《质点运动学》PPT课件

第 1编 力 学力 学 研 究 物 体 的 机 械 运 动力 学 运 动 学 动 力 学 力 牛 顿 定 律能 量动 量角 动 量 守 恒 定 律 运 动 学 (kinematics) 动 力 学 (dynamics)静 力 学 (statics)只 描 述 物 体 的 运 动 ， 不 涉 及 引 起 运 动 和 改 变 运 动的 原 因 。研 究 运 动 与 相 互 作 用 之 间 的 关 系 。研 究 物 体 在 相 互 作 用 下 的 平 衡 问 题 。 第 一 章 质 点 运 动 学 1-1 质 点 运 动 的 描 述 1-2 切 向 加 速 度 与 法 向 加 速 度 自 然 坐 标 系 1-3 圆 周 运 动 的 角 量 描 述 平 面 极 坐 标 系 1-4 相 对 运 动 1.质 点把 所 研 究 的 物 体 视 为 无 形 状 大 小 但 有 一 定 质 量 的 点 . 质 点 是 一 种 理 想 的 模 型 . 复 杂 物 体 可 看 成 质 点 的 组 合 .2 参 照 系 与 坐 标 系 2.1 参 照 系 ： 研 究 物 体 运 动 状 态 时 选 作 参 照 的 物 体 。 对 物 体 运 动 的 描 述 与 参 照 系 有 关 . 1-1 质 点 运 动 的 描 述 直角坐标：P(x,y,z)自 然 坐 标 ： P(s)2.2 坐 标 系为 标 定 物 体 空 间 位 置 而 设 置 的 坐 标 系 统 . P(x, y, z)z yx O sO (rectangular coordinate）(natural coordinates) 3 位 置 矢 量 位 矢 矢 量 半 径kzjyixr 3.1 定 义3.2 位 置 矢 量 的 直 角 坐 标 分 量 2 2 2 cos ,cos ,cos r x y zx y zr r r 大 小 ： 模方 向 ： 方 向 余 弦 从 坐 标 原 点 O指 向 质 点 位 置 P的 有向 线 段 . P(x, y, z)z yx Oki jr 4.运 动 方 程 与 轨 道 方 程 ktzjtyitxr )()()( )( )( )(tzz tyy txx4.2 轨 道 方 程 ( ) ( , , ) 0( ) ( , , ) 0( ) tx x t F x y zy y t G x y zz z t 消 去4.1 运 动 方 程 平 抛 运 动 位 移 矢 量 反 映 了 物 体 运 动 中 位 置 ( 距 离 与 方 位 ) 的 变 化 。(1 ) 位 移 是 矢 量 （ 有 大 小 ， 有 方 向 ）位 移 不 同 于 路 程(2 ) 位 移 与 参 照 系 位 置 的 变 化 无 关(3) 与 r 的 区 别 r( )r t ( )r t t sO r rr分 清 5 位 移 (displacement)( ) ( )pp r t t r t r r S r 习 题 ： 1 .2 , rs ,r r d d rs r r r s0 r(t+t)r(t) r d dr r 1 . 平 均 速 度 r( )r t t( )r t2 . 瞬 时 速 度 Av讨 论(1 ) 速 度 的 矢 量 性 、 瞬 时 性 和 相 对 性 。(2 ) 注 意 速 度 与 速 率 的 区 别 6 速 度 (velocity) ( ) ( )r r t t r tt t v 0 ( ) ( ) dlim dt r t t r t rt t vddrt v d d dd d dr s rt t t v v 6.2 速 度 的 直 角 坐 标 分 量 2 2 2: cos , cos , cos x y z yx zv v a 大 小方 向 v v v v vv vv v v 0 | |limt s ds d dt dt dt dt r rv v 速 度 的 大 小 速 率 (speed)( ) ( ) ( ) ( ) x y zr r t x t i y t j z t kdr dx dy dzi j k i j kdt dt dt dt v v v v 1 . 平 均 加 速 度 ( ) ( )t t ta t t v v v2 . 瞬 时 加 速 度讨 论(1 ) 加 速 度 反 映 速 度 的 变 化 （ 大 小 和 方 向 ） 情 况 。2 20 ( ) ( ) d dlim d dt t t t ra t t t v v v ( )tv ( )t tv v A B( )tv ( )t tv( )r t ( )r t t(2 ) 加 速 度 的 方 向 总 是 指 向 轨 迹 曲 线 凹 的 一 面 。7 加 速 度 (acceleration) 3 加 速 度 的 直 角 坐 标 分 量 2 2 2:cos , cos , cosx y z yx za a aa a a a aa aa a a 大 小方 向 ( ) ( ) ( ) ( ) x y zyx z x y zt t i t j t kdd dda i j k a i a j a kdt dt dt dt v v v v vvv vv 运 动 学 的 两 类 问 题 ：1.已 知 运 动 方 程 ， 求 质 点 任 意 时 刻 的 位 置 、 速 度 以 及 加 速 度 22dr d d rr r t adt dt dt vv2. 已 知 运 动 质 点 的 速 度 函 数 （ 或 加 速 度 函 数 ） 以 及 初 始 条 件求 质 点 的 运 动 方 程 1adt c v 2r dt c v( )a a t d dtr v 0 0t dt r r r v 0 0r tr d dt r v0 00 0t tr r v v其 中 和 由 初 始 条 件 ：1c 2c 决 定 。 例 1-4： 一 质 点 沿 x 轴 运 动 ， 其 速 度 与 位 置 的 关 系 为 v = - kx ,其 中 k 为 一 个正 常 数 。 若 t=0 时 质 点 在 x=x0 处 ， 求 任 意 时 刻 t 质 点 的 位 置 ， 速 度 和 加 速 度dx kxdt dx kdtx 0 0 x tx dx kdtx 0ln x ktx 0e ktx x 0e ktv=-kx 2 0e kta k x ( ) ( )t x v v v v ( ); ( ); ( )a a t a a x a a v( )da a xdt v ( ) ( )d dx da x a xdx d dt v vvv ( )d a x dtv v( )da adt v v ( )d dta vv 例 1-1 已 知 某 质 点 的 运 动 方 程 为 ：2 3(2 1) (2 ) ( )( 0)r t i t j m t 求 ： （ 1） 轨 道 方 程 ； （ 2） t=0 （ s） 至 t=2 （ s） 内 的 平 均 速 度 ； （ 3） t=0 （ s ） 和 t=2 （ s） 时 的 瞬 时 速 度 ； （ 4） t=0 （ s） 至 t =2 （ s） 内 的 平 均 加 速 度 ; （ 5） t=0 （ s） 和 t=2 （ s） 时 的 瞬 时 加 速 度 。)1()2 1(22 12 2/332 xxyty tx0 22 , 7 6 (8 8 )( )r i j r i j r i j m (4 4 )( / )r i j m st v 24 3dr ti t jdt v 0 20, (8 12 )( / )i j m s v v 解 ： 24 3dr ti t jdt v 0 20, 8 12i j v v 2(4 6 )( / )a i j m st v4 6da i tjdt v 2 2 0 24 ( / ), (4 12 )( / )da i m s a i j m sdt v （4）（5） 2 3(2 1) (2 ) ( )( 0)r t i t j m t （4）t=0（s）至 t =2（s）内的平均加速度;（5）t=0（s）和 t=2（s）时的瞬时加速度。 例 1-3： 通 过 绞 车 拉 动 湖 中 小 船 拉 向 岸 边 , 如 图 。 如 果 绞 车 以恒 定 的 速 率 u 拉 动 纤 绳 , 绞 车 定 滑 轮 离 水 面 的 高 度 为 h, 求 小船 向 岸 边 移 动 的 速 度 和 加 速 度 。 解 ： 以 绞 车 定 滑 轮 处 为 坐 标 原 点 , x 轴 水 平 向 右 , y 轴 竖 直 向 下 , 如 图 所 示 。 xlhyo xxlhu 两 边 对 时 间 t 求 导 数 , 得 2 2dx dlx ldt dt2 2l x hu ux x v 负 号 表 示 小 船 速度 沿 x 轴 反 方 向 。 小 船 向 岸 边 移动 的 加 速 度 为 2 2 22 3d x d u ha dt dt x v 设 小 船 到 坐 标 原 点 的 距 离 为 l, 任 意 时 刻 小 船 到岸 边 的 距 离 x总 满 足 2 2 2l h x 绞 车 拉 动 纤 绳 的 速 率 , 纤 绳 随 时 间 在 缩短 , 故 ; 是 小 船 向 岸 边 移 动 的 速 率 。dl udt ddlt 0 dxdt v 1 匀 加 速 运 动 1.1 匀 加 速 运 动 的 速 度 与 时 间 的 关 系 1 1adt c at c v 000 x x xy y yz z za ta ta t v vv vv v0 0 1 0t c v v v0 at v v 1.2 匀 加 速 运 动 的 位 置 与 时 间 的 关 系 22 0 2 0 21( ) 2r dt c at dt c t at c v v v0 2 00tr r c r 20 0 12r r t at v 20 0 20 0 20 0 121212x xy yz zx x t a ty y t a tz z t a t vvv 1.3 匀 加 速 运 动 的 速 度 与 位 置 的 关 系 2 20 02 ( )a r r v v 2 20 02 20 02 20 02 ( )2 ( )2 ( )x x xy y yz z zv v a x xv v a y yv v a z z 0 at v v 20 0 12r r t at v2 0 0( ) ( )at at v v v vv 2 20 0 12 ( )2a t a t vv 2 20 02( )a t a a t vv20 02 ( )a r r v 2 抛 体 运 动 g y v0O x2.1 t 时 刻 的 速 度00 cossinxy t gt v vv v2.2 运 动 函 数 0 20 cos 1sin 2x ty t gt vv2.3 轨 道 方 程 22 202 cosgy xtg x v 讨 论 ：1）飞行时间：02 sinT g v3）射程： 20 sin 2s g v2）上升高度：2 20 sin2H g v 参 考 物一 . 速 度 ( ) ( )s s t t s t dds t v0 0 0 d( lim )( lim ) ( lim ) dt t tr s r ss t s t 速 度 矢 量 在 切 线 上 的 投 影0 0lim lim ( ) t tr r st s t v ( )r t ( )r t trP s v Q1Os LO 0 d( lim ) dt r ss t 1-2 切 向 加 速 度 与 法 向 加 速 度 自 然 坐 标 系 二 . 加 速 度 ( ) t ( ) t t dds t v v 22d d d d d d( )d d d d d ds s s a t t t t t t v第 一 项 ： 22dd st方 向 为 a意 义 ：第 二 项 ： d d d ds t t反 映 速 度 大 小 变 化 的 快 慢 ( )n t ( )n t tP ( ) t QL O ( ) t t大 小 为 叫 切 向 加 速 度22dd s t ddt v叫 法 向 加 速 度 na( ) ( ) t t t 0 t n ( ) t / / n 当 时因 而 0 0 1lim lim t t sn n nt s t v0d limd t t t 2d d 1d d ns n n at t vv v法 向 加 速 度 ： 大 小 为 2v 方 向 为 n反 映 速 度 方 向 变 化 的 快 慢意 义 ：加 速 度 2 2 22d d d 1( )d d dtn s sa a n a n n t t v v 曲 率 半 径 ( ) t( ) t t 讨 论在 一 般 情 况 下 2 22d d d d( )d d d d sa nt t t t v vv v其 中 为 曲 率 半 径 ，引 入 曲 率 圆 后 ， 整 条 曲 线 就 可 看 成 是 由 许 多 不 同 曲 率 半径 的 圆 弧 所 构 成 2 2 , tan n n aa a a a na a av PA B n 的 方 向 指 向 曲 率 圆 中 心 三 圆 周 运 动 的 加 速 度 R P xO P0sn atva an 2t n da a a n ndt R v v 2 2tan n tnta a aaa g y v0O x例 1-4: 求 抛 体 运 动 顶 点 的 曲 率 半 径 。抛 物 线 轨 道 的 顶 点 处 ， 速 度 只 有 水 平 分 量 加速 度 g 是 沿 法 向 的 0 cosvna g2 2 2 20 0( cos ) cos 8 m n mxa g y v v 将 一 根 光 滑 的 钢 丝 弯 成 一 个 竖 直 平 面 内 的 曲 线 ， 质 点 可 沿钢 丝 向 下 滑 动 。 已 知 质 点 运 动 的 切 向 加 速 度 为g 为 重 力 加 速 度 ， 为 切 向 与 水 平 方 向 的 夹 角 . sina g 由 题 意 可 知d d d dsind d d d sa gt s t s v v vvd sin dg sv v从 图 中 分 析 看 出sin d ds y 0 0 d dyy g y vv v v 2 20 02 ( )g y y v v dsin dys dy dsPy xO 例 质 点 在 钢 丝 上 各 处 的 运 动 速 度 .求解 1 圆 周 运 动 的 角 量 描 述 角 位 置 ： = (t)角 速 度 : dtdtt lim0角 加 速 度 : dtdt t lim0 R P xO P0s( )ds d R Rdt dt v 2 2nta RRda Rdt vv2 角 量 和 线 量 的 关 系 1-3 圆 周 运 动 的 角 量 描 述 平 面 极 坐 标 系 按 右 手 法 则 确 定 的 正 负 变 化( ) t 0 dlim dt k kt t PQO xd k 一 . 角 位 置 与 角 位 移质 点 作 圆 周 运 动 的 角 速 度 为描 述 质 点 转 动 快 慢 和 方 向 的 物 理 量角 位 置 （ 运 动 学 方 程 ) t 当 为 质 点 圆 周 运 动 的 角 位 移二 . 角 速 度 Po Qd y 1-3 圆 周 运 动 的 角 量 描 述 平 面 极 坐 标 系 : : t t t 2 2d d d dd d d d k kt t t t rO P rO Pd三 . 角 加 速 度角 加 速 度 角 速 度 对 时 间 的 一 阶 导 数角 加 速 度 的 方 向 与 d dd dr r 四 . 角 量 与 线 量 的 关 系 d k vr PO drdd d r k r 的 方 向 相 同 rO P1. 位 移 与 角 位 移 的 矢 量 关 系 式 d d dd d dr k r k r rt t t v rv r 2. 速 度 与 角 速 度 的 矢 量 关 系 式大 小 方 向 (由 右 手 法 则 确 定 ) (标 量 式 )d d( ) d dd d d d r ra r t t t t v a r 2na r v r P vO 3. 加 速 度 与 角 加 速 度 的 矢 量 关 系 式第 一 项 为 切 向 加 速 度第 二 项 为 法 向 加 速 度 r v 例 1-5 有 一 质 点 沿 半 径 为 R=2 (m) 圆 轨 道 作 圆 周 运 动 ， t 时 刻 的角 位 置 （ 弧 度 ） ， 求 t=1(s)时 质 点 的 速 度 和 加 速 度 。20.5 t tdtd dtd 22 2 2 2 22 2 ( / )2 ( / )2 2 ( / )n R t m sa R m sa R t m s v 2 ( / )m s v )/(22 22 smna 解 ： ， ， jtitr )2sin(2)2cos(2 22 2 22 sin( ) 2 cos( )2 2dr t t i t t jdt v 1, 2 (m/s)t i v jttt itttdtvda ) 2cos(2)2sin(2 )2sin(2)2cos(2 2222 2222 2 21, 2 2 ( / )t a i j m s 另 解 ： r ru t一 . 基 本 概 念绝 对 参 照 系 s ， 相 对 参 照 系 s (研 究 对 象 )三 种 运 动 s 系 相 对 于 s 系 的 位 移 ： u t B 点 相 对 于 s 系 的 位 移 ： r B 点 相 对 于 s 系 的 位 移 ： rP绝 对 、 相 对 和 牵 连 运 动二 个 参 照 系 s OOy xs uPA A AP B一 个 动 点 牵 连 位 移 相 对 位 移 绝 对 位 移 r r u t 1 -4 相 对 运 动 二 . 速 度 变 换 定 理 加 速 度 变 换 定 理1 . 速 度 变 换2 . 加 速 度 变 换 xy SO PSO xy rrr0 xy SO P SO xySor r r o v v voa a a 一 个 带 篷 子 的 卡 车 ， 篷 高 为 h=2 m ， 当 它 停 在 马 路 边 时 ，雨 滴 可 落 入 车 内 达 d=1 m ， 而 当 它 以 1 5 km/h 的 速 率 运 动时 ， 雨 滴 恰 好 不 能 落 入 车 中 。 a r e v v varctan 63.4hd h davev rv根 据 速 度 变 换 定 理画 出 矢 量 图 15cos cos 33.5km/h 9.3 m/sea vv ev 例解 雨 滴 的 速 度 矢 量 。求 升 降 机 以 加 速 度 1 .2 2 m/s2 上 升 ， 有 一 螺 母 自 升 降 机 的 天花 板 松 落 ， 天 花 板 与 升 降 机 的 底 板 相 距 2 .7 4 m 。 hOxOx取 螺 母 刚 松 落 为 计 时 零 点 . 三 种 加 速 度 为 : , , ? a e ra gi a ai a , a e r r a ea a a a a a r a ea a a g a 21 2 2 2.74, 0.7 s2 9.80 1.22r hh a t t g a 动 点 为 螺 母 ,取 二 个 坐 标 系 如 图 例解 螺 母 自 天 花 板 落 到 底 板 所 需 的 时 间 .求 a oX Z YoX Z YV0 0 解 ： 根 据 题 义 ： 5 /5 /oo m sm s vv vv0 0 由 几 何 关系 可 得 ： 5 2 /45 m s 方 向 ：v例 1-6、 一 个 人 由 西 向 东 以 速 度 5m/s驾 驶 自 行 车 。当 时 正 在 吹 北 风 ， 风 速 为 5m/s。 试 求 骑 车 人 感 受 到的 风 速 与 风 向 。oo v v v oo v v v 东西 北 南 oov 风 相 对 于 地 面v 人 相 对 于 风v 第 一 章 质 点 运 动 学作 业 ：5， 9， 10， 19， 24， 26