王利军布朗运动的理论研究样本

布朗运动的理论研究摘要 :布朗运动的发现激发了人们对这种运动的研究兴趣,随着研究的深入,人们对这种运动的理论日趋清楚,提供给科学与工程为建立随机模式的一个不可缺的基本工具,布朗运动在随机过程的动力论中也扮演着一个重要的角色,也使随机过程的理论添加了新的生命.关键词 :布朗运动爱因斯坦理论朗之万理论扩散维纳过程数学模式一 引言1827年 , 英国植物学家布朗用显微镜观察水中悬浮的花粉时发现这些花粉颗粒不停地做无规则的运动 . 接着她又把碎玻璃片碾成粉末和墨汁分别撒在水中 , 同样能观察到这些粉末和碳粒均做无规则运动 , 而且颗粒越小、 温度越高 , 这种无规则运动越显著 , 布朗把她的实验过程详细地记载下来 , 写在她于 1828 年出版的植物花粉的显微观察 一书中 . 可是她当时并不理解产生这种运动的原因 , 但她为后人提供了一个作深入研究的课题 . 后人为了纪念她 , 把她观察的小颗粒运动命名为”布朗运动” .1877 年, 德索耳提出 , 微粒受到周围媒质分子不平衡的碰撞是产生布朗运动的原因 .19 物理学家爱因斯坦发表了对布朗运动的理论研究成果 . 但最引人注目的是爱因斯坦发表在德国的 物理年鉴第四篇第 17 卷上题为”热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动”的论文 , 该论文也是爱因斯坦在 19 富有创造性研究中的首篇 . 在这篇论文中 , 爱因斯坦把显微镜下可见粒子的运动看作是显微镜下看不到的液体分子运动的表征 , 证明了布朗粒子的运动是由于液体分子从四面八方对它撞击引起的 , 这种撞击的不规则性和偶然性使来自不同方向的作用互不完全抵消 . 随后斯莫陆绰斯基 (19 ) 、 朗之万 (19 ) 都发表了各自关于布朗运动的理论工作 , 证明布朗粒子位移平方的平均值正比于,时间 1 .1923年 ,维纳首先把布朗运动当作一种随机过程来研究. 因此 ,布朗运动也叫做维纳过程. 不久 , Paul Levy及后来的研究者将布朗运动发展成当前资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。的巨构 ,如今布朗运动在理论上与应用上已与帕松过程构成了两种最基本的随机过程 2 .经由谨慎的实验及讨论 ,科学家发现布朗运动有下列主要特性:1 粒子的运动由平移及转移所构成,显得非常没规则而且其轨迹几乎是处处没有切线 .2 粒子的移动互不相关,甚至于当粒子互相接近至比其直径小的距离时也是如此 .3 粒子越小或液体粘性越低或温度越高时,粒子的运动越活泼 .4 粒子的成分及密度对其运动没有影响.5 粒子的运动永不停止 .二爱因斯坦理论二十世纪初 , 爱因斯坦及斯莫陆绰斯基发现不论粒子的运动有多么不规则 , 布朗运动仍能够用机率律来分析 , 其研究说明了粒子在一段时间内的位移是根据常态分配的 . 爱因斯坦的工作可说是布朗运动的动力论的先驱 . 其理论概述如下 :令（x，t)是一个布朗运动粒子在时间t及位置x 时之机率密度( xR3 ).然后在某些机率假设下,爱因斯坦导出D(1)t这里 D 是一正常数 ,称之为扩散系数 . 假若粒子在 t =0 的位置为 x=0,则x211（x,t ) () 3 e 4 D2(2)4Dt三 朗之万理论悬浮在流体中的布朗粒子比流体分子大几十万倍, 布朗粒子的运动速度比流资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。体分子的速度为甚小 . 朗之万将流体分子对布朗粒子的作用力分为两种 , 一种是外力场的力 , 如重力 ; 另一种是周围分子作用力 , 可分成三部分 :(1) 浮力 ;(2) 粘滞阻力 . 粒子以速度运动 , 不大时 , 粘滞阻力 =- 是阻力系数 ;(3) 涨落不定的无规力 ( ), 无规力脉冲持续时间甚短 , 彼此全无关联 , 因此其时间平均值等于零 , 即F (t) 0(1)设布朗粒子质量为 , 在水中运动 . 平行于水面的方向上 , 重力、 浮力都不出现 , 根据牛顿第二定律 , 写出方向投影式 .mxxx(2)式中是 ( ) 在方向上的分力 .(1)式就叫做朗之万方程 . 以遍乘 (2) 式 , 得.xX(3)m x xx x.1 dx2(4)注意到x x2dt.2.222.2x x 1 dx(x x)x1 dxx(5)2dt2 dt 2由 ( 3)可得1 d2(mx2 ).2dx2(6)2m xxX2 dt2dt上式对大量粒子求平均 ,也就是对各布朗粒子写出上式, 累加后除以布朗粒子数 .因最末项xX0(7)而对上式第二项 , 将能均分定理用到布朗粒子上有.2(8)1 m x1 kT22经整理得d2 x2d x22kT(9)dt2m dtm(9) 式是一个二阶常系数线性非齐次微分方程, 其通解为资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。x22kT tC1e mC 2(10)t 1、2 是积分常数 . 设 =0 时布朗粒子在 =0 处, 且初速率为零 , 于是x22kTtem1(11)tm( )2mm若时间很短 ,t 1即 tm ,me mtt1 ()2 t 2( 12)1m2 m则x2kT t 2v2t 2(13)mm , 则表明在很短的时间内 , 平均粒子以恒速运动 . 若时间较长 ,t1, 即 tmt0 , 于是e mx22kTt(14)m(14) 式表明时间间隔较长时 ,这正是理论结论 . 为简化问题 , 设布朗粒子呈圆球形 ,由流体力学的斯托克斯定律, 粘滞阻力,与前比较知 ,代入 (14) 式得x22kT t 2Dt(15)6(15) 式被称为爱因斯坦关系式 3 .四 布朗粒子的扩散设流体中有个布朗粒子 , 初始时刻都集中在原点 , 由于有布朗运动 , 布朗粒子向四周扩张 . 以 ( , ) 表示布朗粒子的数密度 , ( , ) 表示单位时间内经过单位截面的粒子数 , 称为流密度 . 用扩散的观点 , 仍能推得 (5) 式结果 , 推导如下 : 按定律J (r , t)Dn(r , t)(1)负号表示粒子由浓度高处向低处扩散. 由于粒子在流体中的运动满足连续性方程,故资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。n(2)J 0t(6) 代入 (7), 得到扩散方程nD 2n 0(3)t其解为球对称解Nr 2n3e 4Dt(4)4Dt2于是 , 粒子的平移位移及位移散差为:r (t)0(5)r 2 (t)40 n(r ,t )r 4dr6Dt t(6)N因粒子在各方向运动 , 而各方向机会均等 , 即r 2x2y2z23x2(7)故x22Dt(8)和上节 ( 15)式一样 . 在此系数是扩散系数五 维纳过程1923 年 , 维纳提出了随机过程的严格数学模型 , 其表现出的随机性跟布朗运动相似 . 这个数学上的布朗运动称为维纳过程 4 . 维纳从数学上证明了布朗运动的存在 , 并与马尔科夫过程 ( 一个未来由现在决定 , 且不依赖于过去的随机过程 ) 、正态分布相联系 . 从一维布朗运动的样本到二维、 维布朗轨道的模拟 , 使我们对布朗运动、 无轨行走等随机过程有了越来越深入的理解与认识 .六 布朗运动的数学模式1首先我们建立R 上的布朗运动 ,我们的作法简单地说是利用对称随机漫步 , 缩小其每一步长度而在单位时间内加速其移动频率来仿真布朗运动 . 假想一个粒子在坐标轴上原点为起始点作对称随机漫步 , 每一步位移为 而每单位时资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。间内移动次数为r 次,则此粒子在时间t 时之位置为,其中nW 是对称随机漫步而且W0=0. 由 Wn 的性质知(1)(2)令,使得逼近一定数D譬如,取) ,由中央(极限定理 ,我们得到(3)为求简化起见 ,我们设 D=1. 令 Bt 为 Zt 之极限随机变量 ,则便叫做布朗运动或维纳过程. 由以上之讨论 ,我们可用数学语言定义布朗运动如下 :定义一 :令为一随机过程且满足以下三个条件:(1) B (0)=0(2) 设, 则 B()-():sj +1B sj为独立随机变量族 .(3)对每一, ,B tsB s)有常态分配N t),换句(+ )-(0,话说 .( 4)资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。其中(1) 与(2) 皆是继承 Z t 的性质而来 , (3) 也表示布朗运动对时间有齐一性 .合并(2)(3)的性质,我们称 B t)有平稳独立增量.对任意, B(ta一()+般叫做以a 为起点的布朗运动 .以下我们只考虑连续的布朗运动.定理一 :(1)(2)E(3)B( t )停留在任一有界集合之机率为零(4) 几乎所有 B( t ) 的轨迹皆是处处连续而处处不可微分定理一的 (1) 表示布朗运动为马可夫过程 ; (2) 说明 B( t ) 为平赌过程。 以上二者皆可由定义一之 (2) 证明之 . 第 (3) 点与随机漫步之性质相似 . 第(4) 点说明布朗运动与实际现象相符合 5 .定理二 :(Levy) 随机过程为布朗运动之充要条件为(1) B( t ) 为平赌过程 .(2) B( t ) 2- t 为平赌过程 .Levy定理提供我们一个检查给定的随机过程B t)是否为布朗运动的方法:对(任何时间,若T 以后B(t2及B(t2t之平均值分别为B T及) )-( )B T2T 时,则B(t)必是布朗运动.( )-布朗所观察到的布朗运动当然是三度空间的运动,但由观察显示粒子在各方向之移动是独立的 ,因此我们采用以下定义 :