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定 理 1 对 称 矩 阵 的 特 征 值 为 实 数 . 说 明 ： 本 节 所 提 到 的 对 称 矩 阵 ， 除 非 特 别 说明 ， 均 指 实 对 称 矩 阵 定 理 1的 意 义 ., 0, 0)( , i以 取 实 向 量从 而 对 应 的 特 征 向 量 可系 知 必 有 实 的 基 础 解由是 实 系 数 方 程 组线 性 方 程 组 所 以 齐 次为 实 数的 特 征 值由 于 对 称 矩 阵 AE xAEA ii ., , 2 21212 121 正 交与则若是 对 应 的 特 征 向 量 的 两 个 特 征 值是 对 称 矩 阵设定 理 ppp pA 证 明 , 21222111 AppApp , AAA T对 称 TTT Appp 11111 ,11 ApAp TTT 于 是 22121211 ppApppp TTT ,212 pp T .0 2121 pp T,21 .21 正 交与即 pp.021 pp T . , , 31素 的 对 角 矩 阵 个 特 征 值 为 对 角 元的是 以其 中 使则 必 有 正 交 矩 阵阶 对 称 矩 阵为设定 理 nAAPP PnA 根 据 上 述 结 论 ， 利 用 正 交 矩 阵 将 对 称 矩 阵 化为 对 角 矩 阵 ， 其 具 体 步 骤 为 ：将 特 征 向 量 正 交 化 ;3. 将 特 征 向 量 单 位 化 .4.1. ;的 特 征 值求 A 的 特 征 向 量求 出由 AxAEi ,02 P,211 121 112 A例 对 下 列 实 对 称 矩 阵 ， 分 别 求 出 正 交 矩 阵 ，使 为 对 角 阵 .APP 11 求 其 特 征 值 211 121 112 AE 41 2 从 而 得 特 征 值 .41 321 ， 得 基 础 解 系时 ， 由当 ,0441 xAE 2 求 特 征 向 量 得 基 础 解 系时 ， 由当 ,0121 xAE ,)0,1,1(1 T .)1,0,1(2 T3 将 特 征 向 量 正 交 化,11 取 .)1,1,1(3 T , 33 , 111 2122 得 正 交 向 量 组 .)1,1,1(3 T ., )1,21,21()0,1,1( 21 TT ,3,2,1, iiii 令得 ,0 21 212 ,31 31 311 .62 61 613 .31 31 3162 61 61021 21 P所 以 4 将 正 交 向 量 组 单 位 化 ， 得 正 交 矩 阵 P 1. 对 称 矩 阵 的 性 质 ： (1)特 征 值 为 实 数 ； (2)属 于 不 同 特 征 值 的 特 征 向 量 正 交 ； (3)必 存 在 正 交 矩 阵 ， 将 其 化 为 对 角 矩 阵 ，且 对 角 矩 阵 对 角 元 素 即 为 特 征 值 2. 利 用 正 交 矩 阵 将 对 称 阵 化 为 对 角 阵 的 步 骤 ： (1)求 特 征 值 ； (2)找 特 征 向 量 ； (3)将 特 征 向量 正 交 化 ； (4)最 后 单 位 化
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