渐开线与摆线

四 渐 开 线 与 摆 线参 数 方 程 中 曲 线 欣 赏 -渐 开 线 与 摆 线教 学 目 标 :1.了 解 圆 的 渐 开 线 的 参 数 方 程2.了 解 摆 线 的 生 成 过 程 及 它 的 参 数 方 程3.学 习 用 向 量 知 识 推 导 运 动 轨 迹 曲 线 的 方 法 和 步 骤 1、 渐 开 线 的 定 义探 究 ： 把 一 条 没 有 弹 性 的 细 绳 绕 在 一 个 圆 盘 上 ， 在 绳 的外 端 系 上 一 支 铅 笔 ， 将 绳 子 拉 紧 ， 保 持 绳 子 与 圆 相 切而 逐 渐 展 开 ， 那 么 铅 笔 会 画 出 一 条 曲 线 。 这 条 曲 线 的 形 状 怎 样 ？ 能 否 求 出 它 的 轨 迹 方 程 ？动 点 （ 笔 尖 ） 满 足 什 么 几 何 条 件 ？ AB MO设 开 始 时 绳 子 外 端 （ 笔 尖 ） 位 于 点 A， 当 外 端 展 开 到 点 M时 ， 因 为 绳 子 对 圆 心 角 的 一 段 弧 AB，展 开 后 成 为 切 线 ， 所 以 切 线 BM的 长 就 是 AB的 长 ，这 是 动 点 （ 笔 尖 ） 满 足 的 几 何 条 件 。我 们 把 笔 尖 画 出 的 曲 线 叫 做 圆 的 渐 开 线 ，相 应 的 定 圆 叫 做 渐 开 线 的 基 圆 。 AB MO xy2、 渐 开 线 的 参 数 方 程 以 基 圆 圆 心 O为 原 点 ， 直 线 OA为 x轴 ， 建 立 平 面直 角 坐 标 系 。设 基 圆 的 半 径 为 r， 绳 子 外 端 M的 坐 标 为 （ x， y） 。显 然 ， 点 M由 角 唯 一 确 定 。 B 取 为 参 数 ， 则 点 的 坐 标 为 （ rcos ,rsin ） ,从 而( cos , sin ),| | .BM x r y r BM r 1 (cos ,sin )e OB 由 于 向 量 是 与 同 方 向 的 单 位 向 量 ，2 (sin , cos )e BM 因 而 向 量 是 与 向 量 同 方 向 的 单 位 向 量 。2| | ( ) ,BM r e 所 以 即| | ( cos , sin ) (sin , cos )BM x r y r r (cos sin ) ( )(sin cos )x ry r 解 得 是 参 数 。这 就 是 圆 的 渐 开 线 的 参 数 方 程 。 3、 渐 开 线 的 参 数 方 程 AB MO xy(cos sin ) ( )(sin cos )x ry r 是 参 数 。渐 开 线 的 应 用 ：由 于 渐 开 线 齿 行 的 齿 轮 磨 损 少 ， 传 动 平 稳 ， 制 造 安 装 较 为 方 便 ，因 此 大 多 数 齿 轮 采 用 这 种 齿 形 。设 计 加 工 这 种 齿 轮 ， 需 要 借 助 圆 的 渐 开 线 方 程 。 在 机 械 工 业 中 ， 广 泛 地 使 用 齿 轮 传 递 动 力 。 4、 摆 线 的 定 义思 考 ： P43 如 果 在 自 行 车 的 轮 子 上 喷 一 个 白 色 印 记 ， 那 么 自 行 车 在 笔 直的 道 路 上 行 使 时 ， 白 色 印 记 会 画 出 什 么 样 的 曲 线 ？同 样 地 ， 我 们 先 分 析 圆 在 滚 动 过 程 中 ， 圆 周 上 的 这 个 动 点 满 足 的 几 何 条 件 。 我 们 把 点 M的 轨 迹 叫 做 平 摆 线 ， 简 称 摆 线 ， 又 叫 旋 轮 线 。 上 述 问 题 抽 象 成 数 学 问 题 就 是 ： 当 一 个 圆 沿 着 一 条 定 直 线 无 滑 动 地 滚 动 时 ， 圆 周上 一 个 定 点 的 轨 迹 是 什 么 ？ O ABM OA MA OA r线 段 的 长 等 于 的 长 ， 即 。 摆 线 在 它 与 定 直 线的 两 个 相 邻 交 点 之 间的 部 分 叫 做 一 个 拱 。 xyO D A EBM C5、 摆 线 的 参 数 方 程O ABM 根 据 点 M满 足 的 几 何 条 件 ， 我 们 取 定 直 线 为 X轴 ， 定 点 M滚 动 时 落 在 定直 线 上 的 一 个 位 置 为 原 点 ， 建 立 直 角 坐 标 系 。 设 圆 的 半 径 为 r。M x A B设 开 始 时 定 点 在 原 点 ， 圆 滚 动 了 角 后 与 轴 相 切 于 点 ， 圆 心 在 点 。M AB x C D从 点 分 别 做 ， 轴 的 垂 线 ， 垂 足 分 别 是 ， 。( , ),M x y M设 点 的 坐 标 为 取 为 参 数 ， 根 据 点 满 足 的 几 何 条 件 ， 有sin ,x OD OA DA OA MC r r cos .y DM AC AB CB r r 所 以 ， 摆 线 的 参 数 方 程 为 ：( sin ),( )(1 cos ).x ry r 为 参 数 xyO D A EBM C6、 摆 线 的 参 数 方 程O ABM ( sin ),( )(1 cos ).x ry r 为 参 数摆 线 的 参 数 方 程 为 ：思 考 ： P44 在 摆 线 的 参 数 方 程 中 ， 参 数 的 取 值 范 围 是 什 么 ？一 个 拱 的 宽 度 与 高 度 各 是 什 么 ？ 小 结 ：1、 圆 的 渐 开 线 ， 渐 开 线 的 参 数 方 程2、 平 摆 线 、 摆 线 的 参 数 方 程