专升本高等数学课件《内部资料》

高 校 专 升 本 高 等 数 学 辅 导 主 讲 :教 授 高 等 数 学 主 要 内 容 A 三 大 概 念 一 .函 数 ,极 限 ,连 续 ; 二 .导 数 ,微 分 ,偏 导 数 ,全 微 分 三 .积 分专 升 本 B 四 大 运 算一 .求 Lim 1. 2. 洛 必 达 法 则二 .求三 .求 exxx xxx )11(,1sin limlim0, , , , x yy dy Z Z dZ 21, , , , ( , )1ba a Dx dx f x y dx 四 .解 微 分 方 程 C.三 大 应 用一 .导 数 的 应 用1.函 数 单 调 性 、 极 值 ， 曲 线 凹 凸 性 、 拐 点 ， 作 图 .2.应 用 题 .求 Max,Min.3.利 用 中 值 定 理 证 明 等 式 或 不 等 式 .二 .定 积 分 的 应 用 .1.几 何 应 用2.物 理 应 用三 .微 分 方 程 的 简 单 应 用LVS , FW, D.向 量 代 数 与 空 间 解 几 简 介1.空 间 直 角 坐 标 系2.向 量 代 数 初 步3.平 面4.空 间 直 线5.曲 面 与 空 间 曲 线6.二 次 曲 面 多 做 练 习方 可 熟 能 生 巧 善 于 归 纳才 能 灵 活 应 变 第 一 章 函 数 ,极 限 ,连 续一 .函 数(一 )函 数 概 念 1.函 数 定 义 2.函 数 关 系 两 要 素 : (1)对 应 关 系 f; (2)定 义 域 D(f)例 225( ) ln( 41xf x xx ） 求 )( fD )()()(.)()()(. )()()(.)()()(. (),ln)( yfxfyxfDyfxfyxfC yfxfxyfByfxfxyfA xxf 则 Dxxfy ),( 1,1)21 1y xx 21y x 1 1lg2 1 xy x 11 xy x （ 08） 下 列 函 数 中 ， 定 义 域 为的 函 数 是 （ ） （ B） （ C） （ D）（ A）（ 模 C） ( ) 1 cos , ( ) sin 2( ) (.) xf x x xf x 则 (二 )函 数 特 性1.单 调 性2.奇 偶 性3.周 期 性 4.有 界 性 关 于 原 点 对 称定 义 域 为 奇 函 数为 偶 函 数D xfxfxf xfxfxf )()()( )()()( )()( xfTxf BxfA Mxf )()( 或 例 偶 函 数 2)( xx eexf 奇 函 数 xxeexf xxxf 11)( )1ln()( 2周 期 函 数 Txxy 求 周 期, 2cos3sin BxAy )sin( 2( ) ( 1)cosf x x x （ 10） （ 08） 是 （ D ）（ A） （ B） （ C） 单 调 增 函 数 （ D） 奇 函 数偶 函 数 非 单 调 函 数( ), ( ), ( )f x g x x（ 07） 均 为 奇 函 数 ， 则 下 列 为 偶 函 数 的 是 （ ）22( ) 2 , 1 2xf x x e x ( ) ( ) ( )f x g x x( ) ( ) ( )f x g x x ( ) ( ) ( )f x g x x ( ) ( ) ( )f x g x x（ A） （ B）（ C） （ D） 11 ( ) ( )f x f x dx 则 （ .)( ) 1,1f x 在 连 续 ，（ 07） 1( ) .(.(.(f x 在 (0,+ ) 有 界 ， 无 界 ）x在 (0,1 有 界 ， 无 界 ）在 1,+ ) 有 界 ， 无 界 ）eg (三 )反 函 数1.反 函 数 定 义 . 特 点 2.举 例 )11()(,11)1( 1 xxxfxxxf 则 2,0,3,3,3arccos21 ,2cos3 yxxy xy 其 反 函 数 为 的 反 函 数求 )(21 xx aay （ 05） (四 ） 复 合 函 数1.定 义2.分 解 标 准 -分 解 到 每 一 步 都 是 基 本 初 等 函 数 的 和 ,差 ,积 ,商 为 止 .3.复 合 函 数 定 义 域 求 法 的 定 义 域求的 定 义 域 为 )ln11(),1,0)( xfxf 的 定 义 域求的 定 义 域 为 )1 1(,2,0)( 2xfxf 注 意 ： 并 非 任 何 两 个 函 数 都 可 以 复 合无 意 义)4ln(4ln 22 xyxu uy （ 03）（ 07）（ 08） 24 21 1( ) , ( ) 1 2xf x f xx x x 则11 1( ) , ( ) 1 1 2x xf x fx x x 则 11 1( ) , ( ) 1 x xf f xx x x 则 (五 )基 本 初 等 函 数 常 用 的 有 六 类 14个;Cy );( 为 常 数xy )1,0(log);1,0( aaxyaaay ax ,cot,tan,cos,sin xyxyxyxy xy sec xy cscxy arcsin xy arccos xy arctan xarcy cot (六 ） 初 等 函 数 由 基 本 初 等 函 数 （ ） 经过 有 限 次 的 和 ,差 ,积 ,商 运 算 ， （ ） 有 限 次的 复 合 运 算 ， （ ） 且 可 用 一 个 公 式 表 示 的函 数 .非 初 等 函 数 举 例 :2 31 .(2) sin( 1) , 1(3) 11, 1 nxy x x x xy x x xa x xy xe x （ ） 二 .极 限(一 )极 限 定 义Ayxxxn lim 0 XN(二 )性 质单 调 有 界 数 列 必 有 极 限 .夹 逼 定 理3. AxfxfAxf xx )0()0()(lim04.四 则 运 算 ( 有 极 限 ; 有 限 个 ) (三 )求 极 限1.两 个 重 要 极 限 )41(4 )2sin(22lim x xx )()411( 414lim ex xx )21(.)(lim bebt bt tt 则(06) (03) (09) 100 (1 5 ) . (2)lim kxx x e 则 k 0 1 1sin ( )2 2limx xx (10) 2.其 他举 例 mnba mn mnbxbxbxb axaxaxa mnmmmm nnnnx ,0 ,0111 0111lim xx ex x10 sinlim 12 12lim xxx )11()311)(211( 222lim nn 3.罗 必 塔 法 则 0,1 ,0 ,00 00 三 .无 穷 小 .无 穷 大1.定 义 2.性 质 )0,( )()( 0)()( 0)(),(,)( 0)()( ,0)(,0)(),( 0)()( ,0)(,0)(),( 0 0 00lim 0 xx AxfAxf xfx xxxxMxf xx xxxxx xx xxxxxxx当则 当则当则当 例 题 (性 质 ) 0221sin ,01sinlimlim0 20 x xx xxxx 2 tan 01sin 122 2limlimxx are xxx xx 3.无 穷 小 阶 的 比 较 (教 材 P27)设 （ 等 价 ）称 当特 别 ， 是 同 阶 无 穷 小与，称 当 低 阶 的 无 穷 小是 较，称 当 高 阶 的 无 穷 小是 较，称 当 ,1,0,0 0000lim0 xxc xxc xx xxxx 0, ,x x 当 都 是 无 穷 小（ 或 x ) 例 题 (阶 比 较 ) (05) 不 是 无 穷 小）（的 等 价 无 穷 小）（ 的 同 阶 无 穷 小）（的 高 阶 无 穷 小）（ ）是 （则 当都 是 无 穷 小当 DC BA Axxxx ; , 00 2 20, 1 1 sin ,x ax x a 当 求 无 穷 大高 阶 的 无 穷 小比 同 阶 但 非 等 价 的 无 穷 小与等 价 的 无 穷 小 ；与 是当 )(;52 3)( ;52 3)(52 3)( )(21sin,)03( DnC nBnA Bnn 0 x2x cos 1x 1 cos2 x21 1x ( 1)sinxe x（ 07） 当 时 ， 下 列 函 数 中 能 成 为的 等 价 无 穷 小 的 是 （ D ） （ B） （ C） （ D）（ A） 0 x2 2x x与 sin x x与 21 cosx x 与 tan 2x x与（ 09） 当 时 ， 下 列 四 组 函 数 中 为 等 价无 穷 小 的 是 （ B ） （ A） （ B）（ C） （ D） 4.等 价 无 穷 小 代 换 定 理 (教 材 P27）定 理 limlimlimlim lim 0000 0 ,0 xxxxxxxx xxxx则 存 在当 xnxxx xxxe xxxx xxxxx nx 111,21cos1 ,)1ln(,1 ,arctan,arcsin ,tan,sin,0 2 有当结 论 例 题 (等 价 无 穷 小 代 换 ) 21sin sintansin )41ln( sin 23 2 20 30limlimlim x xx xxx xeexx xxx 四 .连 续 与 间 断(一 )连 续1.2.连 续 三 要 素 )()()3( )()2( )()1( 000limlim00 xfxf xfxf xx xx 存 在存 在 3.左 右 连 续 0 0 01. 02. ( ) ( )limlimxx xDefDef f x f xy 00 00( ) ( )( ) ( )limlimx xx x f x f xf x f x 左 连 续右 连 续 (二 )间 断 点 分 类第 一 类 （ 都 存 在 的 间 断 点 ）(1)可 去 间 断 点(2)可 去 间 断 点(3)跳 跃 间 断 点 第 二 类 （ 至 少 一 个 不 存 在 的 间 断 点 ） (4)无 穷 间 断 点(5)振 荡 间 断 点 0 0( 0) ( 0)f x f x ， )0()0( )()0()0( )()0()0( 00 000 000 xfxf xfxfxf xfxfxf 不 存 在；不 定)( )(limlim 00 xf xfxx xx 0 0( 0) ( 0)f x f x ， （ 07） 211( ) , ( )1 xxf x f xe 求 的 间 断 点 并 判 别 其 类 型 。2 2( ) , ( )( 1)x xf x f xx x 求 的 间 断 点 并 判 别 其 类 型 。( ) , tan 4 ( ) xf x xxf x 5, ,4求 的 间 断 点 并 判 别 其 类 型 。（ 模 A） eg (三 )闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质定 理 1定 理 2定 理 3(介 值 定 理 ） （ 教 材 P3132)定 理 4（ 根 值 定 理 ） , max min( ) ( ) , ( )a bf x C f x f x 存 在 , ( ) ( )a bf x C f x 在 a,b有 界 , 0 0( ) , ( ) ( ) ,( , ), ( ) 0a bf x C f a f bx a b f x 与 异 号则 必 使 （ 模 B） 2 1xx 求 证 方 程至 少 有 一 个 小 于 1的 正 根sin ( 0, 0)x a x b a ba b 求 证 方 程至 少 有 一 个 不 超 过 的 正 根eg ( ) 0, , , 1) ( ) ( )1. ( ) 22. ( ) 0 ( , )x xa bf x a bx f t dt dtf tF xF x a b 设 在 连 续令 F(求 证 ：方 程 在 内有 且 仅 有 一 个 实 根 。（ 模 C） 第 二 章 导 数 与 微 分一 .导 数 的 概 念1.定 义2.几 何 意 义3.左 右 导 数4.可 导 与 连 续 的 关 系 0 0 0. ( ) ( ) ( )Th f x x f x f x 在 可 导 存 在连 续在可 导在 00 )()(. xxfxxfTh x xfxxfxf x )()()( 0000 lim 0 00 )()()( lim0 xx xfxfxf xx ( ) 0 ( ). . .f x x xA BC D 在 处 是 ,可 导 但 不 连 续 ; 不 连 续 且 不 可 导 ;连 续 且 可 导 ; 连 续 但 不 可 导（ 10） 函 数 定 义 ， 极 限 ， 连 续 ，可 导 ， 可 微 的 关 系 二 .求 导 数 归 纳2.四 则 运 算3.反 函 数 求 导例 x xfxxfxf x )()()( 0000 lim .)(.)7(.12)2( ,1)()( 3 f yyxxfy 则知 互 为 反 函 数与 0 00 )()()( lim0 xx xfxfxf xx 1.基 本 导 数 公 式 .,)(. )( ye efyf xf x 求可 微 ， （ 04） (06)4.复 合 函 数 求 导 )ln(sin2 xy )(arctancos 4xy 2 2 arccos ,( 0).ay x a a x ax 求 dy .)(,.)( xxnn zybaxfzbaxfy 求(10) ( )(2 ) ln df xf x x dx ， 求 (10)计 算 题 ( ) xf x e x xd dyy f dx dx ， g( )=cos ,g= ( ),求 5.隐 函 数 求 导 显 函 数 - 隐 函 数 - )(xfy 0),( yxF yyyexe xy 求,4 yyyxy .).tan( 求 dxdyyxxy 求.1lnln).06( 02 .sin)ln().07( xdxdyxxyyx 求 yy xe 2 2,dy d ydx dx求 （ 09） 对 数 求 导 法(1) )()( xvxuy 例 xxy xxy sin3cos)2(tan xxy xy yx 5 2 32 ).)(ln(cos )43()12().2( xx xxy 6.参 数 方 程 求 导(1)(2)(3)(4) 222 .arctan)1ln()03( dxyddxdytty tx 求 .sin2 sin2)04( dxdyty tx 求 .)sin1(2 )cos(2)05( dxdyty ttx 求 .01 0)1( dxdyete ttx yy 求 2 1(ln ) .ln tx ty t t t dy求 dx(6)（ 09） 0 (1 sin ) .cosxy dy求 dx(5)（ 08） 7.高 阶 导 数例 )(.,11 nyxy 求 )(.),1ln( nyxy 求 (10)(05) (0).(07). .(09) ( )f y f x 求 求 求 )(2 .1071 nyxxy 求 )(., nx yxey 求 ).1()07( f求 例 (高 阶 导 数 ) )(.,sin nyxy 求 )(.,cos nyxy 求 )2sin()(sin )( nxx n )2cos()(cos )( nxx n 8.分 断 函 数 求 导 0 0000 0 000 0 ),( ,),()(),(, ),()( ,),()(, ),()( xxxg xxxxxxfxxxg xxA xxxxf xxxxxxfxxA xxxxf 从 定 义 求 之从 定 义 求 之 例 题 (分 断 函 数 求 导 ) 0),21ln(31 0,32sin)( /1 xxxxxf x 讨 论 在 的 连 续 性 ； 讨 论 在 的 可 导 性 ； 求 )(xf )(xf 0 x 0 x)(xf 9.从 定 义 求 导定 义 x xfxxfxf x )()()( 0000 lim 0 00 )()()( lim 0 xx xfxfxf xx 例 题 (从 定 义 求 导 ) (05) )12.()32()2(3)2(lim0 x xfxffx (.)sinh )1()31( (.)1()21()1(limlim00 fhf h fhf afhh (10) 10 ( )( ) 1 , 1(1 2 ) (1) .2lim xx df xf x x dxf x fx 在 处 可 导则( ) tanf x x 4 ( ) 1lim 4x f xx （ .)A 12 B 22 C 2 D 则 2（ 模 B） 三 .微 分(一 )概 念1.定 义2.几 何 意 义3.微 分 两 个 特 性4.微 分 形 式 的 不 变 性(二 )计 算1.公 式2.四 则 运 算 第 三 章 中 值 定 理 .导 数 应 用一 .中 值 定 理(一 ) Rolle Th 若 )()()3( ),()()2( )()1( , bfaf baxf Cxf ba 可 导在 0)( ),( f ba则 至 少使 作 为 安 全 防 范 技 术 专 业 的 大 学 生 ， 进 行 安 全 防 范 技 术 专 业 相 关 的 岗 位 实 习 是很 重 要 的 ， 以 下 是 安 防 ， 欢 迎 阅 读 ！ 安 防 实 习 周 记 一 第 1周 作 为 安 全 防 范技 术 专 业 的 大 学 生 ， 我 很 荣 幸 能 够 进 入 安 全 防 范 技 术 专 业 相 关 的 岗 位 实 习 。 相 信每 个 人 都 有 第 一 天 上 班 的 经 历 ， 也 会 对 第 一 天 上 班 有 着 深 刻 的 感 受 及 。 尤 其 是 从未 有 过 工 作 经 历 的 职 场 大 学 们 。 头 几 天 实 习 ， 心 情 自 然 是 激 动 而 又 紧 张 的 ，激 动 是 觉 得 自 己 终 于 有 机 会 进 入 职 场 工 作 ， 紧 张 是 因 为 要 面 对 一 个 完 全 陌 生 的 职场 环 境 。 刚 开 始 ， 岗 位 实 习 不 用 做 太 多 的 工 作 ， 基 本 都 是 在 熟 悉 新 工 作 的 环 境 ，单 位 内 部 文 化 ， 以 及 工 作 中 日 常 所 需 要 知 道 的 一 些 事 物 等 。 对 于 这 个 职 位 的 一 切还 很 陌 生 ， 但 是 学 会 快 速 适 应 陌 生 的 环 境 ， 是 一 种 锻 炼 自 我 的 过 程 ， 是 我 第 一 件要 学 的 技 能 。 这 次 实 习 为 以 后 步 入 职 场 打 下 基 础 。 第 一 周 领 导 让 我 和 办 公 室 的 其他 职 员 相 互 认 识 了 一 下 ， 并 给 我 分 配 了 一 个 师 父 ， 我 以 后 在 这 里 的 实 习 遇 到 的 问题 和 困 难 都 可 以 找 他 帮 忙 。 一 周 的 时 间 很 快 就 过 去 了 ， 原 以 为 实 习 的 日 子 会比 较 枯 燥 的 ， 不 过 老 实 说 第 一 周 的 实 习 还 是 比 较 轻 松 愉 快 的 ， 嘿 嘿 ， 俗 话 说 万 事开 头 难 ， 我 已 经 迈 出 了 第 一 步 了 ， 在 接 下 去 的 日 子 里 我 会 继 续 努 力 的 。 生 活 并 不简 单 ， 我 们 要 勇 往 注 意 :(1)条 件 是 充 分 条 件 ; (2)条 件 不 成 立 ,结 论 未 必 成 立 .例 不 求 的 导 数 , 验 证 必 有 根 )23()( 2 xxxxf 0)( xf 4,0 x 3 2)2()( xxf验 证对 的 正 确 性Rolle Th 不 求 的 导 数 , 说 明 有 几 个 实 根 ,并 指 出 根 所 在 区 间 . )3)(2)(1()( xxxxxf 0)( xf , ( ) , ( ) ( , ) ( ) ( ),( , ) ( )a bf x C f x a b f a f ba b y f x x 设 在 可 导 ,则 在 内 ， 曲 线 上 平 行 轴 的 切 线 （ .）A.至 少 有 一 条 ； B.仅 有 一 条 ；C.不 一 定 存 在 ； D.不 存 在 (10) (二 )Lagrange Th若 可 导在 ),()()2( )()1( , baxf Cxf ba则 至 少 )()()( ),( f ab afbf ba 使 推 论 :若 在 则 在 Cxfba xfba )().,( 0)().,(例 题 (Lagrange Th) 证 明 : ln(1 ) ,( 0) 1 x x x xx 例 题 (Lagrange Th) 验 证 在 对 Lagrange Th 的 正 确 性 ; 验 证 在 对Lagrange Th 的 正 确 性 ; 证 明 :对 ,恒 有 xxf arctan)( 1,0 xxf ln)( ,1 eyx yxyx sinsin 证 明 :当 恒 有 ,1x 2arccosarcsin xx (三 )Cauchy Th若 0)(,)(),()2( )(),()1( , xgxgxf Cxgxf ba )( )()()( )()( ),( gfagbg afbf ba 则 至 少使 二 .洛 必 达 法 则定 理 :若 则 )()( )()3( 0)(.).().()2( ).( .00)( )(,)1( lim 0 0 Axg xf xgxgxfx xg xfxx xx 有当 )()( )()( )( limlim 00 Axg xfxg xf xxxx 洛 必 达 法 则 几 种 形 式 0 0 0 , ,00 , , , ,1 0 例 题 (洛 必 达 法 则 ) x xxx x xee xx xxx lncotln )2( )ln(sincos1 2limlimlim 0 22/0 )111(lim 0 xx ex )ln11( )1( )sin(limlimlimlim 1 )1ln( 10 tan0 cos1 10 xxxxx x x x ex xx xx x 注 意(1)只 有 ,才 可 考 虑 用 Th(2)每 次 用 Th后 ,必 须 化 简 不 能 断 定 不 存 在 , . 只 能 说 明 Th失 效 .00 )()( )(lim 0 Axg xfxx )( )(lim0 xg xfxx x xee ee xx xxxxx xxx xxx xx 220 1. sinsin,.sin 1sin limlim limlim （ 4） 还 原 例 子 例 题 (洛 必 达 法 则 ) 7 51 66.4 1 521 21limlim a xaxx ba bxaxxxx则则 （ 03） 三 .单 调 性 .极 值 .凹 凸 .拐 点 .作 图(一 )单 调 性Def1Th1 ).().,(0)().,( ).().,(0)().,( ),()(.)( , xfbaxfba xfbaxfba baxfCxf ba 在在 在在 可 导在 例 题 (单 调 性 ) 0.1. 23)( 1)2(.2)1( 31292)( 32 23 xx xxxf ff xxxxf 不 可 导 点驻 点 2 2(04) 2. 01 12 . (1) 2(06) ln( 1( , )y x x fy x x 的 单 调 区 间 和 极 值 。（ ， ） （ ， ） 大 )的 单 调增 区 间 为 2. (1) (0) (1) (0);. (1) (0) (1) (0);. (1) (1) (0) (0);(1) (0) (0) (1);d fdxA f f f fB f f f fC f f f fDf f f f 2设 f(x)在 0,1有 0，则 成 立 （ .） (10) 讨 论 单 调 性 ,极 值 步 骤1.求2.求 驻 点 与 不 可 导 点3.由 两 种 点 分 D(f)为 若 干 区 间 , 由 Th判 别 单 调 性 ,极 值 .)(xf 例 题 (单 调 性 证 明 不 等 式 ) )0.(2)1ln()06( )0.(1)1ln(1 )0.(1 )0.(132 2 22 xxxx xxxxx xxe xxxx求 证 ：求 证 ：求 证 ：求 证 ： (二 )极 值Def2. 定 义 在 极 小极 大则有 则有 yxfxfxf yxfxfxf )(.).()( )(.).()( 00 00)(xf ),().,( 00 xNxxN 极 小 点极 大 点极 值 点极 小 值极 大 值极 值 00 .)( xxf 在 例 题 (极 值 ) 0.1. 23)( 1)2(.2)1( 31292)( 32 23 xx xxxf ff xxxxf 不 可 导 点驻 点 求 极 值求 极 值 求 极 值 3.1 593)( 23 xx xxxxf驻 点 极 值 判 别 法 ),( 0 xN 在 可 导)(xf 在 连 续 .0 x 极 小极 大则则 yxfxf yxfxf xxxxx )(.).( )(.).( . 00000 Th2 极 值 判 别 法 Th3 1. ,0)()3( )(0)()2( )(0)()1( 0)(.0)( ).().(.).,().( 0 00 00 00 0改 用 判 别 法 不 能 判 别 ， 极 大极 小 xf yxfxf yxfxf xfxf xfxfxNxf 极 值 存 在 的 必 要 条 件 （ 费 马 定 理 ）Th4 0)( ).(.)( 0 00 xf xfxf 为 极 值 极 值 点 可 从 驻 点 与 不 可 导 点 找1.可 导 函 数 的 极 值 点 驻 点2.不 可 导 点 （ 临 界 点 ） 也 可 能 取 得 极 值 举 例 3/23 3 2)()4( )()3( )()2( )().1( xxf xxf xxf xxf 驻 点 取 得 极 值驻 点 不 取 得 极 值不 可 导 点 不 取 得 极 值不 可 导 点 取 得 极 值 (三 )最 大 值 .最 小 值1.一 般 情 况 只 有 一 个 极 大 (小 )值 而 无 极 小 (大 )值 则 (min)maxyy （ 极 小 ）极 大)(xfy )(),(),(),(min )(),(),(),(max bfafxfxfm bfafxfxfM 不驻 不驻 例 题 (最 大 值 .最 小 值 ) 52)2(.52)2(.21)1(.21)1( ,.2,2.1)().07( minmax2 ffff yyxxxf 3.0. 2.1 .)()06( 23 bax bxaxxxf求 取 极 值在 例 题 (最 大 值 .最 小 值 ) 无 盖 圆 柱 形 水 池 ,体 积 定 值 V,底 造 价 是 侧 面 造 价 的 2倍 . 问 :半 径 r=? 高 度 h=? 用 费 最 省 ? (四 )凹 凸 .拐 点1.凹 凸 定 义2.凹 凸 判 别3.拐 点 判 别4.两 种 特 殊 情 况 讨 论 曲 线 凹 凸 与 拐 点 步 骤1.求2.求 使 与 不 存 在的 点3.由 两 种 点 分 D(f)为 若 干 区 间 , 由 Th判 别 曲 线 凹 凸 与 拐 点 .( ) 0f x ( )f x ( )f x( )f x 3 23(1 3)y x x 曲 线 -x的 拐 点 坐 标 为，（ 10） 3 2, , (1,3):3 9( , )2 2a b Pl y ax bxa b 为 何 值 为曲 线 的 拐 点 。egeg 3 2(0,1)Py ax bx 为 曲 线 +c 的 拐 点 。 则 （ B ）(A)a=1,b=-3,c=1 (B)a任 意 ,b=0,c=1(C)a=1,b=0,c任 意 (D)a,b任 意 ,c=1 (五 )渐 近 线 .作 图1.水 平 渐 近 线2.垂 直 渐 近 线3.作 图 步 骤 (1)求 D(f),Z(f)(2)奇 偶 性 、 周 期 性(3)单 调 性 、 极 值(4)凹 凸 性 、 拐 点 2)1( 12 xxy例 3.作 图 步 骤 (5)渐 近 线(6)特 殊 点(7)描 图 第 四 章 不 定 积 分 4.1概 念 .性 质 4.2换 元 积 分 法 4.3分 部 积 分 法 4.4几 种 特 殊 类 型 函 数 的 积 分 4.1概 念 .性 质一 .原 函 数 Def1 若 .)()( .)()( 的 全 体 原 函 数表 示则 上 的 一 个 原 函 数在是 xfCxF IxfxF 说 明 :1.2. .)()( ).()( 上 的 一 个 原 函 数在是 IxfxF IxxfxF CxFxG IxfxGxF )()( .)()()(则 上 的 原 函 数在都 是与则 称 二 .不 定 积 分 .)()( ,.)( )( CxFdxxf cxF xf 记 为称 为 不 定 积 分的 原 函 数 全 体不 定 积 分 的 几 何 意 义 表 示 积 分 曲 线 族表 示 一 条 积 分 曲 线 CxFy xFy )( )(Def2 1ln 1 lnx xdx x cx 注 意 ：03 ln(4 ) (.)1 1 1 1. . . . . . .4 4y xA B C Dx x x x（ ） 是 的 原 函 数 。三 .基 本 积 分 公 式 P88 2 2 2 209 arctan (.)1 2 2.arctan . . . . . .1 1 (1 )y x x xA x B C Dx x x （ ） 是 f(x)的 一 个 原 函 数 ,则 f(x)的 导 函 数 为 .arctan(.)y x（ 10） 是 f(x)的一 个 原 函 数 ,则 f(x)= . 2 22 222 207 ). . .2 .2(1 2 ) . .2(1 )x xx xCAxe B x eC x e D x e 2x（ ） f(x)的 一 个 原 函 数 是 e ,则 f(x)=( . 四 .不 定 积 分 的 性 质1.2.3.4. dxxfkdxxkf dxxgdxxfdxxgxf CxFxdFCxFdxxF dxxfdxxfdxfdxxf )()( )()()()( )()(.)()( )()().()( 例 题 dxxx xdxxx dxe dxx xxx xxx )1( 311 )3(52 22 224 433 dxxx dxxx xdxxdxx 22 2222 sincos 1 sincos 2cos2costan 4.2换 元 积 分 法换 元 积 分 法 CxFxdxf CxFdxxxf xu CuFduuf )()()( )()()( )( )()( 即则 具 有 连 续 导 数设特 点 ux ux 新旧令 )(Th (一 )凑 微 分 举 例1.形 如 Cx xdxdxxx 1)( )()()()( 1 dx xconxdxxx dxbaxdxxx 56 1002 sin).4.(cossin)3( )().2.(8)1( 凑 微 分 举 例2. Cxxxddxxx )(ln)( )()( )( dxxx xxxxdxxdx dxxxxdxdxxx dx dxxxxdxdxx x cotcsc )cot(csccsccsc).6.(tan).3( .2cos2sin2 1csc).5.()1(ln)2( sinsincsc).4.(3)1( 25 4 凑 微 分 举 例3. Caaxdadxxa xxx ln)()( )()()( dxxdxxe xdexdxe xxx xx )52(3)3.()2( tansec)1( 5tan2tan 2 凑 微 分 举 例4. )()(cos)()(cos )()(sin)()(sin xdxdxxx xdxdxxx dxxxx dxxdxx x 2323 4)(sec)sintan()3( )2(sin)2.()cos(ln)1( 凑 微 分 举 例5. )()(csc)()(csc )()(sec)()(sec 22 22 xdxdxxx xdxdxxx dxxx dxx x 3/232 22 )(sec)2( .1 )(arctancsc)1( 凑 微 分 举 例6. )(1 )()(1 )( )(1 )()(1 )( 22 22 xxddxxx xxdxdxx 222 22 2 2 1(1) .(2) 94 1 1 .( 0)ln.ln5 4 ( 1)( 4)1(3) ( 2) .( 0) ( 2)1 1 .( 0)arctan2 5 4 ( 1)dx dxxx dx dxx x x xdx x dxx dx dxx x x 幂 函 数 (二 )特 殊 三 角 函 数 积 分 举 例2 2 2 22 1.2. sin cos . , 3. sin cos4. tan sec . cot sc 5. sec . csc . 6. tan . m nm nm n m nm nmx xdx m nx xdxx xdx x c xdxm nxdx xdxxdx 积 化 和 差 之 一 为 正 奇 数为 正 奇 数 或 为 正 偶 数 可 积 递 推 换 元 积 分 法 Th CxFdxxf txxt ttx CtFdtttf )()( .)(.)( .0)(.)()2( )()()()1( 11 则 的 反 函 数是 具 有 连 续 导 数设特 点 ux ux 新旧令 )(tx tx 新旧令 )( 类 型1.三 角 置 换 22 22 22 ax xa xa tax tax tax sectansin令令令 .41)4.(41)3( .94 1)2).(0.()1( 222 222 dxxdxxx dxxadxxa 类 型2.含 cbxax 2 2 ,.ax bx c 先 对 配 方再 三 角 置 换 dxxdxxx dxxdxxx dxx xdxxx x 22 22 22 )1(4 123 1)3( 3)3( 1661)2( 4)1( )1(352 )1(3)1( 类 型3. nn nn tdcx baxtbax dcx baxbax . .则 令被 积 函 数 含 ).()1(6)1()2( )2,2.(1321)1( 6623 53 3323 txtxdttt txx dx txtxdxttxdx 则令 则令 类 型 3(续 ) )1ln(,1 )1(21)6( .)5( ).(121)4( )3( 22 22 324 txte tt tdtedx dtxa xadxxa xa txtdttxxdxx xxdx x x 则令 令 4.3分 部 积 分 法 重 点 每 年 必 考 ！设 vduuvudv dxuvuvdxvu xvvxuu 有 连 续 导 数).().( 类 型一 . xdx dxx dxxbxdxe bxdxe bxdxxbxdxx dxexbxdxx xx bx3sec .)sin(ln .)cos(ln.sin .cos .arctan.ln .cos 二 .三 . (分 部 2次 ,要 移 项 ) 例 题 (分 部 积 分 法 )2 3(1) cos2 .(2) .(3) .(4) arctan3 .(5) ln .(6) cos2 .xx xx xdx xe dxx e dx xdxx xdx e xdx 例 题 (分 部 积 分 法 ) .).(arctanarctan)10.( ).()9( )tan.(.)1(arctan)8( .1arcsin2)(arcsin)(arcsin)7( 322 2223 xxx xx ededxe e txdxe txdxxx x dxx xxxxdxx 2 22 22 22 2)( ). (2 1) .( ).(2 1)( ).(2 1) .( ). (2 1)x xx xA x e C B x e CC x e C D x e C 2-x(11) f(x)的 一 个 原 函 数 是 e ,则 xf(x)dx=(A .( ) ( ) .( ) ( ) ( ) .( ) ( ) ( ) .( ) ( ) ( )A xf x C B f x f x CC xf x f x C D xf x f x C (12) xf (x)dx=(C) 4.4几 种 特 殊 类 型 函 数 的 积 分一 .有 理 函 数 积 分 （ 了 解 ）1.有 理 真 分 式 的 分 解 1312)1)(1( 12)2( 362565 3)1( 2222 xx xxxxx xx xxxx x2.待 定 系 数 (1)比 较 法 ； （ 2） 代 入 法 例 3,有 理 真 分 式 的 积 分 .)arctan.).(ln0.()3( .1.(1)()()2( .)ln.(.ln)1( 2 1 dxqpxx BAx nCnaxAdxax A CaxAdxax A nn 幂 函 数 ）例 dx xx x 52 532 二 .三 角 函 数 有 理 式 的 积 分1.万 能 置 换 .2tan tx 令 则 dttdx ttx ttx ttx 2 22221 211cos 1 2sin 1 2tan 例 题 (万 能 置 换 ) xba dxxba dx tdtxdx tt dtxx dx sin.cos)3( 2cos31)2( 244 23cossin2)1( 2 2 2.凑 微 分 2 2 2 2 2 22 2 22 (1) . 4sin 9cos sin cos(2) 2 3cos. . cos sin(3) (sin cos )dx dxx x a x b xdx xdx dxa b x a b xdxx x 三 .简 单 无 理 函 数 的 积 分 ).(6)2( )1,1.(11 11)1( 6623 53 2 txtxdttt txxdx txtxdxxx 则令 则令 第 五 章 定 积 分 5.1定 积 分 的 概 念 5.2定 积 分 的 性 质 5.3微 积 分 的 基 本 公 式 5.4定 积 分 的 换 元 积 分 法 5.5定 积 分 的 分 部 积 分 法 5.6广 义 积 分 5.1定 积 分 的 概 念一 .引 例 1.曲 边 梯 形 面 积2.变 速 直 线 运 动 的 路 程二 .定 积 分 的 Def注 (1)2个 有 关 ; (2) 3个 无 关 ; (3) . 0max nx 注 (4)充 分 条 件 可 积有 限 个 间 断 点 ， 则有 界 ， 且 只 有在 可 积)(,)(.2 )()(.1 , xfbaxfTh xfCxfTh ba 三 .几 何 意 义 ba Sdxxf 曲 边 梯 形)( 5.2定 积 分 的 性 质 dxxgdxxfxgxfba abdxxfba fdxfdxdxfbca dxxfkdxxkf dxxgdxxfdxxgxf bababaca bcba baba ba baba )()(),()(,)5( 1,1)(.,)4( .)3( )()()2( )()()()()1( 则在 则在 5.2定 积 分 的 性 质 , (6) . , , max ( ). min ( ). ( ) ( ) ( )(7) . ( ). , .( ) ( )( ).( )ba a bba a b M f x m f xm b a f x dx M b af x Ca bf x dx f b a a b 估 值 定 理在则 积 分 中 值 定 理则 至 少 一 使 得 例 题 (概 念 .性 质 )1.比 较 大 小 . 2.估 值 .1 12 30 02 2 21 1 1 10 03 3 2(1) .(2) ln . (ln )(3) . ln(1 )(4) ln . (ln )e ex dx x dxxdx x dxxdx x dxxdx x dx dxx dxxx edxe x 21 2331 2121 )1()3( arctan)2( .2,2.)04)(1( 2 5.3微 积 分 的 基 本 公 式一 .变 上 限 积 分二 .牛 顿 -莱 布 尼 兹 公 式 ba ba abxFaFbFdxxf xfxF CxfTh )()()()( .)()()2( )()1.(2 ,则 一 个 原 函 数是 , 1. ( ). ( ) ( ) ( )a bxaTh f x Cdx f t dt f xdx 则 0 400 sin 3 0 0 (tan sin ) 1(1)(03) ( )8(tan sin )(2) ln (3) ( 0),limlim x xx x xx ea t t dtxt t dtt dtt dy y dt at dx 求 32 2205 ( )3( ). (2). .3 (2). . (6). .3 (6)08 ( )3( ). (2). .2 (2). . (4). .2 (4) x x ty f dtDA f B f C f D f ty f dtD A f B f C f D f (4)（ ） f(u)为 连 续 函 数 ,在 x=6的 导 数 为 .(5)（ ） f(u)为 连 续 函 数 ,在 x=6的 导 数 为 . 5.4定 积 分 的 换 元 积 分 法 , ( )(2) ( ) , ( ), ( )( ) , ( )( ) ( ) ( )a b ba f x Cx t tt a t ba bf x dx f t t dt Th 设 (1)在 上 单 调 ， 连 续(3) 当 有且则 注 意 ：1换 元 法 实 质 ： 换 元 同 时 换 限 （ 切 记 ）2遇 到 被 积 函 数 含 有 偶 次 根 式 ， 注 意 取 算 术 根 13/48 30 3 50 /2 20 (1)(05) 1 ln41 1(2) 3ln31(3) sin sin 4/51 (4) sin sin 4 dxxdx xx xdx x x dx 22 051 5 232ln2 ,0 1 5(5)(06) ( ) , ( ) 3 61,1 22 , 0(6) ( ) , ( 1)2 1, 07 (2 1) , ( ) 2 (8) ,1x xtx x xf x f x dxx xx xf x f x dxxe xf x xe f t dt edt xe 求求（ ） (04) 求求 结 论 0 0 02 ( ) , ( )( ) 0, ( ). ( ) 3, ( ) 1( ) . aaa a a aa f x dx f xf x dx f xeg f x dx f x a dxf x dx 为 偶 函 数为 奇 函 数已 知则 5.5定 积 分 的 分 部 积 分 法( ). ( ). b bb aa au u x v v xudv uv vdu 有 连 续 导 数 41 11 ln(1)(2) ln(3) sin(ln )eee xdxxxdxx dx 5.6广 义 积 分 （ 也 称 反 常 积 分 ）一 .积 分 区 间 为 无 穷 的 广 义 积 分二 .被 积 函 数 含 无 穷 间 断 点 的 广 义 积 分 2 2 20 012 21 1 00 1 (1) .(5)12 1(2) .(6)1 1 1(3) .(7) ( 0)(4) sin .(8) 1 a bp p dx dxx a xxdx dxx xdx dx bx xdx x xdx x x 讨 论 讨 论 第 五 章 定 积 分 5.7定 积 分 的 元 素 法 5.8平 面 图 形 的 面 积 5.9体 积 5.10平 面 曲 线 的 弧 长 5.11定 积 分 的 物 理 应 用 定 积 分 的 几 何 应 用 5.7 5.8 5.9 5.10(一 )一 个 量 Q可 用 定 积 分 计 算 的 条 件(1)Q是 a,b上 的 定 量(2)Q对 a,b具 有 可 加 性 (3)x,x+dx上 部 分 量 可 近 似 表 为 ni iQQ 1iQ iii xfQ )(简 记 为 dQdxxfQ )( (二 )元 素 法 步 骤(1)建 立 坐 标 系 ,确 定 积 分 变 量 (2)求 上 部 分 量 的 近 似 值(3)定 限 积 分 求 总 量 QdQdxxfQ )(, bax , badxxx ba dxxfQ )( 定 积 分 的 几 何 应 用一 .平 面 图 形 的 面 积二 .体 积三 .平 面 曲 线 的 弧 长 (模 A)29.求 由 曲 线 与 直 线 所 围 成 的 平 面 图 形 的 面 积 ； 且 求 上 述 平面 图 形 绕 轴 旋 转 一 周 所 得 旋 转 体 的 体积 。 y x .y x.x 2y (eg).求 由 曲 线 与 它 的 过 原 点 的 一 条切 线 及 轴 所 围 成 的 平 面 图 形 的 面 积 ；且 求 上 述 平 面 图 形 绕 轴 旋 转 一 周 所 得旋 转 体 的 体 积 。 xy ey x 2 1, 2 6 2xeS V e 5 17 , 6 6xS V (03).(1)求 曲 线 在 点 的 切 线 方 程 ；（ 2） 由 曲 线 、 切 线 及 轴 所 围 成 的 平 面 图形 的 面 积 ；（ 3） 求 上 述 平 面 图 形 绕 轴 旋 转 一 周 所 得 旋 转 体 的 体 积 。 2x y (1,1).x .x(eg).求 正 劈 锥 的 体 积 。 1(1) 2 1 0;(2) ,(3) 3 6 xx y S V 定 积 分 的 物 理 应 用 5.11一 .变 力 作 功二 .液 体 静 压 力 第 七 章 .向 量 代 数 与 空 间 解 几 （ 不 考 ） 7.1 空 间 直 角 坐 标 系 .一 .空 间 直 角 坐 标 系 .1.Def ZZYYXX坐 标 轴 面面面坐 标 面 YOZXOZXOY 八 个 挂 限 ,点 的 坐 标 符 号 1(+,+,+) 2(-,+,+) 3(-,-,+) 4(+,-,+) 5(+,+,-) 6(-,+,-) 7(-,-,-) 8(+,-,-)2.空 间 中 点 的 坐 标 ),( zyxM 有 序 数 组空 间 点 11 二 .空 间 两 点 间 的 距 离设 点则 212212212 )()()( zzyyxxAB ).,().,( 222111 zyxBzyxA 7.2向 量 代 数一 .向 量 概 念与 同 方 向 的 单 位 向 量二 .向 量 加 法 aaa 0a ba 平 行 四 边 形 法 则 三 角 形 法 则三 .数 乘 向 量 a 7.2向 量 代 数四 .向 量 在 坐 标 轴 上 的 投 影1.两 向 量 夹 角2.向 量 在 轴 上 的 投 影( ) cos uAB AB ( , ).(0 )a b 7.2向 量 代 数五 .向 量 分 解 .向 量 坐 标 .向 量 的 模 .方 向 余 弦 点 向 径 坐 标 表 达 式 分 量 表 达 式 MO ( , , )( ) , , M x y zr M OMOM x y zOM xi yj zk 7.2向 量 代 数五 .向 量 分 解 .向 量 坐 标 .向 量 的 模 .方 向 余 弦 点 向 量 坐 标 表 达 式 分 量 表 达 式 1 1 1 1 2 2 2 21 2 1 2 2 1 2 1 2 11 2 2 1 2 1 2 1( , , ). ( , , ).( ),( ),( )( ) ( ) ( )M x y z M x y zM MM M x x y y z zM M x x i y y j z z k 向 量 的 模 222 , zyxa zyxa 7.2向 量 代 数五 .向 量 分 解 .向 量 坐 标 .向 量 的 模 .方 向 余 弦 向 量 的 方 向 余 弦 azayaxcoscoscos coscoscosx a