高数下册第七章微分方程三节

1 微分方程 第 七 章 yxfy 求已 知 ,)( 积 分 问 题 yy 求及 其 若 干 阶 导 数 的 方 程已 知 含 , 微 分 方 程 问 题 推 广 2 微 分 方 程 的 基 本 概 念 第 一 节 微 分 方 程 的 基 本 概 念引 例 几 何 问 题物 理 问 题 第 七 章 3 引 例 1. 一 曲 线 通 过 点 (1,2) ,在 该 曲 线 上 任 意 点 处 的解 : 设 所 求 曲 线 方 程 为 y = y(x) , 则 有 如 下 关 系 式 :xxy 2dd xxy d2 Cx 2 (C为 任 意 常 数 )由 得 C = 1, .12 xy因 此 所 求 曲 线 方 程 为21xy由 得切 线 斜 率 为 2x , 求 该 曲 线 的 方 程 . 4 引 例 2. 列 车 在 平 直 路 上 以 sm20 的 速 度 行 驶 , 制 动 时获 得 加 速 度 ,sm4.0 2a 求 制 动 后 列 车 的 运 动 规 律 .解 : 设 列 车 在 制 动 后 t 秒 行 驶 了 s 米 ,已 知 4.0dd 22 ts ,00 ts 200dd tts由 前 一 式 两 次 积 分 , 可 得 2122.0 CtCts 利 用 后 两 式 可 得 0,20 21 CC因 此 所 求 运 动 规 律 为 tts 202.0 2 说 明 : 利 用 这 一 规 律 可 求 出 制 动 后 多 少 时 间 列 车 才能 停 住 , 以 及 制 动 后 行 驶 了 多 少 路 程 . 即 求 s = s (t) . 5 常 微 分 方 程偏 微 分 方 程含 未 知 函 数 的 导 数 或 微 分 的 方 程 叫 做 微 分 方 程 .方 程 中 所 含 未 知 函 数 导 数 的 最 高 阶 数 叫 做 微 分 方 程(本 章 内 容 )0),( )( nyyyxF),( )1()( nn yyyxfy( n 阶 显 式 微 分 方 程 )微 分 方 程 的 基 本 概 念一 般 地 , n 阶 常 微 分 方 程 的 形 式 是的 阶 . 分 类或 6,00 ts 200 tdtds引 例 2 使 方 程 成 为 恒 等 式 的 函 数 .通 解 解 中 所 含 独 立 的 任 意 常 数 的 个 数 与 方 程)1(00)1(0000 )(,)(,)( nn yxyyxyyxy 确 定 通 解 中 任 意 常 数 的 条 件 .n 阶 方 程 的 初 始 条 件 (或 初 值 条 件 ):的 阶 数 相 同 .特 解 2dy xdx 21xy引 例 1 Cxy 2 2122.0 CtCts 通 解 : tts 202.0 2 12 xy特 解 :微 分 方 程 的 解 不 含 任 意 常 数 的 解 , 定 解 条 件 其 图 形 称 为 积 分 曲 线 .04 22 dtsd 7 例 1. 验 证 函 数是 微 分 方 程 tkCtkCx sincos 21 22ddtx 的 解 ,0 Ax t 00dd ttx 的 特 解 . 解 : 22ddtx tkkC sin22 )cossin( 212 tkCtkCk xk2这 说 明 tkCtkCx sincos 21 是 方 程 的 解 . 是 两 个 独 立 的 任 意 常 数 ,21,CC ),( 21 为 常 数CCtkkC cos21 02 xk利 用 初 始 条 件 易 得 : ,1 AC 故 所 求 特 解 为tkAx cos ,02 C 故 它 是 方 程 的 通 解 .并 求 满 足 初 始 条 件 8 求 所 满 足 的 微 分 方 程 .例 2. 已 知 曲 线 上 点 P(x, y) 处 的 法 线 与 x 轴 交 点 为 Q，PQ xyo x解 : 如 图 所 示 , yY y 1 )( xX 令 Y = 0 , 得 Q 点 的 横 坐 标yyxX ,xyyx 即 02 xyy点 P(x, y) 处 的 法 线 方 程 为且 线 段 PQ 被 y 轴 平 分 , P263 (习 题 12-1) 1 ; 2 (3),(4); 3 (2); 4 (2),(3) ; 6 思 考 与 练 习 9 例 3. 已 知 函 数 是 微 分 方 程xxy ln的 解 , 则 )(yx解 : ， 故xxy ln 将 代 入 微 分 方 程 ， 得xx 2ln1)ln( )( yxxyy 21)( uu 22)( xyyx 的 表 达 式 为 （ ） 22xy(A) ; (B) ; (C) ; (D) .22xy 22yx22yx从 而 A 10转 化 可 分 离 变 量 微 分 方 程 第 二 节 解 分 离 变 量 方 程 可 分 离 变 量 方 程 0 )(d )( 11 xNxxM yyNyM d)( )( 22 第 七 章 1 2( ) ( )dy f x f ydx ( ) ( )g y dy f x dx 11 分 离 变 量 方 程 的 解 法 : xxfyyg d)(d)( 设 y (x) 是 方 程 的 解 , xxfxxxg d)(d)()( 两 边 积 分 , 得 yyg d)( xxf d)( CxFyG )()( 则 有 恒 等 式 )(yG )(xF 说 明 由 确 定 的 隐 函 数 y (x) 是 的 解 . 则 有称 为 方 程 的 隐 式 通 解 , 或 通 积 分 .= f (x)0 时 , 上 述 过 程 可 逆 ,由 确 定 的 隐 函 数 x (y) 也 是 的 解 . 当 G(y) 与 F(x) 可 微 且 (y) g(y)0 时 , G 同 样 ,当 (x)F 12 例 1. 求 微 分 方 程 yxxy 23dd 的 通 解 .解 : 分 离 变 量 得 xxyy d3d 2两 边 积 分 xxyy d3d 2 得 13ln Cxy Cxy lnln 3 即 13 Cxey 31 xC ee 3xeCy 1CeC 令 ( C 为 任 意 常 数 )或 说 明 : 在 求 解 过 程 中每 一 步 不 一 定 是 同 解变 形 , 因 此 可 能 增 、减 解 .( 此 式 含 分 离 变 量 时 丢 失 的 解 y = 0 ) 13 例 2. 解 初 值 问 题 0d)1(d 2 yxxyx解 : 分 离 变 量 得 xxxyy d1d 2 两 边 积 分 得Cxy ln11lnln 2 即 Cxy 12由 初 始 条 件 得 C = 1, 112 xy( C 为 任 意 常 数 )故 所 求 特 解 为 1)0( y练 习 ： 已 知 曲 线 ( )y f x 过 点 1(0, )2 ， 且 其 上 任 一 点( , )x y 处 切 线 斜 率 为 ， 则2ln(1 )x x ( )f x 2 212( ) (1 )ln(1 ) 1f x x x 14 例 3. 求 下 述 微 分 方 程 的 通 解 :)1(sin2 yxy解 : 令 ,1 yxu 则yu 1故 有 uu 2sin1 即 xuu ddsec2 Cxu tan解 得 Cxyx )1tan( ( C 为 任 意 常 数 )所 求 通 解 : 15 练 习 : .dd 的 通 解求 方 程 yxexy 解 法 1 分 离 变 量 xeye xy dd Cee xy 即 01)( yx eCe ( C 0, 21dd yxyx yx ,vyx则,yxv令 21dd vyvy yvyvyx dddd Cyvv lnln)1(ln 2 积 分 得故 有 1222 CvyCy,xvy 代 入 得 )2(22 CxCy (抛 物 线 ) 22 1)( vvCy Cyvv 21故 反 射 镜 面 为 旋 转 抛 物 面 . 于 是 方 程 化 为(齐 次 方 程 ) 32 顶 到 底 的 距 离 为 h , hdC 82说 明 : )(2 22 CxCy 2,2 dyhCx 则 将这 时 旋 转 曲 面 方 程 为 hdxhdzy 164 2222 h d若 已 知 反 射 镜 面 的 底 面 直 径 为 d ,代 入 通 解 表 达 式 得 )0,( 2C oy xA 33 ( h, k 为 待 *二 、 可 化 为 齐 次 方 程 的 方 程111dd cybxa cybxaxy )0( 212 cc,.1 11 时当 bbaa 作 变 换 kYyhXx ,dd,dd YyXx 则 原 方 程 化 为 YbXa YbXaXY 11dd ckbha 111 ckbha 令 0 ckbha 0111 ckbha , 解 出 h , k YbXa YbXaXY 11dd (齐 次 方 程 )定 常 数 ), 34 , 代 入将 kyYhxX 求 出 其 解 后 , 即 得 原 方 程 的 解 . ,.2 11 时当 bbaa 原 方 程 可 化 为 1)(dd cybxa cybxaxy 令 ,ybxav xybaxv dddd 则1dd cv cvbaxv (可 分 离 变 量 方 程 )注 : 上 述 方 法 可 适 用 于 下 述 更 一 般 的 方 程 111dd cybxa cybxafxy )0( 212 cc )0( b 35 例 4. 求 解 64dd yx yxxy 52 xy解 : 04kh令 ,5,1 YyXx YX YXXY dd得再 令 Y X u , 得 令 06kh 5,1 kh得 XXuuu dd11 2 积 分 得 uarctan )1(ln21 2u XCln代 回 原 变 量 , 得 原 方 程 的 通 解 : 36 15arctan xy 2151ln21 xy )1(ln xC52 xy利 用 得 C = 1 , 故 所 求 特 解 为15arctan xy 22 )5()1(ln21 yx思 考 : 若 方 程 改 为 ,64dd yx yxxy 如 何 求 解 ? 提 示 : .yxv 令 37 练 习1.求 微 分 方 程 2 2y x ydydx x 的 通 解 。2.求 微 分 方 程 2 2dyxy x ydx 的 特 解 。 满 足 条 件 2x ey e 3.求 初 值 问 题 2 21( ) 00 xy x y dx xdyy 的 特 解 。 ( 0)x2 2y x y c 2 22 (ln 1)y x x 21 12 2y x 3.求 初 值 问 题 的 特 解 。 11 22 xy yxyyx 212 xxy (93, , ) (96, ) (91, ) (99, ) 38 (2003, ) )(xfy设 位 于 第 一 象 限 的 曲 线 )(xfy ),21,22(过 点),( yxP y Q其 上 任 一 点 处 的 法 线 与 轴 的 交 点 为 ，xPQ且 线 段 被 轴 评 分 。(1) 求 曲 线 的 方 程 ；,0 l lxy sin(2) 求 曲 线 在 上 的 弧 长 为 ， 试 用)(xfy s表 示 曲 线 的 弧 长 。 12 22 yx ls 42 39 (2001, ) ),( yxP )0( xy到 坐 标 原 点 的 距 离 ， 恒 等 于 该 点 的 切 线 在 轴 的 截 距 ，)0,21(L且 经 过 点 。L(1) 求 曲 线 的 方 程 ； LL(2) 求 位 于 第 一 象 限 的 一 条 切 线 ， 使 该 切 线 与及 两 坐 标 轴 所 围 图 形 的 面 积 最 小 。 241 xy 3133 xy设 是 一 条 平 面 曲 线 ， 其 上 任 一 点 L 40 一 、 求 下 列 齐 次 方 程 的 通 解 : 1、 0)( 22 xydydxyx ； 2、 0)1(2)21( dyyxedxe yxyx .二 、 求 下 列 齐 次 方 程 满 足 所 给 初 始 条 件 的 特 解 : 1、 1,02)3( 022 xyxydxdyxy ； 2、 ,0)2()2( 2222 dyxxyydxyxyx 11 xy .三 、 化 下 列 方 程 为 齐 次 方 程 ,并 求 出 通 解 : 1、 31 yx yxy ； 2、 0)642()352( dyyxdxyx . 练 习 题 41 练习题答案 一 、 1、 )ln2(22 Cxxy ； 2、 Cyex yx 2 .二 、 1、 322 yxy ； 2、 yxyx 22 . 三 、 1、 Cyxxy )2()1ln(2112arctan 22 ； 2、 Cxyxy 2)32)(34( .