2021-2021年全国普通高等学校高考数学三模试卷（文科）（含答案）

2021-2021年全国普通高等学校高考数学三模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1设集合M=x|0x1，集合N=x|x22x30，则集合M（RN）=（）Ax|0x1Bx|0x2Cx|0x1Dx|0x22已知向量=（1，2），=（2，m），若+2，则m=（）A4B6C2D23若sin（）=，则cos（）（）ABCD4若函数f（x）=2ax+1+2a满足f（x）=f（x）对一切xR恒成立，则f（0）=（）A8B4C2D15从1，2，3，4中任取两个不同的数，其和是3的倍数的概率是（）ABCD6已知复数z=a+bi， =abi（a，bR，i为虚数单位），则下列叙述正确的是（）A|z|zBa0且b0CzRDz与在复平面内对应的点关于虚轴对称7设等差数列an的前n项和为Sn，若2a10=7+a11，则S17的值是（）A119B120C130D1408已知如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A4B6C8D99如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A1BCD10函数f（x）=sinx（0）在区间（，）上有且只有2个极值点，则的取值范围是（）A，B（，）C（，D，）11过双曲线=1（a0，b0）的一个焦点F作渐近线的垂线l，垂足为M，l交y轴于点E，若=3，则该双曲线的离心率为（）AB2C3D12如图所示，若干个斜边长为2的等腰直角三角形的斜边在x轴上，横坐标为x的直线l自y轴开始向右匀速移动，设所有的三角形被直线l掠过的阴影部分的面积为f（x），则在定义域0，+）内，关于函数f（x）的判断正确的是（）Af（x）是周期函数Bf（x）2=f（x+1）Cf（x+2）1=f（x）Df（x）1=f（x+2）二、填空题（本大题4小题，每题5分，共20分）13设O为坐标原点，若x，y满足不等式组，则的最小值是14在正项等比数列an中，a34a1=0，则=15底面为正方形，顶点在底面的投影为底面中心的棱锥PABCD的五个顶点在同一球面上，若该棱锥的底面边长为4，侧棱长为2，则这个球的表面积为16设函数f（x）=是一个奇函数，则满足f（2x2）+f（x）0的x的取值范围是三、解答题（本大题共5小题）17在锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且c=2asinC（1）确定角A的大小；（2）如果a=3，求ABC周长的最大值18如图所示的几何体PABCD中，底面ABCD是梯形，且ADBC，点E是边AD上的一点，AE=BC=AB，AD=3BC，点F是PD的中点，PBAC（1）证明：PA=PC；（2）证明：CF平面PBE192021年12月，京津冀等地数城市指数“爆表”，北方此轮污染为2021年以来最严重的污染过程为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到北方某城市2021年12月份星期一到星期日某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：时间星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日车流量x（万辆）1234567PM2.5的浓度y（微克/立方米）27313541495662（1）在表中，画出车流量和PM2.5浓度的散点图；（2）求y关于x的线性回归方程；（3）（i）利用所求的回归方程，预测该市车流量为8万辆时，PM2.5的浓度；（ii）规定当一天内PM2.5的浓度平均值在（0，50内，空气质量等级为优；当一天内PM2.5的浓度平均值在（50，100内，空气质量等级为良，为使该市某日空气质量为优活为良，则应控制当天车流量在多少万辆以内（结果以万辆为单位，保留整数）？参考公式：回归直线的方程是： =x+，其中=， =20在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线xy=4相切，直线l：y=kx+1与圆O交于P、Q两点（1）若=2，求实数k的值；（2）过点（0，1）作直线l1与l垂直，且直线l2与圆O交于M，N两点，求四边形PMQN面积的最大值21已知函数f（x）=ax+xlnx，且图象在点（，f（）处的切线斜率为1（e为自然对数的底数）（）求实数a的值；（）设g（x）=，求g（x）的单调区间选修4-1：几何证明选讲22如图，A、B、C、D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上（1）若EF2=FAFB，证明：EFCD；（2）若BD平分ABC，AE=2AB，求证：EC=2AD选修4-4：坐标系与参数方程选讲23已知直线l的参数方程为（t为参数，tR），设平面直角坐标系原点与极坐标系极点重合，x轴正半轴与极轴重合，且曲线C的极坐标方程为2=（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程：（2）求曲线C上的点到直线l距离的最大值选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x2|x5|（1）求函数f（x）的值域；（2）若xR，不等式f（x）t2t恒成立，求实数t的取值范围参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1设集合M=x|0x1，集合N=x|x22x30，则集合M（RN）=（）Ax|0x1Bx|0x2Cx|0x1Dx|0x2【考点】交、并、补集的混合运算【分析】解不等式x22x30，从而可得N=x|x3或x1，从而求解【解答】解：x22x30，x3或x1；N=x|x3或x1，RN=x|1x3，M（RN）=x|0x1，故选A2已知向量=（1，2），=（2，m），若+2，则m=（）A4B6C2D2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列出方程求解即可【解答】解：向量=（1，2），=（2，m），+2=（5，2+2m），又+2，（2+2m）52=0，解得m=4故选：A3若sin（）=，则cos（）（）ABCD【考点】两角和与差的余弦函数；诱导公式一；同角三角函数间的基本关系【分析】先根据诱导公式求出cos（+a）=；再结合二倍角公式即可求出结论【解答】解：sin（a）=cos（a）=cos（+a）=；cos（+2a）=cos2（+a）=2cos2（+a）1=21=故选：A4若函数f（x）=2ax+1+2a满足f（x）=f（x）对一切xR恒成立，则f（0）=（）A8B4C2D1【考点】复合函数的单调性【分析】根据f（x）=f（x），建立方程关系求出a的值即可得到结论【解答】解：f（x）=f（x）对一切xR恒成立，函数f（x）是偶函数，则2ax+1+2a=2，即x2ax+1+2a=x2+ax+1+2a，则ax=ax，则a=a，即a=0，则f（x）=2+1，f（0）=2，故选：C5从1，2，3，4中任取两个不同的数，其和是3的倍数的概率是（）ABCD【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从1至8这八个自然数中，任取两个不同的数，满足条件的事件是这两个数的和是3的倍数，可以列举出所有的符合条件的事件，根据古典概型概率公式得到结果【解答】解：从1，2，3，4中任取两个不同的数，共有6种情况，和是3的倍数的有（1，2），（2，4），所以根据古典概型公式得：p=，故选B6已知复数z=a+bi， =abi（a，bR，i为虚数单位），则下列叙述正确的是（）A|z|zBa0且b0CzRDz与在复平面内对应的点关于虚轴对称【考点】复数的基本概念【分析】利用复数的运算性质及基本概念逐一核对四个选项得答案【解答】解：z=a+bi，|z|=R，当b0时，z为虚数，一个实数与一个虚数不能进行大小比较，故A错误；在复数复数z=a+bi中，a，b可以取任意实数，故B错误；z=|z|2R，故C正确；当z=1+i时，z与在复平面内对应的点关于实轴对称，不关于虚轴对称，故D错误故选：C7设等差数列an的前n项和为Sn，若2a10=7+a11，则S17的值是（）A119B120C130D140【考点】等差数列的前n项和【分析】由等差数列通项公式得2a10=a9+a11=7+a11，从而得到a9=7，由此能求出S17的值【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，2a10=7+a11，2a10=a9+a11=7+a11，解得a9=7，=17a9=177=119故选：A8已知如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A4B6C8D9【考点】程序框图【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到S=105时满足条件，退出循环输出i的值，从而得解【解答】解：模拟程序的运行，可得：S=1，i=3不满足条件S100，执行循环体，S=3，i=5不满足条件S100，执行循环体，S=15，i=7不满足条件S100，执行循环体，S=105，i=9满足条件S100，退出循环，输出i的值为9故选：D9如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A1BCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个平行四边形，结合三视图的数据，利用体积公式得到结果【解答】解：由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个平行四边形，有两个等腰直角三角形，直角边长为1组成的平行四边形，四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且侧棱长为1，四棱锥的体积是故选B10函数f（x）=sinx（0）在区间（，）上有且只有2个极值点，则的取值范围是（）A，B（，）C（，D，）【考点】正弦函数的图象【分析】根据函数f（x）有极值点得出f（x）=0有实根，再根据余弦函数的图象与性质，列出方程组求出的取值范围【解答】解：函数f（x）=sinx（0），f（x）=cosx，又x（，），x（，），f（x）在区间（，）上有且只有2个极值点，f（x）=0在区间（，）上有且只有2零点，解得，即共有选：B11过双曲线=1（a0，b0）的一个焦点F作渐近线的垂线l，垂足为M，l交y轴于点E，若=3，则该双曲线的离心率为（）AB2C3D【考点】双曲线的简单性质【分析】由双曲线的标准方程可得右焦点F，渐近线方程，利用=3，求出M的坐标，代入渐近线y=x，即可得出结论【解答】解：如图所示取右焦点F（c，0），渐近线y=xFMOM，可得直线FM的方程为y=（xc），令x=0，解得y=，E（0，）=3，M（，），又M在渐近线y=x上，=，解得a=b该双曲线的离心率e=2故选：B12如图所示，若干个斜边长为2的等腰直角三角形的斜边在x轴上，横坐标为x的直线l自y轴开始向右匀速移动，设所有的三角形被直线l掠过的阴影部分的面积为f（x），则在定义域0，+）内，关于函数f（x）的判断正确的是（）Af（x）是周期函数Bf（x）2=f（x+1）Cf（x+2）1=f（x）Df（x）1=f（x+2）【考点】函数的图象【分析】由题意可得，所有的三角形被直线l掠过的阴影部分的面积为f（x）在定义域0，+）内单调递增，当x每增加2个单位，面积f（x）增加一个单位，由此可得结论【解答】解：所有的三角形被直线l掠过的阴影部分的面积为f（x）在定义域0，+）内单调递增，故排除A；由于当x每增加2个单位，面积f（x）增加一个单位，故B、D不正确，C正确，故选：C二、填空题（本大题4小题，每题5分，共20分）13设O为坐标原点，若x，y满足不等式组，则的最小值是1【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义是区域内的点到原点的斜率，利用数形结合进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知OC的斜率最小，由得，即C（1，1），此时OC的斜率k=1，则的最小值为1，故答案为：114在正项等比数列an中，a34a1=0，则=3【考点】等比数列的通项公式【分析】由已知得，从而由正项等比数列的性质得q=2，由此利用等比数列通项公式和前n项和有求出的值【解答】解：正项等比数列an中，a34a1=0，解得q=2或q=2（舍），=3故答案为：315底面为正方形，顶点在底面的投影为底面中心的棱锥PABCD的五个顶点在同一球面上，若该棱锥的底面边长为4，侧棱长为2，则这个球的表面积为36【考点】球的体积和表面积【分析】画出图形，正四棱锥PABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积【解答】解：正四棱锥PABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，PO=AO=R，PO1=4，OO1=R4，或OO1=4R（此时O在PO1的延长线上），在RtAO1O中，R2=8+（R4）2得R=3，球的表面积S=36故答案为：3616设函数f（x）=是一个奇函数，则满足f（2x2）+f（x）0的x的取值范围是（1，2）【考点】分段函数的应用；函数奇偶性的性质【分析】由条件根据奇函数的性质求得a的值，从而得到f（x）的解析式；由所给的不等式结合f（x）的图象可得x的不等式，解此二次不等式，求得x的范围【解答】解：函数f（x）=是一个奇函数，设x0，则x0，且f（x）=f（x），即a（x）（x+2）=x（x2），化简可得ax（2x）=x（2x），a=1即f（x）=，故函数f（x）为R上的减函数，它的图象如图由f（2x2）+f（x）0，可得2x2x，即x2x20，求得x（1，2）故答案为：（1，2）三、解答题（本大题共5小题）17在锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且c=2asinC（1）确定角A的大小；（2）如果a=3，求ABC周长的最大值【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）由正弦定理结合sinC0，化简已知可得sinA=，结合A为锐角，可得A的值（2）由已知及正弦定理可得b=2sinB，c=2sinC，利用三角函数恒等变换的应用化简可得a+b+c=6sin（B+）+3，由范围，利用正弦函数的图象和性质即可得解其最大值【解答】（本题满分为12分）解：（1）在ABC中，c=2asinC由正弦定理可得： sinC=2sinAsinC，又sinC0，sinA=，A为锐角，可得A=（2）由正弦定理可得：，又，b=2sinB，c=2sinC，a+b+c=3=3+2sinB+2sin（B）=3+3sinB+3cosB=6sin（B+）+3，在锐角ABC中，B+，当B+=时，即B=时，a+b+c取最大值为9ABC周长的最大值为918如图所示的几何体PABCD中，底面ABCD是梯形，且ADBC，点E是边AD上的一点，AE=BC=AB，AD=3BC，点F是PD的中点，PBAC（1）证明：PA=PC；（2）证明：CF平面PBE【考点】直线与平面平行的判定【分析】（1）设AC，BE的交点为O，连结PO通过证明AC平面PBE得出ACPO，从而得出POAPOC，于是PA=PC（2）取PE的中点M，连结FM，BM利用中位线定理证明四边形BCFM是平行四边形，得出CFBM，从而得出CF平面PBE【解答】证明：（1）设AC，BE的交点为O，连结POADBC，AE=BC=AB，四边形ABCE是菱形，ACBE，OA=OC又ACPB，BE，PB平面PBE，PBBE=B，AC平面PAC，PO平面PBE，ACPO，又OA=OC，POAPOC，PA=PC（2）取PE的中点M，连结FM，BMF，M分别是PD，PE的中点，MFDE，BCAD，AD=3BC，AE=BC，BCDE，BC四边形BCFM是平行四边形，CFBM，又BM平面PBE，CF平面PBE，CF平面PBE192021年12月，京津冀等地数城市指数“爆表”，北方此轮污染为2021年以来最严重的污染过程为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到北方某城市2021年12月份星期一到星期日某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：时间星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日车流量x（万辆）1234567PM2.5的浓度y（微克/立方米）27313541495662（1）在表中，画出车流量和PM2.5浓度的散点图；（2）求y关于x的线性回归方程；（3）（i）利用所求的回归方程，预测该市车流量为8万辆时，PM2.5的浓度；（ii）规定当一天内PM2.5的浓度平均值在（0，50内，空气质量等级为优；当一天内PM2.5的浓度平均值在（50，100内，空气质量等级为良，为使该市某日空气质量为优活为良，则应控制当天车流量在多少万辆以内（结果以万辆为单位，保留整数）？参考公式：回归直线的方程是： =x+，其中=， =【考点】线性回归方程【分析】（1）利用描点法可得数据的散点图；（2）根据公式求出b，a，可写出线性回归方程；（3）（i）根据（2）的性回归方程，代入x=8求出PM2.5的浓度，（ii）由x+100，解得x的取值范围【解答】解：画出车流量和PM2.5浓度的散点图；（2）由数据可得： =（1+2+3+4+5+6+7）=4，=（27+31+35+41+49+56+62）=43，xiyi=1373，=140，=，=b=，故y关于x的线性回归方程为=x+，（3）（i）当车流量为8万辆时，即x=8时， =8+=，故车流量为8万辆时，PM2.5的浓度，（ii）根据题意信息x+100，即当x13.44时，所要使该市某日空气质量为优活为良，则应控制当天车流量在13万辆以内20在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线xy=4相切，直线l：y=kx+1与圆O交于P、Q两点（1）若=2，求实数k的值；（2）过点（0，1）作直线l1与l垂直，且直线l2与圆O交于M，N两点，求四边形PMQN面积的最大值【考点】直线和圆的方程的应用；平面向量数量积的运算【分析】（1）考查圆与向量相结合的问题，运用向量的数量积公式即可；（2）利用几何关系进行求解即可【解答】解：（1）由题意，圆O的半径r等于原点O到直线xy=4的距离，即r=2，圆的方程为x2+y2=4，=22cosPOQ=2，cosPOQ=，POQ=120，圆心到直线l：y=kx+1的距离d=1，k=0（2）由图可得，|PQ|=2，|MN|=2，S=|PQ|MN|=2，又已知得，d2+d2=1，故S=22=2=7，故四边形PMQN面积S有最大值721已知函数f（x）=ax+xlnx，且图象在点（，f（）处的切线斜率为1（e为自然对数的底数）（）求实数a的值；（）设g（x）=，求g（x）的单调区间【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）由f（x）=ax+xlnx，得f（x）=a+1+lnx，依题意f（）=a=1，从而求出a=1（）由g（x）=，设h（x）=x1lnx，则h（x）=1，讨论当x1时，当0x1时的情况，得出g（x）的单调增区间为（0，1），（1，+）【解答】解：（）f（x）=ax+xlnx，f（x）=a+1+lnx，依题意f（）=a=1，a=1（）g（x）=，g（x）=，设h（x）=x1lnx，则h（x）=1，当x1时，h（x）0，h（x）是增函数对x1，h（x）h（1）=0，即当x1时，g（x）0，故g（x）在（1，+）上为增函数，当0x1时，h（x）0，h（x）是减增函数对x（0，1），h（x）h（1）=0，即当0x1时，g（x）0，故g（x）在（0，1）上为增函数，g（x）的单调增区间为（0，1），（1，+）选修4-1：几何证明选讲22如图，A、B、C、D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上（1）若EF2=FAFB，证明：EFCD；（2）若BD平分ABC，AE=2AB，求证：EC=2AD【考点】与圆有关的比例线段；弦切角【分析】（1）根据题意中的比例中项，可得，结合公共角可得FAEFEB，所以FEA=EBF，再由A，B，C，D四点共圆得到EDC=EBF，利用等量代换可得FEA=EDC，内错角相等，所以EFCD（2）根据圆内接四边形的性质，可得ECD=EAB，EDC=B，从而EDCEBA，利用角平分线的性质，即可得出结论【解答】证明：（1）EF2=FAFB，又EFA=BFE，FAEFEB，可得FEA=EBF，又A，B，C，D四点共圆，EDC=EBF，FEA=EDC，EFCD（2）A，B，C，D四点共圆，ECD=EAB，EDC=BEDCEBA，=BD平分ABC，=，=，=，AE=2AB，EC=2AD选修4-4：坐标系与参数方程选讲23已知直线l的参数方程为（t为参数，tR），设平面直角坐标系原点与极坐标系极点重合，x轴正半轴与极轴重合，且曲线C的极坐标方程为2=（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程：（2）求曲线C上的点到直线l距离的最大值【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）直线l的参数方程为（t为参数，tR），消去t可得普通方程由曲线C的极坐标方程为2=，可得：42cos2+32sin2=12，把x=cos，y=sin即可把化为直角坐标方程（2）设曲线C上的点P，利用点到直线的距离公式、和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数，tR），消去t可得普通方程：xy1=0由曲线C的极坐标方程为2=，可得：42cos2+32sin2=12，化为直角坐标方程：4x2+3y2=12，即+=1（2）设曲线C上的点P，则点P到直线l的距离d=曲线C上的点到直线l距离的最大值为选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x2|x5|（1）求函数f（x）的值域；（2）若xR，不等式f（x）t2t恒成立，求实数t的取值范围【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法【分析】（1）去掉绝对值符号，将函数化为分段函数的形式，解出值域即可；（2）求出f（x）的最小值，问题转化为t2t3，解出即可【解答】解：（1）函数f（x）=|x2|x5|当x2时，f（x）=2x（5x）=3，当2x5时，f（x）=x2（5x）=2x7（3，3），当x5时，f（x）=x2（x5）=3综上函数f（x）的值域3，3（2）函数f（x）的最小值是3，若xR，使得f（x）t2t恒成立，即有f（x）mint2t，即有t2t3，解得：t2，则实数t的取值范围为，2精品 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