《函数极限》PPT课件

一 、 自 变 量 趋 于 有 限 值 时 函 数 的 极 限二 、 自 变 量 趋 于 无 穷 大 时 函 数 的 极 限第 三 节 函 数 的 极 限 ,)(xfy对 0)1( xx 0)2( xx 0)3( xx x)4( x)5( x)6(自 变 量 变 化 过 程 的 六 种 形 式 : 根 据 自 变 量 的 这 种 变 化 过 程 ， 本 节 主 要 研 究 以 下两 种 情 况 ：二 、 当 自 变 量 x的 绝 对 值 无 限 增 大 时 ， f(x)的 变 化 趋 势 ，的 极 限时即 )(, xfx 一 、 当 自 变 量 x无 限 地 接 近 于 x0时 ， f(x)的 变 化 趋 势的 极 限时即 )(,0 xfxx 一 、 自 变 量 趋 向 有 限 值 时 函 数 的 极 限的 变 化 趋 势函 数时考 察 1 )1(2)(,1 2 xxxfx 这 个 函 数 虽 在 x=1处无 定 义 ， 但 从 它 的 图形 上 可 见 ， 当 点 从 1的左 侧 或 右 侧 无 限 地 接近 于 1时 ， f(x)的 值 无限 地 接 近 于 4， 我 们 称常 数 4为 f(x)当 x1 时 f(x) 的 极 限 。 1 xyo4 Axf )( 00 xx 0 x 0 x,0 邻 域的 去 心点 x .0程 度接 近体 现 xx怎 样 用 数 学 语 言 刻 划 ,0 xx 无 限 接 近 )(xf函 数于 确 定 值 A？ ;)( 任 意 小表 示 Axf .0的 过 程表 示 xx 0 xx ),( 0 xU xO 0 x ,0若 )( 若1.定 义定 义 1 设 函 数有 定 义 . ,0 ,0 0 时使 当 xx Axf )( ,)(0 Axfxx 有 极 限时 函 数则 称 ,)(lim 0 Axfxx 记 作 ).()( 0 xxAxf 或 恒 有 )(xf 在 点 x0某 去 心 邻 域 内 注 定 义 习 惯 上 称 为 极 限 的 定 义 其 三 个 要 素 ：10。 正 数 ， 20。 正 数 ， 30。 不 等 式 )|0(|)(| 0 xxAxf定 义 .)( ,0,0,0 0 Axf xx恒 有 时使 当0lim ( )x x f x A 定 义 中 |0 0 xx 0 xx 表 示 所 以 x x0时 ， f(x) 有 无 极 限 与 f(x)在 x0处 的状 态 并 无 关 系 ， 这 是 因 为 我 们 所 关 心 的 是 f(x) 在 x0附 近 的 变 化 趋 势 ， 即 x x0时 f(x) 变 化 有 无 终 极目 标 ， 而 不 是 f(x) 在 x0这 一 孤 立 点 的 情 况 。 约 定 x x0但 xx0 0反 映 了 x充 分 靠 近 x0的 程 度 ， 它 依 赖 于 ，对 一 固 定 的 而 言 ， 合 乎 定 义 要 求 的 并 不 是 唯一 的 。 由 不 等 式 |f(x) A| 来 选 定 ，一 般 地 ， 越 小 ， 越 小 ,0 AyA必 存 在 x0的 去 心 邻 域,0 0 xx对 于 此 邻 域 内 的 x,对 应 的 函 数 图 形 位 于 这 一 带 形 区 域 内 .的 几 何 意 义Axfxx )(lim.2 0 作 出 带 形 区 域,0 ,0 0 xx当 Axf )(,0 xyO )(xfy A A 0 x0 x 0 xA 一 般 说 来 , ,)(lim0 Axfxx 论 证 应 从 不 等 式 Axf )( 出 发 , 推 导 出 应 小 于 怎 样 的 正 数 ,这 个 正 数 就 是 要 找 的 与 相 对 应 的 ,这 个 推 导 常 常 是 困 难 的 . 但 是 , 注 意 到 我 们 不 需 要 找 最 大 的 , 所 以Axf )( 适 当 放 大 些 ,的 式 子 , 变 成 易 于 解 出 0 xx .找 到 一 个 需 要 的 找 到就 证 明 完 毕 .可 把 . lim 00 xxxx 证明证 , | 0 , ,0 0时则当取 xx | 0 xx . lim , 00 xxxx 故成立例 1 例 2 证 明 5)13(lim2 xx证 |2|3|5)(| xxf |2|3|5)(| xxf要 使 3|2| x只 须于 是 0 )3( 时当 |2|0 x恒 有 |5)(| xf 5)13(lim2 xx 例 3. 证 明 211lim 21 xxx证 : Axf )( 2112 xx 21 x故 ,0 取 , 当 10 x 时 , 必 有 2112xx因 此 211lim 21 xxx 1 x 注 ： 在 x=1处 f(x)出 现 了 一 个 洞 ， 这 就 如 同 人 生 命 中的 一 小 块 空 白 ， 一 个 失 去 了 意 义 的 日 子 ， 但 重 要 的 是追 求 理 想 的 过 程 。 例 4 .lim 0 0 xxxx 证 0)( xxAxf ,0 ,0 0 时当 xx 00 xx xx Axf )(要 使 ,0 xx有 00 xxx即 只 要 .lim,0: 00 0 xxx xx 时当证 明 0 x且取 , 0 x 0 x min 00 xxx0 x 可 用 00 xxx 保 证 (1) 证 明 914lim2 xx证 ,0 由 于 24914 xx要 使 914x 解 出 )(2 x只 要 ,42 x 可 取 ,20 时当 x 有 ,914 x 914lim2 xx解 不 等 式 , 4 (2) 证 明 0coscoslim0 xxxx 0coscos xx 2sin2 0 xx 0 xx证 ,0 可 取 , ,0 0 时当 xx有 ,coscos 0 xx 0coscoslim0 xxxx 2 sin2sin2 00 xxxx 3. 左 、 右 极 限 (单 侧 极 限 )例 如 , 0,1 0,1)( 2 xx xxxf设 00 xx 和分 , 0 xx从 左 侧 无 限 趋 近 ;00 xx记 作,0 xx从 右 侧 无 限 趋 近 .00 xx记 作.1)(lim0 xfx 两 种 情 况 分 别 讨 论 ! x yO1xy 1 12 xy 左 极 限 ,0右 极 限 Axfxx xx )(lim)( 0 00记 作 Axf xx xx )(lim)( 000记 作 ,0 .)( Axf恒 有 00 xxx 使 得 时 ,Axf )0( 0或,0 ,0 00 xxx使 得 时 ,.)( Axf恒 有 Axf )0( 0或 .)( 0 Axf 或或 .)( 0 Axf 0 0 xxx注 Axfxx )(lim 0 Axfxf )0()0( 00 均 存 在和 右 极 限左 极 限 )0()0( 00 xfxf且 00 00 xxxxxx 性 质 常 用 于 判 断 分 段 函 数 当 x趋 近 于分 段 点 时 的 极 限 . (1) 左、右极限均存在, 且相等；(2) 左、右极限均存在, 但不相等；(3) 左、右极限中至少有一个不存在.找找例题！ 函数在点 x0 处的左、右极限可能出现以下三种情况之一： 试 证 函 数 ,1sin 1)( xx xxxf)(lim1 xfx xx 1lim .,1 无 极 限时当 x证 )(lim 1 xfx xx sinlim1 1 1sin左 、 右 极 限 不 相 等 , 故.)(,1 无 极 限时 xfx 例 5 11 121 1)( 2 xx xxxxf求 )(lim1 xfx )(lim1 xfx y = f (x) xO y 1121在 x = 1 处的左、右极限.1lim 21 xx 0)1(lim1 xx 解 二 、 自 变 量 趋 向 无 穷 大 时 函 数 的 极 限 .sin 时 的 变 化 趋 势当观 察 函 数 xxx 返 回 问 题 :函 数 )(xfy 在 x 的 过 程 中 , 对 应函 数 值 )(xf 无 限 趋 近 于 确 定 值 A.通 过 上 面 演 示 实 验 的 观 察 : .0sin)(, 无 限 接 近 于无 限 增 大 时当 xxxfx 问 题 : 如 何 用 精 确 的 数 学 数 学 语 言 刻 划 函 数 “ 无限 接 近 ” . ;)()( 任 意 小表 示 AxfAxf .的 过 程表 示 xXx :.1 定 义 定 义 X Axfx )(lim .)(,0,0 AxfXxX 恒 有时使 当 2. 另 两 种 情 形 Axfx )(lim 且Axfx )(lim Axfx )(limAxfx )(lim ,0 ,0X 当 Xx 时 , 有Axf )(lim ( )x f x A ,0 ,0X 当 Xx 时 , 有Axf )( 解 显 然 有 ,2arctanlim xx ,2arctanlim xx可 见 xx arctanlim和 xx arctanlim虽 然 都 存 在 , 但 它 们 不 相 等 .x x arctanlim故 不 存 在 . 例 6 讨 论 极 限 是 否 存 在 ?xx arctanlim 2 2y xy arctan x X X,时或当 XxXx A的 几 何 意 义Axfx )(lim.3 ,| 时当 Xx 有 |)(| Axf ,0 ,0X AxfA )()(xfy 函 数,为 中 心 线以 直 线 Ay .2 的 带 形 区 域 内宽 为 )(xfy 图 形完 全 落 在 : xyO xxy sin例 7 0sinlim xxx证 明证 ,0 ,1X取 ,| 时当 Xx 0sinxx .0sinlim xxx故要 使 ,0sin xx 成 立 .xxxx sin0sin ,|1x 只 要 |1x 有,1| x即 解 不 等 式 | x解 出 xyO .111lim 22 xxx试 证证 ,0注 意 有 12111 222 xxx ,22x为 了 使 ,11122 xx 只 要 使 ,22 x,2x即 ,2X取 ,时当 Xx 有 222 2111 xxx .111lim 22 xxx x解 出,0时当 x 三 、 函 数 极 限 的 性 质 函 数 极 限 与 数 列 极 限 相 比 ,有 类 似 的 性 质 ,定 理 1(极 限 的 唯 一 性 )有 极 限 , 若 在 自 变 量 的 某 种 变 化趋 势 下 , 则 极 限 值 必 唯 一 .定 理 2(局 部 有 界 性 ) , 0时若 当 xx f(x)有 极 限 ,则 f(x)在 上 有 界 ;),( 0 xU ,时若 当 x f(x)有极 限 , ,|,0 时当则 存 在 XxX .)( 有 界函 数 xf且 证 明 方 法 也 类 似 .)(xf ,)(lim)1( 0 Axfxx 若定 理 3(局 部 保 号 性 )证 (1) 设 A0, 取 正 数 ,2A,)(lim 0 Axfxx 由,0则 ,0 0 xx使 当 ,2)( AAxf 即 2)(2 AAxfAA .0)( xf );0)(0)(,),( 0 xfxfxU 或有内则 在 ),0)(0)(),()2( 0 xfxfxU 或内 有若 在 ).0(0 AA 或则 必 有23A2A 有 自 己 证),0(0 AA 或且 0lim ( ) ,x x f x A 若 ),0()(lim0 AAxfxx若只 要 取 ,2A 便 可 得 更 强 的 结 论 :证 (1) ,2)( Axf 已 证 也 即2)( Axf (2) 自 己 证 .定 理 3 (1)的 证 明 中 ,),( 0 内使 在 xU .2|)(| Axf 有 不 论 ,0则 ,00 AA 或定 理 3 ,0时A ,0时A ),0)(0)(),()2( 0 xfxfxU 或内 有若 在 ).0(0 AA 或则 必 有证 ,0)( xf设 假 设 上 述 论 断 不 成 立 , ,0A即 设那 末 由 (1)就 有 ),( 0 xU 在 该 邻 域 内 ,0)( xf这 与 .0A所 以类 似 可 证 的 情 形 .0)( xf假 设 矛 盾 ,若 定 理 3(2)中 的 条 件 改 为 ,0)( xf必 有 ?0A不 能 ! 20limxx如 是 否0定 理 3 ),0(0,)(lim)1( 0 AAAxfxx 或且若 );0)(0)(,),( 0 xfxfxU 或有内则 在 定 理 3 0lim ( ) ,x x f x A 若 定 理 4(函 数 极 限 与 数 列 极 限 的 关 系 )如 果 极 限 存 在 , nx 为 函 数 )(xf的 定 义 域 内 任 一 收 敛 于 x0的 数 列 ,那 么 相 应 的 函 数 值 数 列 且 满 足 : 0 xxn ),( Nn )( nxf 必 收 敛 ,且证 设 则 ,0 ,0,|0 0 时当 xx .|)(| Axf有故 对 ,0 ,N ,时当 Nn 有 .| 0 xxn,时当 Nn ,|0 0 xxn 有 .|)(| Axf n即 0lim xxnn )(lim0 xfxx ).(lim)(lim 0 xfxf xxnn )(lim nn xf A,)(lim0 Axfxx 例 8 .1sinlim0 不 存 在证 明 xx证 xy 1sin ,1 nxn取 ,0lim nn x ;0nx且 ,2 14 1 nxn取 ,0lim nn x ;0nx且nx nnn sinlim1sinlim 而 2 14sinlim1sinlim nx nnn而 1lim n ,1二 者 不 相 等 , .1sinlim0 不 存 在故 xx 1. 函 数 极 限 的 或 X 定 义 ;2. 函 数 极 限 的 性 质 局 部 保 号 性 ;四 、 小 结唯 一 性 ; 局 部 有 界 性 ;函 数 极 限 与 数 列 极 限 的 关 系 ;3. 函 数 的 左 右 极 限 判 定 极 限 的 存 在 性 . 思 考 题1. 设 函 数 )(xf 且 )(lim1 xfx 存 在 , 则. a 1,12 1,2 xx xxa . |lim 0 xxx求2.4. 试 证 311lim 31 xxx lim . x xx xx e ee e 讨 论 的 存 在 性3. 0 lim . | |x xx求 |lim 0 xxx |lim0 xxx )(lim)(lim 00 xfxf xx . |lim 0不存在xxx xxx 0lim 11lim0 x xxx 0lim 1)1(lim0 x解 （ 1） lim . x xx xx e ee e 讨 论 存 在 性 , 111limlim 22 xxxxx xxx eeee ee , 111limlim 22 xxxxx xxx eeee ee , limlim xx xxxxx xxx ee eeee ee 由于 . lim 不存在故xx xxx ee ee (2)解： (3) 试 证 311lim 31 xxx提 示 仅 需 在 附 近 讨 论 问 题 ,1x 如 限 定,1,20 xx 即 限 定 在 1|1|0 x 范 围 内讨 论 问 题 . 3113 xx |1| x,0 . 4,1min 取 这 时 )1)(1(1 23 xxxx )1)(2(22 xxxx |1|2| xx 4 作 业习 题 1-3 (37页 ) 1.(3) 2.(2) 5. 6