考点54-导数与不等式(讲解)(解析版)

考点54 导数与不等式(讲解)【思维导图】【常见考法】考法一 构造函数1已知函数，（）若在内单调递减，求实数的取值范围；（）若函数有两个极值点分别为，证明：【答案】（）（）见证明【解析】（I） 在内单调递减， 在内恒成立， 即在内恒成立令，则，当时，即在内为增函数；当时，即在内为减函数 的最大值为，（）若函数有两个极值点分别为，则在内有两根，由（I），知 由，两式相减，得不妨设， 要证明，只需证明 即证明，亦即证明 令函数，即函数在内单调递减时，有，即不等式成立 综上，得2已知函数. （1）若曲线与直线在处相切.求的值；求证：当时，；（2）当且时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）因为，所以.因为曲线与直线在处相切，所以，所以.所以，所以. 又切点在直线上，所以，所以，所以 由知，可设，则，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，由，所以，所以存在，使得， 所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.因为，所以，即，当且仅当时取等号，所以当时， 故当时， (3）先证. 构造函数，则.故当时，在上递增，当时，在上递减，所以，即 又当，且时，等价于故原题等价于时，有解.因为（当时取等号），所以.3已知函数.（1）证明：函数有三个零点；（2）若对，不等式恒成立，求实数a的取值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：因为为奇函数，且，只需证在上有且只有一个零点即可.当，记，记，在上递增，又，在上递增，又，所以存在唯一实数，使得，当时，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增.，又，所以函数在上有且只有一个零点，所以函数有三个零点.（2）由，可得，由（1）知：当时，此时，对于任意，恒成立.当时，由，得，令，下面研究的最小值，令，令，对成立，函数在上为增函数，而，又，存在唯一实数，使得，当时，；当时，.函数在上递减，在递增，函数在上递减，.当时，由，得，由可知，所以函数在上为减函数，当时，综上，.考法二 公切线1已知函数，若在上有解，则实数的取值范围为 。【答案】【解析】根据题意，函数，函数，其导数，在上为增函数，函数，在上为增函数，则函数在上为增函数；又由，即在上有解，即存在使得，有解，进而可得存在使得，有解，在同一坐标系里画出函数与函数的图象；对于，其导数，当时，曲线的切线的斜率；要满足存在使得，有解，则直线的斜率；故实数的取值范围为；考法三 参变量分离（最值法）1已知函数（）求函数的单调区间；（）证明当时，关于的不等式恒成立；【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1），由f（x）0，得2x2x10又x0，所以x1，所以f（x）的单调递减区间为（1，+），函数f（x）的单增区间为（0，1）（2）令，所以，因为a2，所以，令g（x）=0，得，所以当，当时，g（x）0，因此函数g（x）在是增函数，在是减函数，故函数g（x）的最大值为，令，因为，又因为h（a）在a（0，+）是减函数，所以当a2时，h（a）0，即对于任意正数x总有g（x）0，所以关于x的不等式恒成立2已知函数（1）当时，求在处的切线方程；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，在处的切线方程为.（2）当时成立，当时，时，即，当时，令，则，当时，在上单调递增，即在上单调递增，又，当时，在上单调递增，又，恒成立；当时，即，在上单调递增，存在唯一的零点，使得，当时，在上单调递减，时，不恒成立，综上所述，当时，对任意恒成立.3已知函数.（1）若时，存在，使得不等式成立，求 的最小值；（2）当时，若在上是单调函数，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】1）存在，使得不等式成立，则只需.当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.在处取得极小值，即，又，.故.（2）当时，.当时，则在上单调递增；当时，则在上单调递增；当时，设，函数开口向下，其对称轴，故只需，即，此时在上单调递减.综上可得，.