立体几何共线.共点.共面问题

立体几何中的共点、共线、共面问题一、共线问题例 1. 若 ABC 所在的平面和 A1B1C1 所在平面订交，而且直线 AA1、BB1、CC1 相交于一点0,求证：AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内；假如AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别订交，那么交点在同向来线上（如图）.例2.点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQnBC=X,QRQCDZ,PRQBD=Y求证：X、Y、Z三点共线.例3已知 ABC三边所在直线分别与平面a交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。二、共面问题例4直线m、n分别和平行直线a、b、c都订交，交点为A、B、C、D、E、F,如图, 求证：直线 a、b、c、m、n 共面.求证：直线 11, 12, 13, 14在同一平面内例6已知：A1、B1、C1和A2、B2、C2分别是两条异面直线11和12上的随意三点, M7n、RT 分别是 A1A2、B1A2、B1B2、C1C2 的中点求证：M、N、R、T 四点共 面.CNAM例7在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且知足=MB NBAQ CP=kQD PD求证：M、N、P、Q共面.当对角线AC=a,BD=b，且MNPQ是正方形时，求AC、BD所成的角及k的值（用 a,b 表示）三、共点问题例8.三个平面两两订交得三条直线，求证：这三条直线订交于同一点或两两平行 .1、 证明：AA1QBB1=0,AA1、BB1确立平面BAO,A、A1、B、B1 都在平面ABO 内，AB 平面 ABO； A1B1 平面 ABO.同理可证，BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内剖析：欲证两直线的交点在一条直线上，可依据公义2，证明这两条直线分别在两个订交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上 证明：如图，设ABQA1B1=P；ACAA1C1=R； 面 ABCn 面 A1B1C1=PR BC 面 ABC ； B1C1 面 A1B1C1,且 BCnB1C1=Q QePR,即P、R、Q在同向来线上.分析：TA、B、C是不在同向来线上的三点过A、B、C有一个平面又 ABP,且AB同理可证:Ql,Rl点P既在内又在内，设1,则plP,Q,R三点共线.4分析：证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确立一个平面，证明其他的直线在这个平面里；二是分别确立几个平面，而后证明这些平面重合证明ab,过a、b能够确立一个平面aVAea,aa,AAea，同理 Bea.又Aem,Bem,ma.同理可证 n a.bc,过b,c能够确立平面B,同理可证m B平面a、B都经过订交直线b、m,平面a和平面B重合，即直线 a、b、c、m、n共面.1.先证某两线确5、分析：证明几条直线共面的依照是公义3 及推论和公义立平面 a，而后证其他直线也在 a内证明：图中，Iini2=p,11,12确立平面a.又 1ini3=A,12ni3=C,C,AWa.故 13 a.同理 14 a.11, ,112 3 ,14共面.图中，12,13,14的地点关系，同理可证1111,12,13,14 共面.因此结论建立.6、证明 如图，连接MN、NR，则MN11,NR12，且M、N、R不在同向来线上1112与条件矛（不然，依据三线平行公义，知盾）MN、NR可确立平面B,连接B1C2,取此中点S.连RS、ST,则RS12，又RN 二 N、R、S三点共线即 有SN，又ST11, MN11 ,MNST，又STB M、N、R、T四点共面.AMAQ7分析：I= =kMBQDAMkMQBD，且=:A MBk1MQ AM kZ BD AB k 1:.MQ= k BDk1CNCP又 = =kNBPD：PNBD，且CN =kCNNBk 1NP CN kk:= 进而 NP= BDBD CBk 1k1MQNP，MQ，NP 共面，进而 M、N、P、Q 四点共面.BM 1 BN 1(2) = ，二MA k NC kBM BN 1 BMMA NC kBMMA k1MNAC，又 NPBDMN与NP所成的角等于AC与BD所成的角.: MNPQ 是正方形， ZMNP=90AC 与 BD 所成的角为 90，又 AC=a，BD=b，MN=BM=1AC BA k11 MN=ak11又 MQ=b,且 MQ =MN,k1k 1ab=a, 即k=k 1k 1b说明：公义 4 是证明空间两直线平行的基本出发点已知：平面aQ平面B=a,平面BC平面Y=b,平面丫门平面a=c. 求证：a、b、c订交于同一点，或 abc证明：.aQB=a,BQY=ba、bB.a、b订交或ab(1)a、b订交时，不如设aQb=P，即PWa, PWb而 a、bB,aaPWB, Pa，故P为a和B的公共点又Van Y=c 由公义2知Peca、b、c都经过点P,即a、b、c三线共点.(2)当ab时Van Y=c 且 aa,ayac 且 ababc故 a、b、c 两两平行.由此可知 a、b、c 订交于一点或两两平行 .