 化 特 性 。 0yE 例 已 知 真 空 中 的 平 面 波 为 TEM波 ， 其 电 场 强 度 为式 中 ， 为 常 数 。0yE )6.0j8.06.0(3.2 j0 e)5j2( zyxzyyx E eeeE zyxzyyx E 6.0)8.06.0(3.2 j0 ee)5j2( eeeE解 给 定 的 电 场 强 度 可 改 写 为 可 见 ， 平 面 波 的 传 播 方 向 位 于 xy 平 面 内 ， 因 此 波 面平 行 于 z 轴 。 由 于 场 强 振 幅 与 z 有 关 ， 因 此 ， 它 是 一 种 非 均 匀平 面 波 。 m73.22 k 110 MHzv cf 2 22.3 0.6 0.8 2.3 rad/mk 根 据 上 式 求 得 传 播 常 数 、 波 长 、 频 率 分 别 为 x yz k波 面 因 为 ， 求 得 。 0Ek 75.00 yE 因 电 场 强 度 的 x 分 量 与 y 分 量 构 成 线 极 化 波 ， 它 与 z 分 量 合 成 后 形 成 椭 圆 极 化 波 。 由 于 分 量 比 Ez 分量 的 相 位 滞 后 ， 因 此 合 成 矢量 形 成 的 椭 圆 极 化 波 是 右 旋的 。 )( yx EE (Ex + Ey)(Ex+Ey +Ez)Ez 8. 平 面 波 对 理 想 介 质 边 界 斜 投 射 向 平 面 边 界 斜 投 射 时 ， 透 射 波 的 方 向 将 发 生 偏 折 ，因 此 ， 这 种 透 射 波 称 为 折 射 波 。 入 射 角 、 反 射 角 、 折 射角 ， 以 及 入 射 面 、 反 射 面 、 折 射 面 的 定 义 如 下 图 所 示 。 i t1 12 2 xz 折 射 波 反 射 波法线y r入 射 波 可 以 证 明 ， 入 射 线 ， 反 射 线 及 折 射 线 位 于 同一 平 面 ； 入 射 角 i 等 于 反 射 角 r ； 折 射 角 t 与 入 射 角 i 的 关 系 为12