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4.3.3三次函数的性质：单调区间和极值三次函数的性质：单调区间和极值学习目标1理解函数最值的概念，了解函数最值与极值的区别和联系2会用导数求在闭区间上三次的多项式函数的最大值、最小值知识链接极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小，函数的极值与最值有怎样的关系？答函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值预习导引三次函数的导数零点与其单调区间和极值设F(x)ax3bx2cxd(a0)，F(x)3ax22bxc(a0)填写下表：当a0时，(，u)(v，)(u，v)F F(x x)的的单调单调性性在在(，)上上在在(，)上上在在(，u u)和和(v v，)上上 ；在；在(u u，v v)F F(x x)的极的极值值在在 处处取极大取极大值值；处处取极小取极小值值递增递增递增上递减xu在xv无无当a0时，F F(x x)的零点的零点F F(x x)、F F(x x)的性的性质质无无x xw wx xu u和和x xv v(u u v v)F F(x x)的符号的符号F F(x x)0)0F F(x x)0 0 x x时时，F F(x x)0)0)0(，u)(v，)(u，v)F F(x x)的的单调单调性性在在(，)上上在在(，)上上在在(，u u)和和(v v，)上上 ；在；在(u u，v v)上上 ；F F(x x)的极的极值值无无无无在在x xu u处处取取 ，在在x xv v处处取取递减递减递减递增极小值极大值要点一求三次函数的单调区间和极值点例1求下列函数的单调区间和极值点：(1)f(x)2x33x26x1；(2)f(x)2x39x212x7.解(1)f(x)6x26x66(x2x1)，由于f(x)恒正，f(x)在(，)上递增，无极值点(2)f(x)6x218x126(x23x2)6(x1)(x2)，f(x)在(，1)和(2，)上均为负，在(1,2)上为正，f(x)在(，1)和(2，)上递减，在(1,2)上递增，f(x)在x1处取到极小值，在x2处取到极大值规律方法对此类题目，只要理解了f(x)的符号对函数f(x)取极值的影响，所有问题便迎刃而解，所以重要的是方法的领悟要点二求函数在闭区间上的最值例2求下列各函数的最值：(1)f(x)x42x23，x3,2；(2)f(x)x33x26x2，x1,1解(1)f(x)4x34x，令f(x)4x(x1)(x1)0，得x1，x0，x1.当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：x x3 3(3 3，1)1)1 1(1,0)1,0)0 0(0,1(0,1)1 1(1,(1,2)2)2 2f f(x x)0 00 00 0f f(x x)6060极大极大值值4 4极极小小值值3 3极极大大值值4 45 5(2)f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23，f(x)在1,1内恒大于0，f(x)在1,1上为增函数故x1时，f(x)最小值12；x1时，f(x)最大值2.即f(x)的最小值为12，最大值为2.规律方法(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得求出导数为零的点比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值(2)若函数在闭区间a，b上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得(2)f(x)3exexx2，f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1)，在区间2,5上，f(x)ex(x3)(x1)0，即函数f(x)在区间2,5上单调递减，x2时，函数f(x)取得最大值f(2)e2.x5时，函数f(x)取得最小值f(5)22e5.要点三函数最值的应用例3设函数f(x)tx22t2xt1(xR，t0)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围解解(1)(1)f f(x x)t t(x xt t)2 2t t3 3t t1 1(x xR R，t t0)0)，当当x xt t时，时，f f(x x)取最小值取最小值f f(t t)t t3 3t t1 1，即即h h(t t)t t3 3t t1.1.(2)(2)令令g g(t t)h h(t t)(2 2t tmm)t t3 33 3t t1 1mm，由由g g(t t)3 3t t2 23 30 0得得t t1 1，t t1(1(不合题意，舍去不合题意，舍去)当当t t变化时变化时g g(t t)、g g(t t)的变化情况如下表：的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)递增1m递减对t(0,2)，当t1时，g(t)max1m，h(t)2tm对t(0,2)恒成立，也就是g(t)0，对t(0,2)恒成立，只需g(t)max1m1.故实数m的取值范围是(1，)跟踪演练跟踪演练3 3设设函数函数f f(x x)2 2x x3 39 9x x2 21212x x8 8c c，(1)(1)若对任意的若对任意的x x 0,30,3，都有，都有f f(x x)c c2 2成立，求成立，求c c的取值范围；的取值范围；(2)(2)若若对对任任意意的的x x(0,3)(0,3)，都都有有f f(x x)c c2 2成成立立，求求c c的的取取值值范范围围解解(1)(1)f f(x x)6 6x x2 21818x x12126(6(x x1)(1)(x x2)2)当当x x(0,1)(0,1)时，时，f f(x x)0 0；当；当x x(1,2)(1,2)时，时，f f(x x)0 0；当当x x(2,3)(2,3)时，时，f f(x x)0.0.当当x x1 1时，时，f f(x x)取极大值取极大值f f(1)(1)5 58 8c c.又又f f(3)(3)9 98 8c cf f(1)(1)，x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98c.对任意的x0,3，有f(x)c2恒成立，98cc2，即c1或c9.c的取值范围为(，1)(9，)(2)由(1)知f(x)f(3)98c，98cc2，即c1或c9，c的取值范围为(，19，).再见再见
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