《函数的极值》PPT课件

4.3 函 数 的 极 值 定 义 4.1 设 函 数 在 点 的 某个 领 域 内 有 定 义 . )(xfy 0 x (1)如 果 对 于 该 领 域 内 任 意 的 总 有 ， 则 称 为 函 数 的极 大 值 ， 并 且 称 点 是 的 极 大 值 点 . )( 0 xxx )()( 0 xfxf )( 0 xf )(xf)(xf0 x总 有 ， 则 称 为 函 数 的 极 小 值 ， 并 且 称 点 是 的 极 小 值 点 .)( 0 xxx )()( 0 xfxf )( 0 xf )(xf)(xf0 x(2)如 果 对 于 该 领 域 内 任 意 的 函 数 的 极 大 值 与 极 小 值 统 称 为 函 数 的极 值 ， 极 大 值 与 极 小 值 值 点 统 称 为 极 值 点 .o xya b)(xfy 1x 2x 3x 4x 5x 6x 定 理 4.7(极 值 存 在 的 必 要 条 件 )如 果 在 点 处 取 得 极 值 且 在 点 处 可 导 ,则 . )(xf0 x 0)( 0 xf 0 x 说 明 (1) 只 是 在 点 处 取极 值 的 必 要 条 件 ， 而 不 是 充 分 条 件 .事 实 上 ， 函 数 在 时 ， 导 数 等 于 零 ， 但 在 该 点并 不 取 得 极 值 。3y x 0 x0( ) 0 f x ( )f x0 x 通 常 把 使 得 的 点 称 为 驻 点 .驻 点 可 能 是 函 数 的 极 值 点 ， 也 可 能 不 极 值 点0 x( ) 0 f x (2)定 理 的 条 件 之 一 是 函 数 在 点 可 导 ，而 导 数 不 存 在 的 点 也 有 可 能 取 得 极 值 。0 x 例 如 ， 在 不 可 导 ， 但 却 取 得 极 小 值 ，( )f x x 0)0( f0 x (1) 由 正 变 负 ， 则 是 极 大 值 点 ；)(xf 0 x (2) 由 负 变 正 ， 则 是 极 小 值 点 ；)(xf 0 x (3) 不 改 变 符 号 ， 则 不 是 极 值 点 .)(xf 0 x 定 理 4.8 (极 值 判 别 法 )设 函 数 在 点 的 邻 域 内 连 续 且 可 导 (允 许 不存 在 )， 当 由 小 增 大 经 过 点 时 ， 若0 x x )( 0 xf0 x )(xfxyo xyo0 x 0 x 找 出 在 定 义 域 内 两 类 点 ， 即 找 出使 的 点 及 所 有 导 数 不 存 在 的 点 ；)(xf0)( xf 确 定 函 数 的 定 义 域 ， 求 出 导 数 ；)(xf)(xf 用 两 类 点 将 定 义 域 分 成 若 干 个 部 分 区 间 ，并 确 定 在 每 一 个 部 分 区 间 上 的 符 号 ；( )f x 由 定 理 ， 确 定 在 两 类 点 处 是 否 有 极值 ， 是 极 大 值 还 是 极 小 值 。( )f x求 函 数 极 值 的 步 骤 ： 例 1 求 函 数 的 极 值 32 )1()1()( xxxf 解 223 )1()1(3)1)(1(2)( xxxxxf )3322()1)(1( 2 xxxx )15()1)(1( 2 xxx ，令 ， 解 得 ， ， .得 到 三 个 驻 点 ， 没 有 导 数 不 存 在 的 点 .0)( xf 1x 51x 1x x 1x 15 x )(xf )(xf )1,( )51,1(1 )32,0( 1 ),1( 510 00 000无 极 值 12534563极 大 值 0极 小 值 由 表 可 见 函 数 的 极 大 值 为 ，极 小 值 为 12534563)51( f0)1( f 例 2 求 函 数 的 极 值 32)1(32)( xxxf 解 )111(32)1(3232)( 331 xxxf 33 11132 xx ， 当 时 ， 不 存 在 1x )(xf0)( xf 2x 令 ， 解 得 . x3 1x 113 x )(xf )(xf )1,( )2,1(1 ),2( 2 0032极 大 值 31极 小 值 0 函 数 极 大 值 为 ， 极 小 值 为 32)1( f31)2( f 练 习 一 求 下 列 函 数 的 极 值12 1 ( ) (1) 43 ( ) (3) 0 x f x fx f x f 在 处 ， 有 极 大 值 ；在 处 ， 有 极 小 值3 21. ( ) 6 9 f x x x x3 22. (2 5) y x x1 (1) 30 (0) 0 x fx f 在 处 ， 函 数 有 极 小 值 ；在 处 ， 函 数 有 极 大 值 (1)若 ， 则 函 数 在 点 处取 得 极 大 值 ； 0)( 0 xf )(xf 0 x (2)若 ， 则 函 数 在 点 处取 得 极 小 值 ； 0)( 0 xf )(xf 0 x (3)若 ， 则 不 能 判 断 是 否是 极 值 . 0)( 0 xf )( 0 xf 定 理 4.9(极 值 判 别 法 ) 设 函 数 在点 处 有 二 阶 导 数 ， 且 ， 存 在 ， )(xf0 x 0)( 0 xf 0)( 0 xf 因 此 ， 当 时 ， 第 二 判 别 法 失 效 ，只 能 用 第 一 判 别 法 判 断 .0)( 0 xf 0)( 0 xf )(xf 对 于 的 情 形 ： 可 能 是 极 大 值 ，可 能 是 极 小 值 ， 也 可 能 不 是 极 值 例 如 4)( xxf 0)( xf 0)0( f ， ， 是 极 大 值 ；4)( xxg 0)0( g 0)0( g ， ， 是 极 小 值 ；3)( xx 0)0( 0)0( ， ， 但 不 是 极 值 例 3 求 函 数 的 极 值 193)( 23 xxxxf 解 ，)3)(1(3963)( 2 xxxxxf 令 ， 解 得 ， .0)( xf 1x 3x66)( xxf ， ， 所 以 是 极 大 值点 . 的 极 大 值 为 .012)1( f 1x)(xf 6)1( f ， 所 以 是 极 小 值 点 .的 极 小 值 为 .012)3( f 3x26)3( f 练 习 二 求 函 数 的 极 值0 ( ) (0) 0 x f x f 在 处 ， 有 极 小 值2 3 ( ) ( 1) 1 f x x 对 于 一 个 闭 区 间 上 的 连 续 函 数 ,它 的最 大 值 、 最 小 值 只 能 在 极 值 点 或 端 点 上 取 得 因 此 ,只 要 求 出 函 数 的 所 有 极 值 和 端 点 值 ，它 们 之 中 最 大 的 就 是 最 大 值 ， 最 小 的 就 是 最 小值 . )(xf )(xf 如 果 函 数 在 闭 区 间 a,b上 连 续 ， 则 在 a,b必 能 取 得 最 大 值 和 最 小 值 .函 数的 最 大 值 与 最 小 值 统 称 为 函 数 的 最 值 。)(xf)(xf 求 出 在 内 的 所 有 驻 点 和 一 阶导 数 不 存 在 的 连 续 点 ， 并 计 算 各 点 的 函 数 值 . )(xf ),( ba )(af )(bf 求 出 端 点 的 函 数 值 和 .求 最 大 值 和 最 小 值 的 方 法 如 下 ： 比 较 前 面 求 出 的 所 有 函 数 值 ， 其 中 最大 的 就 是 在 上 的 最 大 值 , 最 小 的就 是 在 上 的 最 小 值 .)(xf M)(xf , ba, ba m 例 4 求 函 数 在 上 的 最 大 值 与 最 小 值 . 11243)( 234 xxxxf3,3 令 ， 解 得 ， ， ，0)( xf 1x 0 x 2x解 xxxxf 241212)( 23 0)2)(1(12 xxx 计 算 出 ， ， ，4)1( f 1)0( f 31)2( f 再 算 出 ， ，244)3( f 28)3( f 比 较 这 五 个 函 数 值 ， 得 出 在 上 的 最 大 值 为 ， 最 小 值 为 . )(xf 3,3244)3( f31 )2(f 比 较 这 五 个 函 数 值 ， 得 出 在 上的 最 大 值 为 ， 最 小 值 为 .)(xf 2,211)2( f 2)1( f 解 )1)(1(444)( 3 xxxxxxf ， 令 ， 解 得 ， ， ，0)( xf 1x 0 x 1x 计 算 出 ， ，3)0( f 2)1( f 再 算 出 ，11)2( f 例 5 求 函 数 在 上 的 最 大 值 与 最 小 值 . 32)( 24 xxxf 2,2 例 6 求 函 数 在 上 的 最 大 值 与 最 小 值 . 1)( 3 xxf 3,1 令 ， 解 得 ，0)( xf 0 x 计 算 出 ，1)0( f 再 计 算 出 ， ，0)1( f 28)3( f 解 23)( xxf ， 比 较 以 上 三 个 函 数 值 得 出 在 上 的 最 大 值 为 ， 最 小 值 为 .)(xf 3,128)3( f 0)1( f 事 实 上 ， 有 ， 故 是 单调 增 加 的 ， 单 调 函 数 的 最 大 值 和 最 小 值 都 发生 在 区 间 的 端 点 处 . 03)( 2 xxf )(xf 练 习 三 ( ) 0,4 (4) 6(0) 0f x ff 函 数 在 的 最 大 值 为最 小 值 为求 函 数 ， 在 闭 区 间 0,4上 的 最大 值 和 最 小 值 .( ) f x x x 特 别 值 得 指 出 的 是 ： 在 一 个 区 间 (有限 或 无 界 ， 开 或 闭 )内 可 导 且 只 有 一 个 驻 点 ， 并 且 这 个 驻 点 是 的 唯 一 极 值 点 ， 那)(xf0 x )(xf么 ， 当 是 极 大 值 时 ， 就 是 在 该区 间 上 的 最 大 值 ； 当 是 极 小 值 时 ， 就 是 在 该 区 间 上 的 最 小 值 在 应 用 问 题中 往 往 遇 到 这 样 的 情 形 这 时 可 以 当 作 极 值问 题 来 解 决 ， 不 必 与 区 间 的 端 点 值 相 比 较 )( 0 xf )( 0 xf)(xf )( 0 xf )( 0 xf)(xf 解 设 窗 框 的 宽 为 ， 则 长 为 . m xm)36(21 x xxx 例 7 欲 用 长 的 铝 合 金 料 加 工 一 日 字形 窗 框 ， 问 它 的 长 和 宽 分 别 为 多 少 时 ， 才 能 使窗 户 面 积 最 大 ， 最 大 面 积 是 多 少 ？m6 )2,0(,233)36(21 2 xxxxxy 于 是 窗 户 的 面 积 令 ， 求 得 驻 点 ，0y 1xxy 33 因 为 ， 所 以 是 极 大 值 点 .由 于 在 区 间 (0， 2)内 有 唯 一 的 极 大 值 ， 则这 个 极 大 值 就 是 最 大 值 . 03y 1xy 于 是 得 到 ， 窗 户 的 宽 为 ， 长 为 时 ， 窗 户 的 面 积 最 大 ， 最 大 面 积 为m1 m23)m(23)1( 2y 例 8 某 厂 生 产 某 种 产 品 ， 其 固 定 成 本 为3万 元 ， 每 生 产 一 百 件 产 品 ， 成 本 增 加 2万 元 R q 其 总 收 入 (单 位 ： 万 元 )是 产 量 (单位 ： 百 件 )的 函 数 . 2215 qqR ， 求 达 到 最 大 利 润 时 的 产 量 解 利 润 函 数 为 22133 qqCRL qL 3 ，令 ， 得 (百 件 ).0L 3q ， 所 以 当 时 ， 函 数 取得 极 大 值 ， 因 为 是 唯 一 的 极 值 点 ， 所 以 就 是 最大 值 点 . 01)3( L 3q 即 产 量 为 300件 时 取 得 最 大 利 润 . 例 9 已 知 某 个 企 业 的 成 本 函 数 为25309 23 qqqC ， 其 中 成 本 (单 元 ： 千 元 )， 产 量(单 位 ： 吨 )， 求 平 均 可 变 成 本 (单 位 ： 千元 )的 最 小 值 C qy 解 平 均 可 变 成 本 30925 2 qqqCy ，92 qy ，令 ， 得 (吨 ).0y 5.4q 75.930)5.4(9)5.4( 25.4 qy (千 元 ). 即 产 量 为 4.5吨 时 ， 平 均 可 变 成 本 取 得 最小 值 9750元 . ， 所 以 时 ， 取 得极 小 值 ， 由 于 是 唯 一 的 极 值 ， 所 以 就 是 最 小值 y025.4 qy 5.4q 1.某 农 厂 要 用 围 墙 围 成 面 积 为 的 一 块矩 形 土 地 ， 并 在 正 中 用 一 堵 墙 将 它 隔 成 两 块 ，问 这 块 土 地 的 长 和 宽 选 取 多 大 的 尺 寸 ， 才 能 使所 用 的 建 筑 材 料 最 省 ？ 2216m练 习 四 解 设 土 地 的 长 为 ， 则 宽 为 m x216mx 因 此 围 墙 和 隔 墙 的 总 长 度 为( )f x216( ) 2 3 f x x x6482 , (0 ) x xx2648( ) 2 f x x ( ) 0, f x令 1 218, 18( ) x x解 得 舍 去1 ( ) (0,+ ) =18f x x因 此 在 有 唯 一 驻 点 3 3648 1296 ( ) 2 0, (0 ) f x xx x又 因 为所 以 是 唯 一 极 值 点 ，因 而 也 是 最 小 值 点 .1 18x ( )f x 216 1218 因 此 ， 当 这 块 土 地 的 长 为 18米 ， 宽 为 米 时 ，围 墙 和 隔 墙 的 总 长 度 最 短 ， 所 用 建 筑 材 料 最 省 . 2.某 工 厂 生 产 电 视 机 ， 固 定 成 本 为 元 ，每 生 产 一 台 电 视 机 ， 成 本 增 加 元 ， 已 知 总 收益 是 年 产 量 的 函 数问 每 年 生 产 多 少 台 电 视 机 时 ， 总 利 润 最 大 ？ 此时 总 利 润 是 多 少 ？ C x根 据 题 意 总 成 本 是 年 产 量 的 函 数 ， 得解 ( )C C x a bx 21( ) 4 ,(0 4 )2 R R x bx x x b abR x ( ) ( ) ( )L L x R x C x 总 利 润 213 , (0 4 )2 bx x a x b ( ) 3 , (0 4 )L x b x x b 因 为 ( ) 3L x x b所 以 有 唯 一 驻 点2 3(4.5 )( )bb a因 此 ， 当 年 产 量 为 时 ， 总 利 润 最 大 ，此 时 总 利 润 为 元 3.设 成 本 函 数 ， 问产 量 等 于 多 少 时 平 均 成 本 达 到 最 小 ？ 2( ) 54 18 6C x x x 解 由 于 平 均 成 本 为 ( ) 54( ) 18 6C xC x xx x 254( ) 6C x x ( ) 3,C x x 令 ， 解 得 又 因 为3108( ) 0, ( 0 ) C x xx 当 时3x 所 以 唯 一 极 小 值 点3因 此 ， 当 产 量 为 个 单 位 时 ， 平 均 成 本 达 到 最 小 。