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第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 1长 春 理 工 大 学 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 2 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 3 电 磁 场 （ 或 电 磁 波 ） 作 为 能 量 的 一 种 形 式 ， 是 当 今 世 界 最重 要 的 能 源 之 一 电 磁 波 作 为 信 息 传 输 的 载 体 ， 成 为 当 今 人 类 社 会 发 布 和 获取 信 息 、 探 测 未 知 世 界 的 重 要 手 段一 、 课 程 的 性 质 电 类 专 业 学 生 必 修 的 技 术 基 础 课 是 电 气 工 程 师 的 必 备 知 识 是 电 磁 理 论 的 重 要 组 成 部 分 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 41 电 磁 场 理 论 的 早 期 研 究 电 、 磁 现 象 是 大 自 然 最 重 要 的 往 来 现 象 ， 也 是 最 早 被 科 学家 们 关 心 和 研 究 的 物 理 现 象 ， 其 中 贡 献 最 大 的 有 赖 顿 、 富 兰 克林 、 伏 打 等 科 学 家 。 19世 纪 以 前 ， 电 、 磁 现 象 一 直 作 为 两 个 独 立 的 物 理 现 象 ，没 有 人 发 现 它 们 之 间 的 相 互 联 系 。 但 是 这 些 研 究 （ 特 别 是 伏 打1799年 发 明 了 电 池 ） 为 电 磁 学 理 论 的 建 立 奠 定 了 基 础 。二 、 电 磁 场 理 论 的 发 展 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 52 电 磁 场 理 论 的 建 立 18世 纪 末 期 ， 德 国 哲 学 家 谢 林 认 为 ， 宇 宙 是 有 活 力 的 ，而 不 是 僵 死 的 。 他 认 为 电 就 是 宇 宙 的 活 力 ， 是 宇 宙 的 灵 魂 ，电 、 磁 、 光 、 热 是 相 互 联 系 的 。 奥 斯 特 是 谢 林 的 信 徒 ， 他 从 1807年 开 始 研 究 电 、 磁 之 间的 关 系 。 1820年 ， 他 发 现 电 流 以 力 作 用 于 磁 针 。 安 培 发 现 作 用 力 的 方 向 、 电 流 的 方 向 、 磁 针 到 通 电 导 线的 垂 直 方 向 是 相 互 垂 直 的 ， 并 定 量 建 立 了 若 干 数 学 公 式 。 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 6 法 拉 第 在 谢 林 的 影 响 下 ， 相 信 电 、 磁 、 光 、 热 是 相 互 联系 的 。 奥 斯 特 1820年 发 现 电 流 以 力 作 用 于 磁 针 后 ， 法 拉 第 敏 锐地 意 识 到 ， 电 可 以 对 磁 产 生 作 用 ， 磁 也 一 定 能 够 对 电 产 生 影 响 。1821年 他 开 始 探 索 磁 生 电 的 实 验 。 1831年 他 发 现 ， 当 磁 棒 插 入导 体 线 圈 时 ， 线 圈 中 就 会 产 生 电 流 。 这 表 明 ， 电 与 磁 之 间 存 在着 密 切 的 联 系 。 麦 克 斯 韦 深 入 研 究 并 探 讨 了 电 与 磁 之 间 发 生 作 用 的 问 题 ，发 展 了 场 的 概 念 。 在 法 拉 第 实 验 的 基 础 上 ， 总 结 了 宏 观 电 磁 现象 的 规 律 ， 引 进 位 移 电 流 的 概 念 。 这 个 概 念 的 核 心 思 想 是 ： 变化 着 的 电 场 能 产 生 磁 场 ， 与 变 化 着 的 磁 场 产 生 电 场 相 对 应 。 在 此 基 础 上 提 出 了 一 套 偏 微 分 方 程 来 表 述 电 磁 现 象 的 基 本 规 律 ，称 为 麦 克 斯 韦 方 程 组 ， 是 经 典 电 磁 学 的 基 本 方 程 。 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 73 电 磁 场 理 论 的 发 展 在 麦 克 斯 韦 方 程 建 立 后 的 一 百 多 年 里 ,随 着 科 学 技 术 的 发展 ， 电 磁 理 论 得 到 了 广 泛 的 应 用 和 发 展 ， 尤 其 近 30年 来 ， 无线 电 电 子 学 、 计 算 机 和 网 络 技 术 的 飞 速 发 展 ， 生 物 电 磁 学 、环 境 电 磁 学 和 电 磁 兼 容 等 学 科 的 建 立 ， 向 电 磁 理 论 提 出 了 许多 新 的 研 究 课 题 ， 使 现 代 电 磁 理 论 得 到 了 迅 速 的 发 展 。 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 8 1887年 ， 德 国 科 学 家 赫 兹 用 火 花 隙 激 励 一 个 环 状 天 线 ，用 另 一 个 带 隙 的 环 状 天 线 接 收 ， 证 实 了 麦 克 斯 韦 关 于 电 磁 波存 在 的 预 言 ， 这 一 重 要 的 实 验 导 致 了 后 来 无 线 电 报 的 发 明 。从 此 开 始 了 电 磁 场 理 论 应 用 与 发 展 时 代 ， 并 且 发 展 成 为 当 代最 引 人 注 目 的 学 科 之 一 。三 、 电 磁 场 理 论 的 应 用 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 9无 线 电 报 : 1895年 ， 意 大 利 马 可 尼 成 功 地 进 行 了 2.5km距 离 的 无 线电 报 传 送 实 验 ； 1896年 ， 波 波 夫 进 行 了 约 250m米 距 离 的 类似 试 验 ； 1899年 , 无 线 电 报 跨 越 英 吉 利 海 峡 的 试 验 成 功 ；1901年 ， 跨 越 大 西 洋 的 3200km距 离 的 试 验 成 功 。 马 可 尼 以其 在 无 线 电 报 等 领 域 的 成 就 ， 获 得 了 1909年 的 诺 贝 尔 物 理 学 奖 。 无 线 电 报 的 发 明 ， 开 始 了 利 用 电 磁 波 时 期 。有 线 电 话 : 1876年 ， 美 国 A.G . 贝 尔 在 美 国 建 国 100周 年 博 览 会 上 展 示了 他 所 发 明 的 有 线 电 话 。 此 后 ， 有 线 电 话 便 迅 速 普 及 开 来 。 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 10电 视 : 1884年 ， 德 国 尼 普 科 夫 提 出 机 械 扫 描 电 视 的 设 想 ； 1927年 ， 英 国 贝 尔 德 成 功 地 用 电 话 线 路 把 图 像 从 伦 敦 传 至 大 西 洋中 的 船 上 ； 兹 沃 霄 金 在 1923和 1924 年 相 继 发 明 了 摄 像 管 和 显 像 管 ； 1931年 ， 他 组 装 成 世 界 上 第 一 个 全 电 子 电 视 系 统 。广 播 : 1906年 ， 美 国 费 森 登 用 50kH z频 率 发 电 机 作 发 射 机 ， 用 微音 器 接 入 天 线 实 现 调 制 ， 使 大 西 洋 航 船 上 的 报 务 员 听 到 了 他 从波 士 顿 播 出 的 音 乐 ； 1919年 ， 第 一 个 定 时 播 发 语 言 和 音 乐 的 无线 电 广 播 电 台 在 英 国 建 成 ； 次 年 ， 在 美 国 的 匹 兹 堡 城 又 建 成 一座 无 线 电 广 播 电 台 。 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 11雷 达 : 第 二 次 世 界 大 战 前 夕 ， 飞 机 成 为 主 要 进 攻 武 器 。 英 、 美 、德 、 法 等 国 竞 相 研 制 一 类 能 够 早 期 警 戒 飞 机 的 装 置 。 1936年 ，英 国 的 瓦 特 设 计 的 警 戒 雷 达 最 先 投 入 了 运 行 ， 有 效 地 警 戒 了来 自 德 国 的 轰 炸 机 。 1938年 ， 美 国 研 制 成 第 一 部 能 指 挥 火 炮射 击 的 火 炮 控 制 雷 达 。 1940年 ， 多 腔 磁 控 管 的 发 明 ， 使 微 波雷 达 的 研 制 成 为 可 能 。 1944年 ， 能 够 自 动 跟 踪 飞 机 的 雷 达 研制 成 功 。 1945年 ， 能 消 除 背 景 干 扰 、 显 示 运 动 目 标 的 显 示 技术 的 发 明 ， 使 雷 达 更 加 完 善 。 在 整 个 第 二 次 世 界 大 战 期 间 ，雷 达 成 了 电 磁 场 理 论 最 活 跃 的 部 分 。 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 12卫 星 通 信 技 术 : 1958年 ， 美 国 发 射 低 轨 道“ 斯 科 尔 ” 卫 星 成 功 ， 这 是 第 一 颗用 于 通 信 的 试 验 卫 星 。 1964年 ，借 助 定 点 同 步 通 信 卫 星 首 次 实现 了 美 、 欧 、 非 三 大 洲 的 通 信 和 电 视 转 播 。 1965年 ， 第 一 颗 商用 定 点 同 步 卫 星 投 入 运 行 。 1969年 ， 大 西 洋 、 太 平 洋 和 印 度 洋上 空 均 已 有 定 点 同 步 通 信 卫 星 。 卫 星 地 球 站 已 遍 布 世 界 各 国 ，这 些 卫 星 地 球 站 又 和 本 国 或 本 地 区 的 通 信 网 接 通 。 卫 星 通 信 经历 10年 的 发 展 ， 终 趋 于 成 熟 。 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 13卫 星 定 位 技 术 : 1957年 卫 星 发 射 成 功 后 ， 人 们 试 图 将 雷 达 引 入 卫 星 ， 实 现以 卫 星 为 基 地 对 地 球 表 面 及 近 地 空 间 目 标 的 定 位 和 导 航 。 1958年 底 ， 美 国 开 始 研 究 实 施 这 一 计 划 ， 于 1964年 研 究 成 功 子 午 仪卫 星 导 航 系 统 。 1973年 美 国 提 出 了 由 24颗 卫 星 组 成 的 实 用 系 统新 方 案 ， 即 G PS计 划 。 1990年 最 终 的 G PS方 案 是 由 21颗 工 作 卫星 和 3颗 在 轨 备 用 卫 星 组 成 。 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 14其 他 应 用 ： 阴 极 射 线 示 波 器 ， 喷 墨 打 印 机 ， 矿 物 的 分 选 ， 磁分 离 器 ， 回 旋 加 速 器 ， 磁 流 体 发 电 机 ， 电 磁 泵 ， 磁 悬 浮列 车 ， 变 压 器 ， 电 磁 炉 ， 电 磁 式 生 物 芯 片 ， 隐 形 飞 机 ，电 磁 高 速 公 路 等 等 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 15世 界 首 辆 载 人 高 温 超 导 磁 悬 浮 试 验 车 西 南 交 通 大 学 应 用 超 导 研 究 所 研 制Stable!Stable!磁 场 力 的 应 用 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 16B2 隐 形 轰 炸 机 i rri 反 射 定 律 的 应 用 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 17立 体 电 影 电 磁 波 极 化 特 性 的 应 用 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 18 全 球 定 位 系 统 Global Positioning System(GPS)信 息 载 体 的 应 用 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 19五 、 学 习 的 目 的 、 方 法 及 其 要 求 掌 握 宏 观 电 磁 场 的 基 本 属 性 和 运 动 规 律 掌 握 宏 观 电 磁 波 的 传 播 规 律 了 解 电 磁 波 的 辐 射 原 理 掌 握 静 态 场 问 题 的 基 本 求 解 方 法 训 练 分 析 问 题 、 归 纳 问 题 的 科 学 方 法 培 养 用 数 学 方 法 解 决 实 际 问 题 的 能 力 独 立 完 成 作 业 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 20电 磁 单 位 本 书 采 用 国 际 单 位 制 （ SI ） 。 在 电 磁 学 中 ， 这 种单 位 制 的 四 个 基 本 单 位 是 长 度 、 质 量 、 时 间 和 电 流 强 度 。长 度 单 位 为 m（ 米 ） ， 质 量 单 位 为 kg（ 千 克 ） ， 时 间 单位 为 s（ 秒 ） ， 电 流 强 度 单 位 为 A（ 安 培 ） 。 对 于 正 弦 电 磁 场 使 用 的 时 间 因 子 为 e j t 。 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 21 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 22本 章 内 容1.1 矢 量 代 数1.2 三 种 常 用 的 正 交 曲 线 坐 标 系1.3 标 量 场 的 梯 度1.4 矢 量 场 的 通 量 与 散 度1.5 矢 量 场 的 环 流 与 旋 度1.6 无 旋 场 与 无 散 场1.7 拉 普 拉 斯 运 算 与 格 林 定 理 1.8 亥 姆 霍 兹 定 理 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 231. 标 量 和 矢 量矢 量 的 大 小 或 模 ： AA 矢 量 的 单 位 矢 量 ：标 量 ： 一 个 只 用 大 小 描 述 的 物 理 量 。 AAeA 矢 量 的 代 数 表 示 ： AeAeA AA 1.1 矢 量 代 数矢 量 ： 一 个 既 有 大 小 又 有 方 向 特 性 的 物 理 量 ， 常 用 黑 体 字 母 或 带 箭 头 的 字 母 表 示 。 矢 量 的 几 何 表 示 ： 一 个 矢 量 可 用 一 条 有 方 向 的 线 段 来 表 示 注 意 ： 单 位 矢 量 不 一 定 是 常 矢 量 。 A矢 量 的 几 何 表 示常 矢 量 ： 大 小 和 方 向 均 不 变 的 矢 量 。 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 24zzyyxx AeAeAeA A AA AA A xyz coscoscos )coscoscos( zyx eeeAA 矢 量 用 坐 标 分 量 表 示 coscoscos zyxA eeee zAx AAyAzx y O 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 25（ 1） 矢 量 的 加 减 法 )()()( zzzyyyxxx BAeBAeBAeBA 两 矢 量 的 加 减 在 几 何 上 是 以 这 两 矢 量 为邻 边 的 平 行 四 边 形 的 对 角 线 ,如 图 所 示 。矢 量 的 加 减 符 合 交 换 律 和 结 合 律 2. 矢 量 的 代 数 运 算 矢 量 的 加 法 BA AB 矢 量 的 减 法 BA ABB 在 直 角 坐 标 系 中 两 矢 量 的 加 法 和 减 法 ：结 合 律 ( ) ( )A B C A B C A B B A 交 换 律 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 26（ 2） 标 量 乘 矢 量（ 3） 矢 量 的 标 积 （ 点 积 ） zzyyxx kAekAekAeAk zzyyxx BABABAABBA cos A B B A 矢 量 的 标 积 符 合 交 换 律1 zzyyxx eeeeee 0 xzzyyx eeeeee AB 矢 量 与 的 夹 角A B A B A B 0 BA / A B AB 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 27（ 4） 矢 量 的 矢 积 （ 叉 积 ）sinABeBA n )()()( xyyxzzxxzyyzzyx BABAeBABAeBABAeBA zyx zyx zyx BBB AAA eeeBA ABBA sinAB BA B A矢 量 与 的 叉 积A B用 坐 标 分 量 表 示 为写 成 行 列 式 形 式 为BA ABBA 若 ， 则BA / 0BA 若 ， 则 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 28（ 5） 矢 量 的 混 合 运 算 CBCACBA )( CBCACBA )( )()()( BACACBCBA CBABCACBA )()()( 分 配 律 分 配 律 标 量 三 重 积 矢 量 三 重 积 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 29 三 维 空 间 任 意 一 点 的 位 置 可 通 过 三 条 相 互 正 交 曲 线 的 交 点 来确 定 。 1.2 三 种 常 用 的 正 交 曲 线 坐 标 系 在 电 磁 场 与 波 理 论 中 ， 三 种 常 用 的 正 交 曲 线 坐 标 系 为 ： 直 角 坐标 系 、 圆 柱 坐 标 系 和 球 坐 标 系 。 三 条 正 交 曲 线 组 成 的 确 定 三 维 空 间 任 意 点 位 置 的 体 系 ， 称 为正 交 曲 线 坐 标 系 ； 三 条 正 交 曲 线 称 为 坐 标 轴 ； 描 述 坐 标 轴 的 量 称为 坐 标 变 量 。 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 301. 直 角 坐 标 系 zeyexer zyx 位 置 矢 量面 元 矢 量线 元 矢 量 zeyexel zyx dddd zyelleS xzyxx ddddd yxelleS zyxzz ddddd 体 积 元 zyxV dddd zxelleS yzxyy ddddd 坐 标 变 量 zyx ,坐 标 单 位 矢 量 zyx eee , 点 P(x0,y0,z0)0yy （ 平 面 ） o x y z0 xx （ 平 面 ）0zz （ 平 面 ）P 直 角 坐 标 系 xe ze yex yz直 角 坐 标 系 的 长 度 元 、 面 积 元 、 体 积 元 odz d y dxzyeS xx ddd yxeS zz ddd zxeS yy ddd 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 312. 圆 柱 坐 标 系 ddddd ddddd ddddd zzz zz elleS zelleS zelleS z,坐 标 变 量 zeee , 坐 标 单 位 矢 量 zeer z 位 置 矢 量 zeeel zdddd 线 元 矢 量 zV dddd 体 积 元面 元 矢 量 圆 柱 坐 标 系 中 的 线 元 、 面 元 和 体 积 元圆 柱 坐 标 系0 （ 半 平 面 ）0 （ 圆 柱 面 ） 0 zz （ 平 面 ） ),( 000 zP 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 32 ddsinddd 2relleS rrr ddsinddd rrelleS zr ddddd rrelleS r 3. 球 坐 标 系 ,r坐 标 变 量 eeer ,坐 标 单 位 矢 量 rer r 位 置 矢 量 dsinddd rererel r 线 元 矢 量 dddsind 2 rrV 体 积 元面 元 矢 量 球 坐 标 系 中 的 线 元 、 面 元 和 体 积 元球 坐 标 系0 （ 半 平 面 ） 0 （ 圆 锥 面 ）0rr （ 球 面 ） ),( 000 rP 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 334. 坐 标 单 位 矢 量 之 间 的 关 系 xe ye zeeeze cos sin 0cossin 00 0 1直 角 坐 标 与圆 柱 坐 标 系 e e zereee sin 0 cossincos 00 01圆 柱 坐 标 与球 坐 标 系直 角 坐 标 与球 坐 标 系 zeree e cossin cossinsincos 0 xe ye sinsin sincos cossin o xy 单 位 圆 直 角 坐 标 系 与 柱 坐 标 系 之 间坐 标 单 位 矢 量 的 关 系 xeye eeo z 单 位 圆 柱 坐 标 系 与 求 坐 标 系 之 间坐 标 单 位 矢 量 的 关 系ze eree 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 341.3 标 量 场 的 梯 度q 如 果 物 理 量 是 标 量 ， 称 该 场 为 标 量 场 。 例 如 ： 温 度 场 、 电 位 场 、 高 度 场 等 。q 如 果 物 理 量 是 矢 量 ， 称 该 场 为 矢 量 场 。 例 如 ： 流 速 场 、 重 力 场 、 电 场 、 磁 场 等 。q 如 果 场 与 时 间 无 关 ， 称 为 静 态 场 ， 反 之 为 时 变 场 。 时 变 标 量 场 和 矢 量 场 可 分 别 表 示 为 ： 、),( tzyxu ),( tzyxF 确 定 空 间 区 域 上 的 每 一 点 都 有 确 定 物 理 量 与 之 对 应 ， 称 在该 区 域 上 定 义 了 一 个 场 。从 数 学 上 看 ， 场 是 定 义 在 空 间 区 域 上 的 函 数 ：标 量 场 和 矢 量 场 、),( zyxu ),( zyxF静 态 标 量 场 和 矢 量 场 可 分 别 表 示 为 ： 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 351. 标 量 场 的 等 值 面等 值 面 : 标 量 场 取 得 同 一 数 值 的 点 在 空 间 形 成 的 曲 面 。 Czyxu ),(等 值 面 方 程 ： 常 数 C 取 一 系 列 不 同 的 值 ， 就 得 到 一 系 列不 同 的 等 值 面 ， 形 成 等 值 面 族 ； 标 量 场 的 等 值 面 充 满 场 所 在 的 整 个 空 间 ； 标 量 场 的 等 值 面 互 不 相 交 。 等 值 面 的 特 点 ：意 义 : 形 象 直 观 地 描 述 了 物 理 量 在 空 间 的 分 布 状 态 。 标 量 场 的 等 值 线 (面 ) 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 362. 方 向 导 数意 义 ： 方 向 导 数 表 示 场 沿 某 方 向 的 空 间 变 化 率 。0 0 cos cos cos| limM lu u u u ul l x y z 概 念 ： l0ul u(M)沿 方 向 增 加 ； l0ul u(M)沿 方 向 减 小 ； l0ul u(M)沿 方 向 无 变 化 。 M0 lMl方 向 导 数 的 概 念 l特 点 ： 方 向 导 数 既 与 点 M0有 关 ， 也 与 方 向 有 关 。问 题 ： 在 什 么 方 向 上 变 化 率 最 大 、 其 最 大 的 变 化 率 为 多 少 ？ 的 方 向 余 弦 。 l式 中 ： coscoscos 、 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 37 例 1-1 求 数 量 场 =(x+y)2-z通 过 点 M(1, 0, 1)的 等 值 面 方 程 。 解 ： 点 M的 坐 标 是 x0=1, y0=0, z0=1， 则 该 点 的 数 量 场 值 为=(x0+y0)2-z0=0。 其 等 值 面 方 程 为 22 )( 0)( yxz zyx 或 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 38 例 1-2 求 数 量 场 在 点 M(1, 1, 2)处 沿 l=ex+2ey+2ez方 向 的 方 向 导 数 。 解 ： l方 向 的 方 向 余 弦 为 z yxu 22 32221 2cos 32221 2cos 31221 1cos 222 222 222 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 39而 2 22 )(,2,2 z yxzuzyyuzxxu 数 量 场 在 l方 向 的 方 向 导 数 为 2 2232232231 coscoscos z yxzyzx zuyuxulu 在 点 M处 沿 l方 向 的 方 向 导 数 324232132131 Ml 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 40梯 度 的 表 达 式 ： zueueueu z 1圆 柱 坐 标 系 ureurerueu r sin11 球 坐 标 系 zueyuexueu zyx 直 角 坐 标 系 3. 标 量 场 的 梯 度 （ 或 ）gradu u意 义 ： 描 述 标 量 场 在 某 点 的 最 大 变 化 率 及 其 变 化 最 大 的 方 向概 念 ： ， 其 中 取 得 最 大 值 的 方 向max|l uu e l l ue l 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 41 标 量 场 的 梯 度 是 矢 量 场 ， 它 在 空 间 某点 的 方 向 表 示 该 点 场 变 化 最 大 （ 增 大 ）的 方 向 ， 其 数 值 表 示 变 化 最 大 方 向 上场 的 空 间 变 化 率 。 标 量 场 在 某 个 方 向 上 的 方 向 导 数 ， 是梯 度 在 该 方 向 上 的 投 影 。梯 度 的 性 质 ：梯 度 运 算 的 基 本 公 式 ： uufuf uvvuuv vuvu uCCuC )()( )( )( )( 0 标 量 场 的 梯 度 垂 直 于 通 过 该 点 的 等 值 面 （ 或 切 平 面 ） 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 42 解 (1)由 梯 度 计 算 公 式 ， 可 求 得 P点 的 梯 度 为 PzyxP zyxzeyexe )( 22 zyxzyx eeeeyexe 22)22( )1,1,1( 例 1.2.1 设 一 标 量 函 数 ( x, y, z ) = x2 y2 z 描 述 了 空 间 标 量场 。 试 求 ： (1) 该 函 数 在 点 P(1,1,1) 处 的 梯 度 ， 以 及 表 示 该 梯 度 方 向的 单 位 矢 量 。 (2) 求 该 函 数 沿 单 位 矢 量方 向 的 方 向 导 数 ， 并 以 点 P(1,1,1) 处 的 方 向 导 数 值 与 该 点 的 梯 度值 作 以 比 较 ， 得 出 相 应 结 论 。 ooo 60cos45cos60cos zyxl eeee 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 43表 征 其 方 向 的 单 位 矢 量 2 2 2 (1,1,1)2 2 2 2 13 3 3(2 ) (2 ) ( 1)x y zl x y zP P e x e y ee e e ex y (2) 由 方 向 导 数 与 梯 度 之 间 的 关 系 式 可 知 ， 沿 el 方 向 的 方 向导 数 为对 于 给 定 的 P 点 ， 上 述 方 向 导 数 在 该 点 取 值 为 (1,1,1) 1 2 212 2 2P x yl )2 12221()22( zyxzyxl eeeeyexeel 212 yx 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 44而 该 点 的 梯 度 值 为 2 2 2 (1,1,1)(2 ) (2 ) ( 1) 3P x y 显 然 ， 梯 度 描 述 了 P点 处 标 量 函 数 的 最 大 变 化 率 ，即 最 大 的 方 向 导 数 ， 故 恒 成 立 。P PPl 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 451.4 矢 量 场 的 通 量 与 散 度 1. 矢 量 线 意 义 ： 形 象 直 观 地 描 述 了 矢 量 场 的 空 间 分 布 状 态 。 ),(d),(d),(d zyxF zzyxF yzyxF x zyx 矢 量 线 方 程 ：概 念 ： 矢 量 线 是 这 样 的 曲 线 ， 其 上 每 一 点 的 切 线 方 向 代 表 了 该 点 矢 量 场 的 方 向 。 矢 量 线OM Fdr r r dr 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 46例 1-6 求 矢 量 场 A=xy2ex+x2yey+zy2ez的 矢 量 线 方 程 。解 ： 矢 量 线 应 满 足 的 微 分 方 程 为 zydzyxdyxydx 222 zydzxydx yxdyxydx 22 22 222 1 cyx xcz从 而 有 解 之 即 得 矢 量 方 程 c1和 c2是 积 分 常 数 。 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 472. 矢 量 场 的 通 量 问 题 ： 如 何 定 量 描 述 矢 量 场 的 大 小 ？ 引 入 通 量 的 概 念 。 nd d dS SF S F e S 通 量 的 概 念 nd dS e S 其 中 ： 面 积 元 矢 量 ；ne 面 积 元 的 法 向 单 位 矢 量 ；dSnd dF e S 穿 过 面 积 元 的 通 量 。 如 果 曲 面 S 是 闭 合 的 ， 则 规 定 曲 面 的 法 向 矢 量 由 闭 合 曲 面内 指 向 外 ， 矢 量 场 对 闭 合 曲 面 的 通 量 是 ),( zyxF Sdne面 积 元 矢 量 SS SeFSF dd n 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 480通 过 闭 合 曲 面 有 净 的 矢 量 线 穿 出 0有 净 的 矢量 线 进 入 0进 入 与 穿 出 闭 合 曲面 的 矢 量 线 相 等矢 量 场 通 过 闭 合 曲 面 通 量 的 三 种 可 能 结 果 闭 合 曲 面 的 通 量 从 宏 观 上 建 立 了 矢 量 场 通 过 闭 合 曲 面 的 通量 与 曲 面 内 产 生 矢 量 场 的 源 的 关 系 。通 量 的 物 理 意 义 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 493. 矢 量 场 的 散 度 为 了 定 量 研 究 场 与 源 之 间 的 关 系 ， 需 建 立 场 空 间 任 意 点 （ 小体 积 元 ） 的 通 量 源 与 矢 量 场 （ 小 体 积 元 曲 面 的 通 量 ） 的 关 系 。 利用 极 限 方 法 得 到 这 一 关 系 ：称 为 矢 量 场 的 散 度 。 散 度 是 矢 量 通 过 包 含 该 点 的 任 意 闭 合 小 曲 面 的 通 量 与 曲 面 元体 积 之 比 的 极 限 。 F V SzyxFzyxF SV d),(lim),( 0 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 50圆 柱 坐 标 系 )(sin1)(sinsin1)(1 22 FrFrFrrrF r zFFFF z )(球 坐 标 系 zFyFxFF zyx 直 角 坐 标 系散 度 的 表 达 式 ：散 度 的 有 关 公 式 ： GFGF fFFfFf kFkFk fCfC CCC )( )( 为常量)()( )( )为常矢量(0 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 51直 角 坐 标 系 下 散 度 表 达 式 的 推 导 0 0 00 0 0 0 0 0 , ,( , , ) , ,2 2 xx x x y zFx xF x y z F x y z x 0 0 00 0 0 0 0 0 , ,( , , ) , ,2 2 xx x x y zFx xF x y z F x y z x 0 0 0 0 0 0 ( , , ) ( , , )2 2 xx x Fx xF x y z F x y z y z x y zx 由 此 可 知 ， 穿 出 前 、 后 两 侧 面 的 净通 量 值 为 不 失 一 般 性 ， 令 包 围 P点 的 微 体 积 V 为 一 直 平 行 六 面 体 ， 如图 所 示 。 则 ox y在 直 角 坐 标 系 中 计 算z zxy P F 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 52根 据 定 义 ， 则 得 到 直 角 坐 标 系 中 的 散 度 表 达 式 为 同 理 ， 分 析 穿 出 另 两 组 侧 面 的 净 通 量 ， 并 合 成 之 ， 即 得 由 点P 穿 出 该 六 面 体 的 净 通 量 为 zFyFxFV SFF zyxSV dlim0 zyxzFzyxyFzyxxFSF zyxS d 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 534. 散 度 定 理 VS VFSF dd 体 积 的 剖 分 V S1 S2en2 en1S 从 散 度 的 定 义 出 发 ， 可以 得 到 矢 量 场 在 空 间 任 意 闭合 曲 面 的 通 量 等 于 该 闭 合 曲面 所 包 含 体 积 中 矢 量 场 的 散度 的 体 积 分 ， 即 散 度 定 理 是 闭 合 曲 面 积 分 与 体 积 分 之 间 的 一 个 变 换 关 系 ，在 电 磁 理 论 中 有 着 广 泛 的 应 用 。 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 54 例 1-3已 知 矢 量 场 r=xex+yey+zez， 求 由 内 向 外 穿 过 圆 锥 面x2+y2=z2与 平 面 z=H所 围 封 闭 曲 面 的 通 量 。 解 ： 21 SSS SdrSdrSdr 22 0cosSS rdSSdr 321 1 1111 HHHdxdyHHdxdy zdxdyydxdzxdydzSdrS S SSSS 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 55 例 1-4 球 面 S上 任 意 点 的 位 置 矢 量 为 r=xex+yey+zez， 求 dVrSdr VS S Sdr 解 ： 根 据 散 度 定 理 知 而 r的 散 度 为 3 zzyyxxr所 以 33 43433 RRVddVrSdr VVS 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 561.5 矢 量 场 的 环 流 与 旋 度 1. 矢 量 场 的 环 流 与 旋 涡 源 例 如 ： 流 速 场 。 不 是 所 有 的 矢 量 场 都 由 通 量 源 激 发 。 存 在 另 一 类 不 同 于 通量 源 的 矢 量 源 ， 它 所 激 发 的 矢 量 场 的 力 线 是 闭 合 的 ， 它 对 于 任何 闭 合 曲 面 的 通 量 为 零 。 但 在 场 所 定 义 的 空 间 中 闭 合 路 径 的 积分 不 为 零 。 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 57 如 磁 场 沿 任 意 闭 合 曲 线 的 积 分 与 通 过 闭 合 曲 线 所 围 曲 面 的 电流 成 正 比 ， 即 SC SzyxJIlzyxB d),(d),( 00 上 式 建 立 了 磁 场 的 环 流 与 电 流 的 关 系 。 磁 感 应 线 要么 穿 过 曲 面磁 感 应 线 要 么 同 时穿 入 和 穿 出 曲 面磁 感 应 线 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 58q如 果 矢 量 场 的 任 意 闭 合 回 路 的 环 流 恒 为 零 ， 称 该 矢 量 场 为 无旋 场 ， 又 称 为 保 守 场 。 C lzyxF d),(环 流 的 概 念 矢 量 场 对 于 闭 合 曲 线 C 的 环 流 定 义 为 该 矢 量 对 闭 合 曲 线 C 的 线 积 分 ， 即q如 果 矢 量 场 对 于 任 何 闭 合 曲 线 的 环 流 不 为 零 ， 称 该 矢 量 场 为有 旋 矢 量 场 ， 能 够 激 发 有 旋 矢 量 场 的 源 称 为 旋 涡 源 。 电 流 是磁 场 的 旋 涡 源 。 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 59 矢 量 场 的 环 流 给 出 了 矢 量 场 与 积 分 回 路 所 围 曲 面 内 旋 涡 源宏 观 联 系 。 为 了 给 出 空 间 任 意 点 矢 量 场 与 旋 涡 源 的 关 系 ， 引 入矢 量 场 的 旋 度 。 S CMFn 2. 矢 量 场 的 旋 度 （ ） F （ 1） 环 流 面 密 度 CS lFSF d1limrot 0n称 为 矢 量 场 在 点 M 处 沿 方 向 的 环 流 面 密 度 。n特 点 ： 其 值 与 点 M 处 的 方 向 有 关 。n 过 点 M 作 一 微 小 曲 面 S ， 它 的 边 界 曲 线 记 为 C， 曲 面 的 法线 方 向 与 曲 线 的 绕 向 成 右 手 螺 旋 法 则 。 当 S0 时 ， 极 限n 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 60而 推 导 的 示 意 图 如 图 所 示 。rotxF o yz y CMzx 1 234计 算 的 示 意 图 rotx F 直 角 坐 标 系 中 、 、 的 表 达 式rotxF roty F rotz F 41321 ddddd llllC lFlFlFlFlF )()( 4321 zFyFzFyF zyzy 2)(2 yyFMFF Mzzz 2)(3 zzFMFF Myyy 2)(1 zzFMFF Myyy 2)(4 yyFMFF Mzzz 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 61于 是 同 理 可 得故 得概 念 ： 矢 量 场 在 M 点 处 的 旋 度 为 一 矢 量 ， 其 数 值 为 M 点 的 环流 面 密 度 最 大 值 ， 其 方 向 为 取 得 环 量 密 度 最 大 值 时 面 积 元 的 法 线 方 向 ， 即 物 理 意 义 ： 旋 涡 源 密 度 矢 量 。性 质 ：（ 2） 矢 量 场 的 旋 度 zyzFyFlF yzC )(d zFyFS lFF yzCSx dlimrot 0 maxnn rot FeF FeF nnrot xFzFF zxy rot yFxFF xyz rot 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 62 yFxFexFzFezFyFeF xyzzxyyzx 旋 度 的 计 算 公 式 : zzFFF zeeeF 1 FrrFFr erererF rr sinsinsin12 直 角 坐 标 系 圆 柱 坐 标 系 球 坐 标 系zyx zyx FFF zyx eee 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 63旋 度 的 有 关 公 式 ：矢 量 场 的 旋 度的 散 度 恒 为 零 标 量 场 的 梯 度的 旋 度 恒 为 零 FfFfFf )( CfCf )( 0 C GFGF )( GFFGGF )( 0)( F 0)( u 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 64 SC SFlF dd3. 斯 托 克 斯 定 理 斯 托 克 斯 定 理 是 闭 合 曲 线积 分 与 曲 面 积 分 之 间 的 一 个 变换 关 系 式 ， 也 在 电 磁 理 论 中 有广 泛 的 应 用 。 曲 面 的 剖 分方 向 相 反 大 小相 等 结 果 抵 消 从 旋 度 的 定 义 出 发 ， 可 以 得 到 矢 量 场 沿 任 意 闭 合 曲 线 的 环流 等 于 矢 量 场 的 旋 度 在 该 闭 合 曲 线 所 围 的 曲 面 的 通 量 ， 即 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 65 例 1-5 求 矢 量 (c是 常 数 )沿 曲 线 (x-2)2+y2=R2, z=0的 环 量 例 1-5 图 zyx ecexe-yA 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 66解 ： 由 于 在 曲 线 l上 z=0， 所 以 dz=0。 2 220 22220 202220 20202 )cos2( cos2)cos(sin cos)cos2(sin )sin()cos2()cos2(sin )(R dRR dRR dRRdR RdRRdR xdyydxldAl 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 67 例 1-6 求 矢 量 场 A=x(z-y) ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在 点 M(1， 0， 1)处 的 旋 度 以 及 沿 n=2ex+6ey+3ez方 向 的 环 量 面 密 度 。 解 ： 矢 量 场 A的 旋 度 zyx zyx exyezxeyz xyzzxyyzx zyx eeeAArot )()()( )()()( 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 68在 点 M(1， 0， 1)处 的 旋 度 zyxM eeeA 2n方 向 的 单 位 矢 量 zyxzyx eeeeeen 737672)362(362 1 222 在 点 M(1， 0， 1)处 沿 n方 向 的 环 量 面 密 度 7177327672 nA M 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 694. 散 度 和 旋 度 的 区 别 0, 0F F 0. 0F F 0, 0F F 0, 0F F 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 701. 矢 量 场 的 源散 度 源 ： 是 标 量 ， 产 生 的 矢 量 场 在 包 围 源 的 封 闭 面 上 的 通 量 等 于 （ 或 正 比 于 ） 该 封 闭 面 内 所 包 围 的 源 的 总 和 ， 源 在 一 给 定 点 的 （ 体 ） 密 度 等 于 （ 或 正 比 于 ） 矢 量 场 在 该 点 的 散 度 ； 旋 度 源 ： 是 矢 量 ， 产 生 的 矢 量 场 具 有 涡 旋 性 质 ， 穿 过 一 曲 面 的 旋 度 源 等 于 （ 或 正 比 于 ） 沿 此 曲 面 边 界 的 闭 合 回 路 的 环 量 ， 在 给 定 点 上 ， 这 种 源 的 （ 面 ） 密 度 等 于 （ 或 正 比 于 ） 矢 量 场 在 该 点 的 旋 度 。1.6 无 旋 场 与 无 散 场 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 712. 矢 量 场 按 源 的 分 类（ 1） 无 旋 场 0d C lF 性 质 ： ， 线 积 分 与 路 径 无 关 ， 是 保 守 场 。仅 有 散 度 源 而 无 旋 度 源 的 矢 量 场 ， 0 F无 旋 场 可 以 用 标 量 场 的 梯 度 表 示 为例 如 ： 静 电 场 0E EuF ( ) 0F u 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 72（ 2） 无 散 场 仅 有 旋 度 源 而 无 散 度 源 的 矢 量 场 ， 即性 质 ： 0d S SF 0 F无 散 场 可 以 表 示 为 另 一 个 矢 量 场 的 旋 度例 如 ， 恒 定 磁 场 AB 0B AF 0)( AF 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 73（ 3） 无 旋 、 无 散 场 （ 源 在 所 讨 论 的 区 域 之 外 ）0F （ 4） 有 散 、 有 旋 场这 样 的 场 可 分 解 为 两 部 分 ： 无 旋 场 部 分 和 无 散 场 部 分 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )l CF r F r F r u r A r 无 旋 场 部 分 无 散 场 部 分( ) 0u F u 02 u0F 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 741.7 拉 普 拉 斯 运 算 与 格 林 定 理 1. 拉 普 拉 斯 运 算 标 量 拉 普 拉 斯 运 算 2u概 念 ： 2 拉 普 拉 斯 算 符 2 2 22 2 2 2u u uu x y z 直 角 坐 标 系计 算 公 式 ： 2 22 2 2 21 1( )u u uu z 22 22 2 2 2 21 1 1( ) (sin )sin sinu u uu rr r r r r 圆 柱 坐 标 系球 坐 标 系 uu 2)( 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 75 矢 量 拉 普 拉 斯 运 算 2F 概 念 ： 2 2 2 2x x y y z zF e F e F e F 即 2 2( )i iF F 注 意 ： 对 于 非 直 角 分 量 ， 2 2( )i iF F 直 角 坐 标 系 中 ：如 ： 2 2( )F F ( , , )i x y z)()(2 FFF 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 762. 格 林 定 理 设 任 意 两 个 标 量 场 及 ， 若 在 区 域 V 中 具 有 连 续 的 二 阶 偏导 数 ， 那 么 ， 可 以 证 明 该 两 个 标 量 场 及 满 足 下 列 等 式 ： SV SnV 2 dd)( 根 据 方 向 导 数 与 梯 度 的 关 系 ， 上 式 又 可 写 成 以 上 两 式 称 为 标 量 第 一 格 林 定 理 。S V, ne SV SV 2 d)(d)( 式 中 S 为 包 围 V 的 闭 合 曲 面 ， 为 标量 场 在 S 表 面 的 外 法 线 方 向 上的 偏 导 数 。 nne 第 1章 矢 量 分 析矢 量 分 析矢 量 分 析电磁场与电磁波 长春理工大学 77基 于 上 式 还 可 获 得 下 列 两 式 ：上 两 式 称 为 标 量 第 二 格 林 定 理 。 格 林 定 理 说 明 了 区 域 V 中 的 场 与 边 界 S 上 的 场 之 间 的 关 系 。因 此 ， 利 用 格 林 定 理 可 以 将 区