高三数学课件：概率与统计正态分布

正 态 分 布Normal distributionO XY 1、回顾样本的频率分布与总体分布的关系： 由 于 总 体 分 布 通 常 不 易 知 道 ， 我们 往 往 是 用 样 本 的 频 率 分 布 （ 即 频 率分 布 直 方 图 ） 去 估 计 总 体 分 布 。一 般 样 本 容 量 越 大 ,这 种 估 计 就 越 精 确 。2、 从 上 一 节 得 出 的 100个 产 品 尺 寸 的 频 率 分布 直 方 图 可 以 看 出 ， 当 样 本 容 量 无 限 大 ， 分组 的 组 距 无 限 缩 小 时 ， 这 个 频 率 直 方 图 就 会无 限 接 近 于 一 条 光 滑 曲 线 -总 体 密 度 曲 线 。一 、 复 习 频 率 直 方 图 就 会 无 限 接 近 于 一条 光 滑 曲 线 -总 体 密 度 曲 线 3、 观 察 总 体 密 度 曲 线 的 形 状 ， 有 什 么 特 征 ？ 而 具 有 这 种 特 征 的 总 体 密 度 曲 线 ，一 般 可 用 一 个 我 们 不 很 熟 悉 的 函 数 来表 示 或 近 似 表 示 其 解 析 式 。 二 、 正 态 分 布（ 1） 正 态 函 数 的 定 义 产 品 尺 寸 的 总 体 密 度 曲 线 具 有 “ 中 间 高 ， 两头 低 ” 的 特 征 ， 像 这 种 类 型 的 总 体 密 度 曲 线 ， 一般 就 是 或 近 似 地 是 以 下 一 个 特 殊 函 数 的 图 象 ： xexf x ,21 2 22总 体 标 准 差 是 衡 量 总 体 波 动 大 小 的 特 征 数 ， 常 用 样 本 标 准 差 去 估 计式 中 的 实 数 是 参 数 ， 0、 分 别 表示 总 体 的 平 均 数 与 标 准 差 。 ;, 2 DE （ 2） 正 态 分 布 与 正 态 曲 线若 总 体 密 度 曲 线 就 是 或 近 似 地 是 函 数 ： ,21 2 22 xexf x 的 图 象则 其 分 布 叫 正 态 分 布 ， 常 记 作 ： 。 2,N xf 的 图 象 称 为 正 态 曲 线 。 画 出 三 条 正 态 曲 线 ：;5.0,1)1( ;1,0)2( ;2,1)3( 正 态 曲 线 具 有 两 头 低 、 中 间 高 、 左 右 对 称 的 基 本 特 征 。当 时 ， 正 态 总 体 称 为 标 准 正 态 总 体 ，相 应 的 函 数 表 达 式 是 ： 相 应 的 曲 线 称 为 标 准 正 态 曲 线 。 1,0 Rxexf x ,21 22 在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布：在 生 产 中 ， 在 正 常 生 产 条 件 下 各 种 产 品 的 质 量 指 标 ； 在 测 量 中 ， 测 量 结 果 ； 在 生 物 学 中 ， 同 一 群 体 的 某 一 特 征 ； ； 在 气 象 中 ， 某 地 每 年 七 月 份 的 平 均 气 温 、 平 均 湿 度 以 及 降 雨 量 等 ， 水 文 中 的 水 位 ； 总 之 ， 正 态 分 布 广 泛 存 在 于 自 然 界 、 生产 及 科 学 技 术 的 许 多 领 域 中 。正态分布在概率和统计中占有重要地位。 （ 3） 正 态 曲 线 的 性 质观 察 ：性 质 ： 轴 不 相 交 ；轴 的 上 方 ， 与曲 线 在 xx 向 它 无 限 靠 近 。 轴 为 渐 进 线 ，无 限 延 伸 时 ， 以且 当 曲 线 向 左 、 右 两 边 时 ， 曲 线 下 降 。 并时 ， 曲 线 上 升 ； 当当 xxx 时 位 于 最 高 点 ；对 称 ， 且 在曲 线 关 于 直 线 xx 性 质 ： 轴 不 相 交 ；轴 的 上 方 ， 与曲 线 在 xx x x x 当 时 ， 曲 线 上 升 ； 当 时 ， 曲 线 下 降 。 并且 当 曲 线 向 左 、 右 两 边 无 限 延 伸 时 ， 以 轴 为 渐 进 线 ，向 它 无 限 靠 近 。 时 位 于 最 高 点 ；对 称 ， 且 在曲 线 关 于 直 线 xx 确 定 。一 定 时 ， 曲 线 的 形 状 由当 散 ；， 表 示 总 体 的 分 布 越 分越 大 ， 曲 线 越 “ 矮 胖 ” 总 体 的 分 布 越 集 中 ；曲 线 越 “ 瘦 高 ” ， 表 示越 小 , （ 4） 服 从 正 态 分 布 的 总 体 特 征产 品 尺 寸 这 一 典 型 总 体 ， 它 服 从 正 态 分 布 。它 的 特 征 ： 生 产 条 件 正 常 稳 定 ， 即 工 艺 、设 备 、 技 术 、 操 作 、 原 料 、 环 境 等 可 以控 制 的 条 件 都 相 对 稳 定 ， 而 且 不 存 在 产生 系 统 误 差 的 明 显 因 素 。 一般地，当一随机变量是大量微小的独立随机因素共同作用的结果，而每一种因素都不能起到压倒其他因素的作用时，这个随机变量就被认为服从正态分布。 （ 5） 标 准 正 态 分 布 表 由 于 标 准 正 态 总 体 在 正 态 总 体的 研 究 中 有 非 常 重 要 的 地 位 ， 已 专 门 制 作了 “ 标 准 正 态 分 布 表 ” 见 p58。 1,0N看 表 ： 表 中 ， 相 应 于 的 值 是 指 总 体取 值 小 于 的 概 率 ， 即 ：0 x 0 x )( 0 x ,00 xxPx 如 图 中 ， 左 边 阴 影 部 分 ： 由 于 标 准 正 态 曲 线 关 于 轴 对 称 ， 表 中仅 给 出 了 对 应 与 非 负 值 的 值 。y0 x 0 x 如 果 ， 那 么 由 下 图 中 两 个 阴 影 部分 面 积 相 等 知 ：00 x .1 00 xx 利 用 这 个 表 ， 可 求 出 标 准 正 态 总 体 在 任一 区 间 内 取 值 的 概 率 。 21,xx 12 xxp 即 ， 可 用 如 图 的 蓝 色 阴 影 部 分 表 示 。公 式 ： 例 1： 求 标 准 正 态 总 体 在 内 取 值 的 概 率 。 2,1解 ： ,12 xxp 利 用 等 式 有 ： 12 p 112 112 18413.09772.0 .8185.0 对 于 一 般 的 正 态 总 体 ， 在 任 一 区间 内 的 取 值 概 率 如 何 进 行 计 算 呢 ？ 可 否通 过 查 正 态 分 布 表 来 求 出 它 呢 ？ 2,N ba,（ 6） 正 态 总 体 ， 在 任 一 区 间 取 值 概 率 。 2,N 一 般 的 正 态 总 体 ， 均 可 以 化 为 标准 正 态 总 体 来 研 究 。 2,N 1,0N 对 任 一 正 态 总 体 来 说 , 取 值 小于 的 概 率 ： 2,Nx .xF x 例 2： 已 知 正 态 总 体 , (1)求 取 值 小 于 3的 概 率 ; (2)求 取 值 的 绝 对 值 不 大 于 3的 概 率 .)4,1(N解 : (1) .8413.012133 F(2) P(|x| 3)=P(-3 x 3)=F(3)-F(-3) =2F(3)-1=0.6826备 注 :概 率 的 取 值 与 端 点 的 取 舍 无 关 . 例 3:分 别 求 正 态 总 体 在 区 间 : 内 取 值 的 概 率 . 2,N 、 , 、 2,2 、 3,3 1 F 1 F所 以 ， 正 态 总 体 在 区 间 : 内 取 值 的 概 率 是 ： 2,N 、 , 11211 FF ;683.018413.02 解 ： 954.02222 FF正 态 总 体 在 区 间 : 内 取 值 的 概 率 是 ： 2,N 2 , 2 、 正 态 总 体 在 区 间 : 内 取 值 的 概 率 是 ： 2,N 3 , 3 、 .997.03333 FF例 3:分 别 求 正 态 总 体 在 区 间 : 内 取 值 的 概 率 . 、 , 、 2,2 、 3,3 2,N同 理 可 得 : 上 述 计 算 结 果 可 用 下 表 和 图 来 表 示 ： 区 间 取 值 概 率 , 2,2 3,3 oo3.68 oo4.95 oo7.99 （7）假设检验方法的基本思想 小 概 率 事 件 的 含 义 ： 我 们 从 上 图 看 到 ， 正 态 总 体 在 以 外 取 值 的 概 率 只 有 4.6 ， 在 以 外取 值 的 概 率 只 有 0.3 。 2,2 3,3 由 于 这 些 概 率 值 很 小 （ 一 般 不 超 过 5 ） ，通 常 称 这 些 情 况 发 生 为 小 概 率 事 件 。即 事 件 在 一 次 试 验 中 几 乎 不 可 能 发 生 。 例 4： 某 厂 生 产 的 圆 柱 形 零 件 的 外 直 径 服 从 正态 分 布 ， 质 检 人 员 从 该 厂 生 产 的 1000件 零 件 中 随 机 抽 查 一 件 ， 测 得 它 的 外 直 径 为5.7cm， 试 问 该 厂 生 产 的 这 批 零 件 是 否 合 格 ？ 25.0,4N解 ： 25.04，服 从 正 态 分 布由 于 N由 正 态 分 布 的 性 质 知 ， 在，正 态 分 布 25.04 5.034,5.034 N概 率 只 有 0.003,之 外 取 值 的 5.5,5.27.5 而 这 说 明 在 一 次 试 验 中 ， 出 现 了 几 乎 不 可 能 发生 的 小 概 率 事 件 .据 此 可 认 为 该 批 零 件 是 不 合 格 的 。 (8).假 设 检 验 的 基 本 思 想如 下 三 步 ：进 行 假 设 检 验 可 归 结 为 而 言 的 ，假 设 检 验 是 就 正 态 总 体 .），（正 态 分 布统 计 假 设 里 的 变 量 服 从提 出 统 计 假 设 N.).1 .内落 入 的 取 值 是 否确 定 一 次 试 验 中 ),( a). 332 .， 就 拒 绝 统 计 假 设如 果 ， 接 受 统 计 假 设如 果作 出 判 断 ),(a ;),(a .). 33 333 22N 5011 702 6 00. N 65 5 4某 人 从 城 市 南 郊 某 地 乘 公 共 汽 车 前 往北 郊 火 车 站 有 两 条 路 线 可 走 ， 第 一 条 路 线穿 过 市 区 ， 路 线 较 短 ， 但 交 通 拥 挤 ， 所 需 时间 （ 单 位 ： 分 ） 服 从 正 态 分 布 （ ， ） ；第 二 条 路（ ） 若 只 有 分 钟 可 用 ， 问 应线 沿 环 城 公 路 走 ， 但 交 通 阻 塞 少 ，所 需 时 间 服 从 正 走 哪 条 路 ？（ ） 若 只 有 分 钟 可 用 ， 又态 分 应 走布 ，例 （ ）哪 条 路 ？ 972202105070 105001050707001 .P ）（）（ ）（）（）（ 赶 到 的 概 率 为 ：） 走 第 一 条 路 线 ， 及 时（ 为 行 车 时 间解 ： 设 993805246070 450046070700 . ）（）（ ）（）（）（ 到 的 概 率 为 ：走 第 二 条 路 线 ， 及 时 赶.P .条 路 线在 这 种 情 况 下 应 走 第 二 例 6： 公 共 汽 车 门 的 高 度 是 按 照 保 证 成 年 男 子 与 车 门 顶 部 碰 头 的 概 率 在 1%以 下 设 计 的 。如 果 某 地 成 年 男 子 的 身 高 （ 单 位 ： 厘 米 ） 。 则 车 门 应 设 计 为 多 高 。解 ： 设 公 共 汽 车 门 高 设 计 为 x， 由 题 意 P小 于 1%， 故 公 共 汽 车 门 的 高 度 至 少 应 设 计 为 189厘 米 。)36,175( N ( )x )(1)(),36,175( xPxPN 也就是 , 0 1 . 0 ) 6 1 7 5 ( 1 x ,99.06175( ）x .98.18833.2 6175,99.06175( xxx 即查 表 得） 再 见万州第三中学陈兵