《导行电磁波》课件

前 面 我 们 讨 论 了 电 磁 波 在 无 界 空 间 中 的 传 播 ， 以 及 电 磁 波 在两 种 不 同 媒 质 分 界 面 处 的 反 射 与 透 射 。 下 面 我 们 要 研 究 电 磁 波 在导 波 系 统 中 的 传 播 ， 这 已 进 入 微 波 技 术 的 研 究 范 畴 。 导 波 系 统 一 般 是 一 个 封 闭 的 电 磁 系 统 ， 它 可 以 导 引 电 磁 波 在其 中 传 播 ， 人 们 把 被 导 行 的 电 磁 波 称 为 导 行 电 磁 波 ， 把 导 波 系 统称 为 传 输 线 或 (广 义 的 )波 导 。 工 程 中 ， 常 见 的 传 输 线 有 双 线 传 输线 、 矩 形 波 导 、 圆 柱 形 波 导 、 同 轴 线 、 微 带 线 、 介 质 波 导 等 。 5.1 引 言5.2 导 行 波 的 分 析 方 法 和 分 类5.3 导 行 波 的 一 般 传 播 特 性5.4 矩 形 波 导 中 的 导 行 波5.5 圆 柱 形 波 导 中 的 导 行 波5.6 同 轴 线 、 带 状 线 和 微 带 线第 5章 导 行 电 磁 波 一 、 微 波 的 概 念 及 其 波 段 划 分 微 波 是 无 线 电 波 中 波 长 最 短 (频 率 最 高 )的 电 磁 波 ， 它 包 含 了波 长 从 1 m 到 0.1 mm 的 范 围 ， 其 相 应 的 频 率 范 围 从 300 MHz 到3000 GHz， 如 图 所 示 。 f 3108 105 10 10(m)(Hz) 3 103 23 106 3 109-1 3 101210-4 3 101510-7 3 101810-10 无线电波 光波 宇宙射线视频 射频 微波 红外线可见光紫外线 x射线 射线 5.1 引 言 一 般 又 将 其 划 分 为 四 个 波 段 ， 即 ： 国 际 上 将 微 波 波 段 划 分 为 更 细 的 分 波 段 ， 目 前 共 有 17个 常 用波 段 。 例 如 ： Ku波 段 为 12.40 18.00GHz， Ka波 段 为 26.50 40.00GHz等 。分 米 波 1m 10cm 0.3 3GHz 超 高 频 UHF厘 米 波 10cm 1cm 3 30GHz 特 高 频 SHF毫 米 波 1cm 1mm 30 300GHz 极 高 频 EHF亚 毫 米 波 1mm 0.1mm 300 3000GHz 超 极 高 频5.1 引 言 二 、 微 波 的 特 点 与 应 用 、 微 波 技 术 的 研 究 内 容 微 波 与 其 它 波 段 的 无 线 电 波 相 比 ， 具 有 如 下 特 点 。 (1) 微 波 波 长 极 短 ， 它 与 所 使 用 的 元 件 、 设 备 的 尺 寸 可 相 比拟 。 此 时 即 使 在 几 厘 米 的 导 线 上 各 点 的 电 流 也 可 能 有 显 著 不 同 ，元 件 的 参 数 是 沿 空 间 分 布 的 ， 称 之 为 分 布 参 数 。 因 此 ， 研 究 微 波系 统 必 须 用 分 布 参 数 的 观 点 ， 而 且 此 时 普 通 的 集 中 参 数 元 件 (电阻 、 电 容 、 电 感 )已 不 能 使 用 ， 代 之 的 是 波 导 、 谐 振 腔 等 分 布 参数 元 器 件 。 5.1 引 言 (2) 微 波 的 振 荡 周 期 (约 为 )极 短 ， 它 与 电 子 在 电 子管 内 的 渡 越 时 间 (电 子 从 阴 极 发 射 到 达 阳 极 的 时 间 ， 一 般 为 量级 )可 以 比 拟 。 因 此 ， 普 通 的 电 子 器 件 已 不 能 有 效 工 作 ， 代 之 的是 在 原 理 和 构 造 上 完 全 不 同 的 微 波 电 子 器 件 (速 调 管 、 磁 控 管 和行 波 管 等 )。 (3) 似 光 性 。 微 波 介 于 一 般 无 线 电 波 与 光 波 之 间 ， 它 不 仅 具有 无 线 电 波 的 性 质 ， 还 具 有 光 波 某 些 性 质 ； 比 如 ： 以 光 速 直 线 传播 ； 有 反 射 、 折 射 、 绕 射 、 干 涉 等 现 象 ， 某 些 几 何 光 学 原 理 (惠更 斯 原 理 、 镜 像 原 理 、 透 镜 聚 焦 、 多 普 勒 效 应 等 )仍 然 适 用 。 雷达 能 发 现 与 跟 踪 目 标 就 是 基 于 这 些 特 性 。5.1 引 言9 1210 10 s 910 (4) 微 波 的 频 率 很 高 ， 因 此 在 不 太 大 的 相 对 带 宽 下 ， 其 可 用带 宽 很 宽 ， 可 达 数 百 兆 至 数 十 GHz， 所 以 信 息 容 量 很 大 ， 有 巨 大的 携 带 信 息 的 潜 力 ， 且 微 波 波 段 的 电 磁 波 能 穿 透 电 离 层 ， 可 用 于实 现 卫 星 通 信 、 卫 星 电 视 广 播 、 射 电 天 文 学 的 研 究 等 。 由 于 微 波 的 这 些 特 点 ， 使 微 波 技 术 在 通 信 、 雷 达 、 导 航 、 遥感 、 天 文 、 气 象 、 医 疗 以 及 科 研 等 方 面 得 到 越 来 越 广 泛 的 应 用 ，成 为 无 线 电 电 子 学 的 一 个 重 要 分 支 。 微 波 技 术 主 要 研 究 微 波 的 产 生 、 传 输 、 变 换 、 检 测 、 发 射 与接 收 、 测 量 以 及 与 之 相 应 的 微 波 元 器 件 和 设 备 等 。 我 们 将 从 “ 场 ”和 “ 路 ” 的 角 度 讨 论 微 波 传 输 线 问 题 ， 这 是 研 究 微 波 技 术 的 基 础 。5.1 引 言 三 、 微 波 传 输 线 及 其 研 究 方 法 这 里 ， 我 们 讨 论 的 是 均 匀 传 输 线 ， 它 是 指 横 截 面 形 状 不 变 、尺 寸 不 变 、 制 造 材 料 不 变 、 填 充 材 料 不 变 的 无 限 长 直 传 输 线 。 研 究 传 输 线 上 所 传 输 电 磁 波 的 特 性 有 两 种 方 法 ： 一 种 是 “ 场 ”的 分 析 方 法 (本 章 )， 即 从 Maxwell 方 程 组 出 发 ， 求 解 特 定 边 界 条件 下 的 电 磁 场 波 动 方 程 ， 求 得 场 量 ( 和 )随 时 间 和 空 间 的 变 化规 律 ， 由 此 来 分 析 电 磁 波 的 传 输 特 性 。 另 一 种 是 “ 路 ” 的 分 析 方法(下 一 章 )， 它 用 分 布 参 数 来 处 理 ， 得 到 传 输 线 的 等 效 电 路 ， 然 后根 据 克 希 霍 夫 定 律 导 出 传 输 线 方 程 ， 再 解 传 输 线 方 程 ， 求 得 线 上电 压 和 电 流 随 时 间 和 空 间 的 变 化 规 律 ， 从 而 分 析 其 传 输 特 性 。5.1 引 言E H 这 种 “ 路 ” 的 分 析 方 法 ， 也 称 为 长 线 理 论 。 事 实 上 ， “ 场 ”的 方法 和 “ 路 ” 的 方 法 是 紧 密 相 关 ， 互 相 补 充 的 。 “ 电 磁 波 沿 传 输 线 传 输 ” 问 题 是 一 类 典 型 而 简 单 的 电 磁 场 边值问 题 ， 它 可 以 分 为 两 个 方 面 来 研 究 。 一 方 面 是 研 究 电 磁 场 的 横 向分 布 特 性 ， 即 研 究 与 传 输 线 轴 线 相 垂 直 的 传 输 线 横 截 面 上 的 场 分布 ； 另 一 方 面 是 研 究 电 磁 场 沿 传 输 线 轴 线 ， 即 纵 向 的 传 播 特 性 。下 面 我 们 将 从 这 两 方 面 作 详 细 讨 论 。5.1 引 言 一 、 导 行 波 的 分 析 方 法 为 分 析 方 便 ， 对 任 意 截 面 的 均 匀 波 导 ， 选 z 方 向 为 波 导 的 轴线 方 向 ， 也 即 传 输 方 向 ， 横 截 面 所 在 平 面 为 xoy 平 面 ， 如 图 ， 并作 如 下 假 定 ： (1)波 导 的 横 截 面 形 状 和 媒 质 特 性 不 沿 轴 线 z 变 化 。(2) 波 导 内 壁 是 理 想 导 体 ， 即 ； 波 导 内 填 充 均 匀 、 线 性 、 各向 同 性 的 理 想 介 质 ， 参 数 为 。(3) 波 导 内 没 有 激 励 源 ， 即 。 (4) 波 导 内 的 电 磁 场 为 时 谐电 磁 场 。 5.2 导 行 波 的 分 析 方 法 和 分 类 x y zo 、 0 、0J 这 样 ， 波 导 内 电 磁 场 满 足 的 波 动 方 程 为 ：式 中 ， 为 波 数 。 既 然 波 导 轴 线 沿 z 方 向 ， 那 么 不 论 波 的 传 播 情 况 在 波 导 内 如何 复 杂 ， 其 最 终 的 结 果 只 能 是 一 个 沿 +z 方 向 前 进 的 导 行 电 磁 波(或 -z 方 向 ， 二 者 性 质 相 同 ， 传 播 方 向 不 同 而 已 ， 只 讨 论 其 一 )。因 此 ， 波 导 内 的 电 场 和 磁 场 可 写 成 ：2 22 2( , , ) ( , , ) 0( (1), , ) ( , , ) ( )0 2x y z k x y zx y z k x y z E EH H2 /k ( , , ) ( , )e ( (3)(4), , ) ( , )e zzx y z x yx y z x y E eH h 5.2 导 行 波 的 分 析 方 法 和 分 类 式 中 ， 是 波 沿 z 方 向 的 传 播 常 数 ， 是 衰 减 常 数 ， 是 相位 常 数 ， 仅 是 横 向 坐 标 (x,y)的 函 数 ， 表 示 场 在 波 导横 截 面 内 的 分 布 状 态 ， 称 为 横 向 分 布 函 数 。 将 (3)式 代 入 (1)式 ， 有 ：令 ， 则 称 为 横 向 拉 普 拉斯 算 子 ， 这 样 ， 上 式 可 写 为 ：即令 ， 称 为 截 止 波 数 ， 则 有 ：同 理 ， 有 ： j ( , ) ( , )x y x ye h、 5.2 导 行 波 的 分 析 方 法 和 分 类 2 2( , )e ( , )e 0z zx y k x y e e 2 22T 2 2x y 2 2 2 22 2T2 2 2 2x y z z 2 2 2Te ( , ) ( , ) e ( , )e 0z z zx y x y k x y e e e2 2 2T ( , ) ( ) ( , ) 0 x y k x y e e2 2 2ck k 2 2T c ( , ) ( , ) 0 5)x y k x y e e2 2T c ( , ) ( , ) 0 6)x y k x y h h 这 样 ， 可 由 上 面 两 个 方 程 得 到 和 各 分 量 的 标 量 波动 方 程 分 别 求 解 各 分 量 ， 但 是 由 于 有 六 个 分 量 ， 计 算 比 较 复 杂 。因 此 ， 我 们 应 用 一 种 称 之 为 纵 向 场 法 的 方 法 来 求 解 ， 即 先 求 解 纵向 场 分 量 的 标 量 波 动 方 程 ， 得 到 两 个 纵 向 分 量 和 ，然 后 再 根 据 电 磁 场 基 本 方 程 组 求 得 所 有 横 向 分 量 。 纵 向 场 分 量 和 满 足 的 标 量 波 动 方 程 为 ：( , )x ye ( , )x yh ( , )ze x y5.2 导 行 波 的 分 析 方 法 和 分 类( , )zh x y( , ) ze x y ( , )zh x y2 2 2c2 22 2 2c2 2( , ) ( , ) ( , ) 0( , ) ( , ) ( , ) 0z z zz z ze x y e x y k e x yx yh x y h x y k h x yx y 这 样 ， 根 据 具 体 的 边 界 条 件 ， 求 解 上 式 ， 即 可 得 到 和 ， 将 它 们 各 乘 上 ， 即 可 得 到 波 导 内 电 磁 场 的 纵 向 分 量 和 。 然 后 ， 将 Maxwell方 程 中 的 两 个 旋 度 方 程 ， 即和 展 开 成 六 个 标 量 方 程 。 由 于 各 场 分 量 都 有 公 共 因子 ， 所 以 展 开 式 中 的 都 可 以 用 代 替 ， 于 是 有 ： e z( , , ) ( , )e zz zE x y z e x y ( , , ) ( , )e zz zH x y z h x y j E Hz 5.2 导 行 波 的 分 析 方 法 和 分 类( , )ze x y( , )zh x y j H Ee z (7a) (8a)(7b) (8b) (7c) (8j jj jj j c)z zy x y xz zx y x yy yx xz zE HE H H Ey yE HE H H Ex xE HE HH Ex y x y 将 以 上 六 式 联 立 ， 解 出 横 向 场 分 量 ， 有 ：这 样 ， 就 得 到 了 波 导 中 的 电 磁 场 分 布 ， 式 中 各 场 分 量 都 是 (x,y,z)的 函 数 。 将 (9a)、 (9b)式 两 边 分 别 乘 以 单 位 方 向 矢 量 、 ， 再 相加 ， 有 ： 令 ， 则 有 ： 2 2c c2 2c c1 1( j ) (9a) (10a)(9b) (10b)j )1 1( j ) (j )z z z zx xz z z zy yE H E HE Hk x y k y xE H E HE Hk y x k x y x y T x yE x E y E T T T2c1 ( j ( 1) 1z zE z Hk E 5.2 导 行 波 的 分 析 方 法 和 分 类 2c1 j ( )z zx y z zE Ex y H HE x E y k x yy xx y ( )z z z x z yx 梯 度 定 义 式 同 理 ， 有 ： 和 分 别 表 示 电 场 和 磁 场 的 横 向 场 矢 量 。二 、 导 行 波 的 分 类 传 输 线 中 导 行 波 的 传 播 特 性 与 传 输 模 式 密 切 相 关 ， 因 此 ， 在讨 论 导 行 波 的 传 播 特 性 之 前 ， 有 必 要 先 对 导 行 波 进 行 分 类 ， 然 后分 类 研 究 各 种 导 行 波 的 传 播 特 性 。 所 谓 模 式 (模 )是 指 能 够 单 独 在 传 输 线 中 存 在 的 电 磁 场 分 布 。根 据 和 是 否 为 零 ， 可 将 导 行 波 分 成 如 下 三 类 。T T T2c1 ( ) 1j ( 2)x y z zH x H y H z Ek HTE 5.2 导 行 波 的 分 析 方 法 和 分 类TH zE zH (1) 且 的 电 磁 波 称 为 横 电 磁 波 ， 即 TEM模 (波 )。 (2) 且 的 电 磁 波 称 为 横 电 波 ， 即 TE模 (波 )或 H模 。 (3) 且 的 电 磁 波 称 为 横 磁 波 ， 即 TM模 (波 )或 E模 。 我 们 之 所 以 要 按 导 行 波 中 有 无 电 磁 场 的 纵 向 分 量 来 对 其 进 行分 类 ， 首 先 是 便 于 分 析 ： 对 于 TE模 和 TM模 ， 可 以 方 便 地 应 用 纵向 场 法 来 求 解 ； 对 于 TEM模 ， 由 于 已 知 均 为 零 ， 从 而 使 需要 求 解 的 场 分 量 减 为 4个 。 更 重 要 的 是 ， 传 输 线 中 存 在 的 任 何 电磁 波 都 可 以 表 示 为 一 个 或 多 个 模 式 的 线 性 组 合 ， 这 样 我 们 只 需 了解 每 个 模 式 的 传 播 特 性 ， 就 可 以 通 过 场 的 叠 加 来 掌 握 传 输 线 中 电磁 波 总 的 传 播 特 性 。0zE 5.2 导 行 波 的 分 析 方 法 和 分 类0zH 0zE 0zH 0zE 0zH z zE H、 一 、 TEM模 的 一 般 传 播 特 性1. 求 解 方 法 TEM模 的 纵 向 场 分 量 、 ， 因 此 TEM模 只 有 横 向分 量 . 和 ， 且 不 能 用 纵 向 场 法 求 解 这 些 横 向 场 分 量 。 由 此 ， 将 和 代 入 Maxwell六 个 标 量 方 程 中 的 (7a)和 (8b)式 ， 可 得 ： ， 即 。则 由 (5)、 (6)式 可 得 ： 又 因 为 ：所 以 ， 有 ：TE TH 2T T2T T( , ) 0( , ) 0 x yx y ehT T ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )z zx y x y e x y z x y x y h x y z e e h h，2 2T T( , ) 0 ( , ) 0 x y x y e h， 5.3 导 行 波 的 一 般 传 播 特 性 0zE 0zH 0 zE 0zH 2 2 2k 2c 0k 上 式 与 无 源 区 域 中 二 维 静 态 场 所 满 足 的 拉 普 拉 斯 方 程 形 式 完全 相 同 。 这 说 明 ： (1) 凡 是 能 存 在 二 维 静 态 场 (电 场 和 磁 场 可 同 时 存 在 )的 导 波 系统 ， 都 能 传 输 TEM波 ， 例 如 具 有 双 导 体 的 双 线 传 输 线 、 同 轴 线等 ； 反 之 ， 则 不 能 传 输 TEM波 ， 例 如 只 有 单 导 体 的 矩 形 波 导 、 圆波 导 等 。 (2) 导 波 系 统 中 TEM模 的 横 向 分 布 函 数 与 该 系 统 中 二 维 静 态场 的 形 式 完 全 相 同 ， 这 样 我 们 可 以 利 用 求 解 二 维 静 态 场 的 方 法 来求 出 或 ， 将 其 乘 以 传 播 因 子 ， 即 可 得 到 TEM模的 电 场 或 磁 场 ， 再 利 用 Maxwell方 程 求 解 对 应 的 磁 场 或 电 场 。 T( , )x ye T( , )x yh e z 5.3 导 行 波 的 一 般 传 播 特 性 2. 相 速 度 对 于 传 输 线 中 的 TEM模 ， 由 ， 得 ： 即因 此 ， 导 行 TEM模 的 相 速 度 为 ： 可 见 ， 导 行 TEM模 的 相 速 度 与 频 率 无 关 ， 不 存 在 色 散 现 象 。因 此 ， TEM模 是 非 色 散 模 式 ， 电 磁 波 在 传 输 线 中 以 TEM模 传 输不 会 产 生 失 真 。3. 导 波 波 长 传 输 线 中 ， 在 波 的 传 播 方 向 上 ， 某 个 模 式 的 两 个 相 位 相 差的 等 相 位 面 间 的 距 离 称 为 该 模 式 的 导 波 波 长 ， 以 表 示 。2 2 0k j j jk p / 1/v 5.3 导 行 波 的 一 般 传 播 特 性 2 g 由 于 相 位 常 数 表 示 波 沿 传 播 方 向 传 播 单 位 距 离 相 位 的 变 化量 ， 则 有 ：可 以 看 出 ， 与 相 同 无 界 介 质 中 同 频 率 TEM平 面 波 的 波 长 相 等 。4. 模 式 阻 抗 定 义 某 模 式 的 横 向 电 场 值 与 横 向 磁 场 值 之 比 为 该 模 式 的 模 式阻 抗 ， 也 称 为 波 阻 抗 ， 即 ： 对 于 TEM模 ， 将 代 入 (7a)、 (7b)式 ， 并 将 两 式 分 别 乘 以单 位 矢 量 和 后 ， 再 将 两 式 相 减 ， 得 ： 即 ： ( ) ( )jx y x yE x E y H y xH g 2 2 T T/Z E H x 0zE y x T T1 j z E H5.3 导 行 波 的 一 般 传 播 特 性 g y zx z 由 此 可 知 ， 的 方 向 就 是 的 方 向 ， 并 且 与 垂 直 ，则 有 ：这 样 ， 由 模 式 阻 抗 的 定 义 ， 且 对 TEM模 ， 有 ， 则 TEM模 的模 式 阻 抗 为 ：在 空 气 中 ， 有 ： 可 以 看 出 ， TEM模 的 模 式 阻 抗 与 相 同 无 界 介 质 中 TEM平 面 波的 波 阻 抗 相 同 。 TE T zH THT T1jE H j TTEM T 1jEZ H TEM 0 0 0/Z 5.3 导 行 波 的 一 般 传 播 特 性 z 二 、 TE模 和 TM模 的 一 般 传 播 特 性1. TE模 和 TM模 在 传 输 线 中 的 三 种 情 况 对 于 TE模 和 TM模 ， ， 由 此 可 得 ：因 此 ， 当 TE模 或 TM模 的 频 率 由 低 到 高 变 化 时 ， 将 出 现 以 下 三 种情 况 。 (1) 当 时 ， 有 为 实 数 ， 则 (3)、 (4)式 可 写为 ： 2 2 2c 0k k 2 2 2 2 2c ck k k 2 2ck k ( , , ) ( , )e( , , ) ( , )e zzx y z x yx y z x y E eH h 5.3 导 行 波 的 一 般 传 播 特 性 ck k 可 以 看 出 ， 它 们 是 振 幅 沿 z 轴 方 向 呈 指 数 规 律 衰 减 ， 相 位 沿 z 轴 方 向 保 持 不 变 的 时 谐 振 荡 场 ， 称 之 为 凋 落 场 。 此 时 传 输 线 中没 有 波 的 传 输 ， 或 者 说 传 输 线 处 于 截 止 状 态 。 需 要 指 出 的 是 ， 这里 所 说 的 衰 减 并 不 是 由 于 热 损 耗 产 生 的 ， 而 是 由 于 电 磁 波 不 满 足传 播 条 件 而 引 起 的 所 谓 的 电 抗 性 衰 减 。 (2) 当 时 ， 有 为 纯 虚 数 ， 则 (3)、 (4)式 可写 为 ：这 是 沿 传 输 线 传 输 的 传 输 波 ， 它 在 传 输 过 程 中 振 幅 不 变 ， 相 位 随传 播 距 离 的 增 加 而 连 续 滞 后 。 2 2 c jk k jj( , , ) ( , )e( , , ) ( , )e zzx y z x yx y z x y E eH h 5.3 导 行 波 的 一 般 传 播 特 性 ck k (3) 当 时 ， 此 时 。 这 是 一 种 临 界 情 况 ， 是 某 个 模 式能 否 传 输 的 分 界 点 ， 由 此 所 决 定 的 频 率 就 是 该 模 式 能 否 传 输 的 临界 频 率 ， 称 之 为 截 止 频 率 ， 相 应 的 波 长 称 为 截 止 波 长 或 临 界 波长 。 或 是 色 散 传 输 系 统 中 两 个 最 重 要 的 特 性 参 数 ， 它 反 映 了传 输 系 统 的 基 本 传 输 特 性 ， 即 ： 若 要 在 给 定 的 TE模 或 TM模 传 输线 内 传 输 某 个 模 式 的 电 磁 波 ， 则 其 工 作 频 率 必 须 高 于 该 模 式 的 截止 频 率 ， 对 应 的 工 作 波 长 必 须 小 于 该 模 式 的 截 止 波 长 。 此 时 的 传输 线 相 当 于 一 个 高 通 滤 波 器 。0 5.3 导 行 波 的 一 般 传 播 特 性 ck k cfc cf c 2. TE模 和 TM模 的 截 止 频 率 与 截 止 波 长 由 ， 求 得 截 止 频 率 和 截 止 波 长 分 别 为 ： 在 实 际 问 题 中 ， 通 常 给 出 波 源 的 振 荡 频 率 f 或 自 由 空 间 中 的波 长 ， 因 此 传 输 线 中 任 意 TE模 或 TM模 可 以 传 播 的 条 件 是 ： 或式 中 ， 是 模 式 本 身 的 截 止 频 率 和 截 止 波 长 。 一 般 情 况 下 ， 媒 质 参 数 ， 而 空 气 中 。由 上 面 两 式 可 知 ， 对 于 某 给 定 尺 寸 的 空 气 填 充 的 传 输 线 ， 如 果 某给 定 频 率 的 某 个 电 磁 波 模 式 因 频 率 低 而 不 能 在 其 中 传 播 时 ， 则 可2 2ck cc 2 kf c c c2vf k c cf fc cf 、 r r1 1 、 5.3 导 行 波 的 一 般 传 播 特 性 r r1 1 、 以 在 该 传 输 线 中 填 充 或 适 当 大 的 媒 质 来 降 低 截 止 频 率 ， 该 模式 可 以 在 该 传 输 线 中 传 播 。 这 种 方 法 在 微 波 工 程 中 常 被 采 用 。3. TE模 和 TM模 的 速 度(1) 相 速 度 式 中 ， 是 与 传 输 线 填 充 相 同 介 质 的 无 界 空 间 中 同 频 率 的TEM平 面 波 的 相 速 度 ， 是 相 同 无 界 介 质 空 间 中 同 频 率 TEM平 面波 的 波 长 。 r r 2 2 222 2c c c c2 2 2 1 1k k v p 2c1 ( / )vv 1/v 5.3 导 行 波 的 一 般 传 播 特 性 pv 由 上 式 可 知 ， 某 频 率 的 TE模 或 TM模 在 传 输 线 中 的 相 速 度 大于 相 同 无 界 介 质 中 同 频 率 TEM平 面 波 的 相 速 度 。 TE模 和 TM模 的 相 速 度 与 波 长 、 频 率 有 关 ， 因 此 TE模 和 TM模 是 色 散 模 式 ， 传 输 TE模 和 TM模 的 传 输 线 是 色 散 传 输 系 统 ， 这种 色 散 是 由 传 输 线 本 身 的 结 构 特 性 (即 边 界 条 件 )造 成 的 ， 因 此 又称 之 为 几 何 色 散 。(2) 群 速 度 群 速 度 是 指 由 许 多 频 率 组 成 的 波 群 的 速 度 ， 或 者 说 是 已 调 波包 络 的 速 度 ， 其 一 般 公 式 为 ： g ddv 5.3 导 行 波 的 一 般 传 播 特 性 gv 又 因 为 ： 则 ：且 有 注 意 ： 只 对 窄 带 信 号 有 意 义 。 当 信 号 频 谱 很 宽 时 ， 由 于 各频 率 传 输 速 率 不 同 ， 信 号 将 产 生 严 重 畸 变 ， 此 时 群 速 失 去 意 义 。4. 导 波 波 长 显 然 ， 传 输 线 中 导 波 波 长 总 是 大 于 相 同 无 界 介 质 中 同 频 率 的TEM平 面 波 的 波 长 ， 又2 2 2 2c ck k k 2 2 1/2c p 22 2cd 1 1( ) 2d 2 k v vk k 2 2g cpd 1 ( / )d vv vv 2g pv v v 5.3 导 行 波 的 一 般 传 播 特 性 gv 2g c2 / / 1 ( / ) p g g p/ /v f v f ， 5. 模 式 阻 抗(1) TM模 的 模 式 阻 抗 对 于 TM模 ， 将 代 入 (11)、 (12)式 ， 得 ：则 有 ： 与 同 方 向 ， 且 与 垂 直 ， 则 有 ： 对 于 传 输 型 TM模 ( )， 有 ：T T T T2 2c c1 jz zE z Ek k E H， 5.3 导 行 波 的 一 般 传 播 特 性 0zH T Tj z H E TH TzE z TE TT T TM Tj jEH E Z H j gTM g2 /12Z (2) TE模 的 模 式 阻 抗 对 于 TE模 ， 将 代 入 (11)、 (12)式 ， 得 ：则 有 ： 与 同 方 向 ， 且 与 垂 直 ， 则 有 ： 对 于 传 输 型 TE模 ( )， 有 ： 因 此 ， 均 匀 传 输 线 的 模 式 阻 抗 取 决 于 工 作 频 率 、 介 质 的 电 磁 参 数及 导 波 波 长 。 而 且 在 传 输 线 所 有 截 面 上 ， 模 式 阻 抗 都 相 同 。T T T T2 2c c1 1j z zz H Hk k E H，T Tj z E H 5.3 导 行 波 的 一 般 传 播 特 性 0zE TE Tz H z TH TT T TE Tj jEE H Z H j gTE g12 2 /Z 5.4 矩 形 波 导 中 的 导 行 波 矩 形 波 导 是 横 截 面 为 矩 形 的 空 心 金 属 管 ， 如 图 所 示 ， 其 宽 边尺 寸 为 a ， 窄 边 尺 寸 为 b ， 管 壁 一 般 为 紫 铜 。 由 于 矩 形 波 导 结 构简 单 、 机 械 强 度 大 ， 而 且 它 是 封 闭 结 构 ， 可 以 避 免 外 界 干 扰 和 辐射 损 耗 ， 无 内 导 体 ， 导 体 损 耗 低 ， 功 率 容 量 大 ， 所 以 在 目 前 大 中功 率 的 微 波 系 统 中 常 采 用 矩 形 波 导作 为 传 输 线 和 构 成 微 波 元 器 件 。 对 于 理 想 波 导 ， 我 们 假 定 波 导内 填 充 理 想 介 质 ， 通 常 是 空 气 ， 波导 壁 上 的 损 耗 也 忽 略 不 计 。 实 际 应 用 中 波 导 损 耗 很 小 ， 因 此 上 述 假 定 在 一 般 情 况 下 是 合 理 的 。 一 、 TE模 和 TM模 的 场 方 程1. TE模 对 于 TE模 ， 有 ， 按 照 纵 向 场 法 的 思 路 ， 可 以 先求 解 出 ， 进 而 求 得 其 它 四 个 分 量 。 在 直 角 坐 标 系 下 ， 由 ， 可 得 满足 ： 该 方 程 利 用 分 离 变 量 法 求 解 ， 得 ：上 式 两 边 同 时 乘 以 ， 得 ：0 0z zE H 、( , , ) ( , )e zz zH x y z h x y 2 2T c( , ) ( , ) 0 x y k x y h h ( , )zh x y2 2 2 c2 2 0z z zh h k hx y 0( , ) cos( )cos( )z x x y yh x y H k x k y 5.4 矩 形 波 导 中 的 导 行 波 e z 0( , , ) cos( )cos( )e zz x x y yH x y z H k x k y 式 中 ， 是 待 定 常 数 ， 且 有 (这 是 在 求解 上 面 偏 微 分 方 程 过 程 中 得 到 的 关 系 式 )。 其 中 ， 由 激 励 源 决定 ， 而 必 须 利 用 波 导 壁 的 边 界 条 件 来 确 定 。 在 得到 之 后 ， 可 由 (9)、 (10)式 求 得 TE模 的 横 向 场 分 量 ， 即 ：0 x y x yH k k 、 、 、 、 5.4 矩 形 波 导 中 的 导 行 波 2 2 2cx yk k k+ 0Hx y x yk k 、 、 、zH 02 2c c 02 2c c02 2c c 02 2c c1j j cos( )sin( )e1j j sin( )cos( )esin( )cos( )ecos( )sin( )e zzx y x x y y zzy x x x y yzzx x x x y yzy y x x y yHE H k k x k yk y kHE H k k x k yk x kHH H k k x k yk x kHH H k k x k yk y k z 在 波 导 的 四 个 导 体 壁 面 上 ， 由 边 界 条 件 可 知 ， 电 场 的 切 向 分量 为 0， 磁 场 的 法 向 分 量 为 0， 即 ：将 求 得 的 代 入 上 面 的 式 子 ， 并 考 虑 到 对 传 输 型 TE模 ， 有 ， 则 可 以 得 到 传 输 型 TE模 的 各 场 分 量 分 别 为 ：00| 0 sin 0 0| 0 sin 0 0,1,2,3,| 0 sin 0 0| 0 sin 0 0,1,2,3,y x x xy x a x xx y y y x y b y yE mE k a k maE nE k b k nb 由 ， 有 ， 即由 ， 有 ， 即 ， 由 ， 有 ， 即由 ， 有 ， 即 ， 5.4 矩 形 波 导 中 的 导 行 波 x y x yk k 、 、 、j 式 中 ， 。 对 于 TE模 ， m、 n 不 能 同 时 为 0， 否 则 会得 到 只 有 而 其 余 分 量 均 为 0的 无 意 义 的 解 。 j02c j02c j02c j02c j0j cos( )sin( )ej sin( )cos( )e0j sin( )cos( )ej cos( )sin( )ecos( )cos( )e zx zyz zx zy zz n m nE H x yk b a bm m nE H x yk a a bE m m nH H x yk a a bn m nH H x yk b a bm nH H x ya b 2 2 2c ( ) ( )m nk a b 5.4 矩 形 波 导 中 的 导 行 波 0zH 2. TM模 对 于 TM模 ， 有 ， 按 照 上 述 思 路 ， 可 得 到 传 输型 TM模 的 各 场 分 量 分 别为 ：式 中 ， 。对 于 TM模 ， m、 n 均 不 能为 0， 否 则 会 出 现 没 有 意义 的 0解 。 j02c j02c j 0 j02c j02cj cos( )sin( )ej sin( )cos( )esin( )sin( )ej sin( )cos( )ej cos( )sin( )e0 zx zy zz zx zyz m m nE E x yk a a bn m nE E x yk b a bm nE E x ya bn m nH E x yk b a bm m nH E x yk a a bH 5.4 矩 形 波 导 中 的 导 行 波 0 0z zE H 、 2 2 2c ( ) ( )m nk a b 二 、 TE模 和 TM模 的 特 点 由 以 上 分 析 可 知 ， 矩 形 波 导 中 TE模 和 TM模 截 止 波 数 的 表示 式 相 同 ， 这 样 ， 它 们 的 截 止 波 长 和 截 止 频 率 的 表 示 式 也 相同 ， 则 阶 数 为 m、 n 的 TE模 和 TM模 的 和 分 别 为 ：可 见 ， 截 止 波 长 与 波 导 横 截 面 尺 寸 a、 b 及 模 阶 数 m、 n 有 关 ，而 与 波 导 横 截 面 尺 寸 a、 b ， 模 阶 数 m、 n 及 媒 质 参 数 有 关 。 从 TE模 和 TM模 的 场 方 程 可 以 看 出 它 们 具 有 如 下 特 点 。2 2c c2 2 ( / ) ( / )2( ) ( ) 2( / ) ( / )mn mn m a n bfm a n b ，5.4 矩 形 波 导 中 的 导 行 波 ckc cfc cf ccf (1) 每 一 对 m、 n 的 值 都 对 应 波 导 中 的 一 个 模 ， 每 个 模 都 独 立地 满 足 波 动 方 程 和 波 导 的 边 界 条 件 ， 因 此 每 个 模 式 都 可 以 在 波 导中 独 立 存 在 。 (2) m、 n 除 限 定 外 可 以 取 任 意 非 负 整 数 ， 因 此 波 导中 可 以 存 在 无 穷 多 个 TEmn模 和 TMmn模 。 (3) 在 矩 形 波 导 中 ， 导 行波 的 任 意 分 量 在 x 和 y 方 向 上 都 呈 驻 波 分 布 ， 模 阶 数 m、 n 分 别表 示 导 行 波 在 x 和 y 方 向 上 半 驻 波 的 个 数 。 (4) 同 一 矩 形 波 导 中模 阶 数 相 同 的 TE模 和 TM模 具 有 相 同 的 截 止 波 长 和 截 止 频 率 ， 这种 不 同 模 式 具 有 相 同 截 止 波 长 、 相 同 截 止 频 率 的 现 象 ， 称 为 模 式的 简 并 。 矩 形 波 导 中 ， 一 般 具 有 TE mn模 和 TMmn模 的 二 重 简 并 ，但 TEm0模 和 TE0n模 没 有 简 并 ， 因 为 不 存 在 TMm0模 和 TM0n模 。 5.4 矩 形 波 导 中 的 导 行 波 当 波 导 横 截 面 尺 寸 a、 b 一 定 ， 模 阶 数 m、 n 不 同 时 ， 其 截止 波 长 (或 截 止 频 率 )也 不 同 。 波 导 中 具 有 最 长 截 止 波 长 (或 最 低 截止 频 率 )的 模 式 称 为 最 低 次 模 ， 其 它 模 式 称 为 高 次 模 。 若 (一般 如 此 )， 矩 形 波 导 中 的 最 低 次 TE模 是 TE10模 ； 最 低 次 TM模 是TM11模 。 容 易 算 出 ， ， 所 以 TE10模 是 矩 形 波 导 中的 最 低 次 模 ， 称 为矩 形 波 导 的 主 模 。主 模 TE 10模 的 主 要参 量 如 右 式 。 10 11c TE c TM( ) ( ) 10 2c gc p 22 2g g 2gTE 1 2 21 ( /2 )22 1 ( /2 )/ 1 ( /2 ) 1 ( /2 )/ 1 2f aa va v aa v v aZ a 5.4 矩 形 波 导 中 的 导 行 波 a b 三 、 矩 形 波 导 横 截 面 尺 寸 的 选 择 右 图 给 出 了 矩 形 波 导 中 各 模 式的 截 止 波 长 分 布 ， 假 设 。(1) 当 工 作 波 长 时 ， 处 于 截 止 区 ， 波 导 不 能 传 输 任 何 模 式 ；(2) 当 时 ， 处 于 单 模 工 作 区 ， 波 导 只 能 传 输 主 模 TE10；(3) 当 时 ， 波 导 中 出 现 高 次 模 ， 可 以 传 输 多 种 模 式 。 因 此 矩 形 波 导 横 截 面 尺 寸 的 选 择 对 其 工 作 状 态 有 很 大 影 响 。当 矩 形 波 导 用 作 传 输 线 时 ， 基 本 要 求 如 下 ： (1) 保 证 在 工 作 频 率范 围 内 只 传 输 单 一 模 式 ； (2) 损 耗 要 尽 量 小 ； (3) 传 输 大 功 率 时 必须 有 足 够 的 功 率 容 量 ； (4) 尺 寸 尽 可 能 小 ， 制 作 工 艺 力 求 简 单 。/2b a2a 2a a a 5.4 矩 形 波 导 中 的 导 行 波 TE20 截 止 区TM11TE01 TE100 a 2a c2b 因 此 ， 为 保 证 单 模 传 输 ， 必 须 采 用 主 模 TE10， 即 ， 则 。 同 时 ， 若 a 与 b 的 大 小 关 系 未 知 ， 必 须 抑 制 最 靠 近 TE10模 的 高 次 模 TE20 ( )或 TE01 ( ) 。 为 抑 制 TE20模 ， 必 须 有 ， 为 抑 制 TE01模 ， 必 须 有 。 这 样 ， 有 ： 从 减 小 衰 减 考 虑 ， b 应 选 得 大 些 ， 但 不 能 超 过 ， 否 则 将出 现 高 次 模 ， 同 时 应 使 ， 使 单 模 工 作 的 频 带 较 宽 。 但 b 不能 过 小 ， 否 则 功 率 容 量 就 要 减 小 ， 一 般 取 。 综 合 以 上 各 种 考 虑 ， 并 根 据 经 验 ， 一 般 选 取 2a /2 0 /2a b 且5.4 矩 形 波 导 中 的 导 行 波 /2a c a c 2b a 2b /22b a 2b a 0.7 (0.4 0.5)a b a ； 四 、 TE10模 的 场 结 构 与 壁 电 流1. 场 结 构 所 谓 场 结 构 就 是 传 输 线 中 电 场 和 磁 场 的 分 布 情 况 。 了 解 场 结构 对 解 决 实 际 问 题 具 有 重 要 意 义 。 为 了 形 象 直 观 地 了 解 场 结 构 ，可 以 利 用 电 力 线 和 磁 力 线 来 描 绘 它 ： 力 线 上 某 点 的 切 线 方 向 表 示该 点 处 电 场 或 磁 场 的 方 向 ， 某 处 力 线 的 疏 密 程 度 表 示 该 处 电 场 或磁 场 的 强 弱 。 由 电 磁 理 论 可 知 ， 传 输 线 中 电 力 线 和 磁 力 线 遵 循 的 规 律 是 ：(1) 电 力 线 发 自 正 电 荷 ， 止 于 负 电 荷 ， 也 可 以 环 绕 时 变 磁 场 构 成闭 合 曲 线 ， 电 力 线 互 不 相 交 ， 传 输 线 内 部 导 体 (假 设 为 理 想 导 体 )5.4 矩 形 波 导 中 的 导 行 波 表 面 上 电 场 切 向 分 量 为 0， 电 力 线 和 导 体 表 面 垂 直 ； (2) 磁 力 线 总是 闭 合 曲 线 ， 它 或 者 围 绕 着 载 流 导 体 ， 或 者 围 绕 着 时 变 电 场 ， 磁力 线 互 不 相 交 ， 传 输 线 内 部 导 体 表 面 上 磁 场 的 法 向 分 量 为 0， 磁力 线 与 导 体 表 面 平 行 ； (3) 电 力 线 与 磁 力 线 相 互 正 交 。 对 于 矩 形 波 导 ， 若 给 定 模 阶 数 m、 n， 根 据 该 模 式 的 场 分 量表 示 式 ， 就 可 以 绘 出 该 模 式 的 场 结 构 图 。 TE10模 是 矩 形 波 导 的 主模 ， 具 有 最 宽 的 单 模 工 作 频 带 ， 又 是 工 程 中 常 用 的 工 作 模 式 ， 下面 将 主 要 研 究 其 场 结 构 。 对 TE 10模 ， 有代 入 TEmn模 的 表 示 式 ， 并 改 写 成 瞬 时 表 示 式 ， 有 ： 5.4 矩 形 波 导 中 的 导 行 波 10 10c c TE TE g1 0 ( ) / 2 /m n k k a 、 、 、 ， 这 就 是 TE10模 各 场 分 量 的 瞬 时 表 示 式 ， 由 此 我 们 就 可 以 绘 出TE10模 的 场 结 构 图 。 由 于 波 导 中 电 磁 场 是 时 变 的 ， 所 以 我 们 只 能画 出 某 一 时 刻 的 场 结 构 。 下 面 我 们 在 定 性 分 析 的 基 础 上 ， 分 别 给 出 了 TE10模 的 电 场 分布 图 和 磁 场 分 布 图 。 1010 10100 TETE 0 TE0 TEsin( )sin( )sin( )sin( )cos( )cos( )0 0 0yxzx z yaE H x t zaaH H x t zaH H x t zaE E H ， ，5.4 矩 形 波 导 中 的 导 行 波 0t t TE10模 的 电 场 只 有 分 量 ， 所 以 电 力 线 是 一 些 平 行 于 y 轴 的直 线 。 在 的 横 截 面 上 ， ， 电 场 强 度 只 与 x 有 关 ，而 与 y 无 关 ； 电 场 沿 宽 边 按 正 弦 规 律 变 化 ， 且 在 和 处 ，有 ， 在 处 ， 有 最 大 值 ； 电 场 沿 窄 边 无 变 化 。 以 电力 线 的 疏 密 来 表 示 电 场 的 强 弱 ， 则 电 场 在 横 截 面 上 的 分 布 如 图 (a)所 示 。 可 以 看 出 ， 越 接 近 波 导 管 的 窄 壁 ， 电 场 越 弱 ， 在 窄 壁 表 面上 有 。 在 波 导 纵 向 上 ， 在 处 的 纵 剖 面 yz 上 ， 有 ， 可 见 ， 沿 z 轴 呈 正 弦 分 布 ， 如 图 (c)所 示 。 图 (b)是 TE 10模 的 电 场 在 xz 平 面 上 的 分 布 ， “ ” 表 示 电 力 线 指 向 的正方 向 ， “ ” 表 示 电 力 线 指 向 的 负 方 向 ， 密 度 表 示 电 场 的 强 弱 。 sin( )yE xa y5.4 矩 形 波 导 中 的 导 行 波 yE0z z 0 x x a0yE /2x a yE0 yE /2x a100 TEsin( )t z yE y yE 5.4 矩 形 波 导 中 的 导 行 波 TE10模 的 电 场 分 布 5.4 矩 形 波 导 中 的 导 行 波 TE10模 的 磁 场 分 布 TE10模 的 磁 场 有 和 两 个 分 量 ， 因 此 总 磁 场一 定 在 与 y 轴 垂 直 的 xz 平 面 内 ， 且 磁 力 线 是 环 绕 电 力 线 的 闭 合曲 线 。 沿 波 导 宽 边 为 正 弦 分 布 ， 沿 宽 边 为 余 弦 分 布 。 在 z 轴方 向 上 都 呈 简 谐 分 布 ， 且 和 反 相 ， 二 者 都 与 有 90 相 位差 。 这 说 明 矩 形 波 导 中 导 行 波 沿 z 方 向 是 行 波 ， 沿 横 向 是 驻 波 。 有 了 这 些 剖 面 图 ， 则 可 以 绘 出三 维 立 体 图 。 右 图 是 时 电 磁 场的 分 布 图 。 随 着 时 间 的 增 加 ， 图 中所 绘 的 整 个 场 结 构 形 状 保 持 不 变 ，但 以 相 速 度 沿 +z 方 向 传 播 。 x zH x H z H 0t t 5.4 矩 形 波 导 中 的 导 行 波 xH zHxH zHxH zHyE pv 2. 壁 电 流 (表 面 电 流 ) 当 波 导 中 有 导 行 电 磁 波 时 ， 它 必 将 在 金 属 波 导 管 内 壁 上 感 应出 高 频 传 导 电 流 。 实 际 的 波 导 管 内 壁 都 是 良 导 体 ， 由 于 电 磁 场 在微 波 波 段 对 良 导 体 的 穿 透 深 度 非 常 小 ( 左 右 )， 因 此 可 以 认 为 管壁 上 的 这 种 电 流 是 面 电 流 。 另 外 ， 在 波 导 内 部 空 间 中 ， 电 场 的 变化 将 产 生 位 移 电 流 。 这 两 种 电 流 的 接 续 保 证 了 全 电 流 的 连 续 性 。 波 导 内 壁 上 高 频 电 流 的 分 布 取 决 于 波 导 内 部 的 磁 场 结 构 ， 因此 可 用 理 想 导 体 的 边 界 条 件 来 确 定 波 导 内 壁 上 电 流 。是 波 导 内 壁 上 的 面 电 流 密 度 ， 是 波 导 内 壁 处 的 磁 场 强 度 ， 是由 波 导 内 壁 指 向 波 导 内 部 的 法 向 单 位 矢 量 。 将 TE 10模 磁 场 的 表 示式 代 入 ， 即 可 得 到 TE10模 在 波 导 内 壁 上 的 感 应 面 电 流 密 度 为 ： 5.4 矩 形 波 导 中 的 导 行 波 1m s n J H sJH n 由 这 些 电 流 的 表 示 式 即 可 绘 出 时 刻 矩 形 波 导 内 壁 上 的 面 电 流密 度 分 布 ， 如 图 所 示 。 研 究 电 流 分布 具 有 实 际 意 义 ， 比 如 波 导 宽 壁 开缝 测 量 、 缝 隙 天 线 等 。0t t 5.4 矩 形 波 导 中 的 导 行 波 10 101010 10s 0 0 0 TE s 0 TETEs 0 0 0 TE 0 TEs 0 | | cos( ) | ( ) | cos( ) | | cos cos( ) sin